Chuyên đề luyện thi Đại học: Tích phân50343

TÍCH PHÂN CHUN CƠNG TH C B ng ngun hƠm Nguyên hƠm c a nh ng hƠm s th ng g p Nguyên hƠm c a nh ng hƠm s s c p th ng g p  dx  x  C  x dx  x 1  C   1  1  dx  x  ax a dx   C 0  a  1 ln a cos xdx  sin x  C    sin xdx   cos x  C x  cos  I x    dx  tan x  C ax  b dx  ax  b  C   1 a  1 dx  ln ax  b  C x  0 ax  b a e a xb dx  e a xb  C a cosax  b dx  sin ax  b   C a sin ax  b dx   cosax  b   C a 1 dx  tanax  b   C a cos ax  b   1   sin ax  b dx   a cotax  b  C 1 dx   cot x  C sin x  u  du  u  1  C   1  1  u  ln u  C u  0  e du  e  C du u u au  C 0  a  1 ln a cos udu  sin u  C    sin udu   cos u  C a u dx   cos u  sin 2 u du  tan u  C du   cot u  C I BI N S TÓM T T GIÁO KHOA VÀ PH  du  u  C  d ax  b  a ax  b  C  x  ln x  C x  0  e dx  e  C x Nguyên hƠm c a nh ng hƠm s h p NG PHÁP GI I TOÁN i bi n s d ng b tính tích phân f[u(x)]u/ (x)dx ta th c hi n b c sau: a B B c c B c t t = u(x) tính dt u/ (x)dx i c n: x a t u(a) , x b t u(b) b f[u(x)]u/ (x)dx f(t)dt a e2 Ví d Tính tích phân I e dx x ln x Gi i t t x e ln x t I dt 1, x dt t e2 ln t V yI ln ThuVienDeThi.com dx x t ln Ví d Tính tích phân I H cos x dx (sin x cos x)3 ng d n: 4 cos x I dx (sin x cos x)3 S: I (tan x Ví d Tính tích phân I H ng d n: 2x t t S: I ln Ví d 10 Tính tích phân I H ng d n: t t S: I Chú ý: 3 x x dx cos2 x t t tan x x dx x t2 dt ;đ t t (t2 1)2 tan u Phân tích I 1) dx x) 2x (1 i bi n s d ng x dx , r i đ t t x x s tính nhanh h n b Cho hàm s f(x) liên t c đo n [a;b], đ tính  f ( x)dx ta th c hi n b a B B c c t x = u(t) tính dx  u / (t )dt i c n: x  a  t   , x  b  t   b B c    f ( x)dx   f [u(t )]u (t )dt   g (t )dt / a Ví d Tính tích phân I 1 x2 dx Gi i t x sin t, t x t ; 0, x dx 2 ThuVienDeThi.com t cos tdt c sau: I cos t dt sin2 t cos t dt cos t V yI dt t 06 Ví d Tính tích phân I x2 dx H ng d n: t x sin t S: I dx x2 Ví d Tính tích phân I Gi i t x tan t, t x t I ; 0, x Ví d Tính tích phân I H ng d n: I t x S: I x dx 2x 12 dt dx (x 1)2 dx x2 Ví d Tính tích phân I x dx 2x S: I 12 Các d ng đ c bi t 3.1 D ng l ng giác Ví d 11 (b c sin l ) Tính tích phân I H ng d n: 4 Ví d Tính tích phân I dx 2x t tan t S: I x tan2 t dt tan2 t V yI (tan2 x dx cos2 x sin xdx ThuVienDeThi.com 1)dt t t cos x 15 S: I Ví d 12 (b c cosin l ) Tính tích phân I cos5 xdx H ng d n: t t sin x S: I 15 Ví d 13 (b c sin vƠ cosin ch n) Tính tích phân I cos4 x sin2 xdx Gi i I cos x sin xdx 16 2 cos x sin 2xdx (1 cos 4x)dx H ng d n: (1 dx cos x sin x cos 4x)dx x 16 sin2 2xd(sin 2x) 32 V yI Ví d 14 Tính tích phân I 16 2 cos 2x sin2 2xdx sin3 2x 24 sin 4x 64 32 x ln t t tan S: I Bi u di n hàm s LG theo t  tan 3.2 D ng liên k t Ví d 15 Tính tích phân I xdx sin x I ( sin( dt t sin t cos 2 Gi i t dx , x t x t x 2t 1 t2 2t a ; cos ; tan a  a  : sin a  2 1 t 1 t 1 t2 t)dt t) dt sin t dt t cos2 sin t I dt t I 2 cos ThuVienDeThi.com dt dt sin t t d t sin t t 2 tan t V yI T ng quát: xf(sin x)dx 2 Ví d 16 Tính tích phân I sin2007 x dx sin2007 x cos2007 x Gi i t x x sin2007 M t khác I 2 J dx T ng quát: t 3J I J t t x , x dt t 2 cos2007 t dx sin2007 t cos2007 t dx t 2 cosn x dx sinn x cosn x sin2 x dx J sin x cos x Gi i ,n cos2 x dx sin x cos x (1) dx (2) T (1) (2) suy I I t sinn x dx sinn x cosn x Ví d 17 Tính tích phân I t t cos2007 I sin2007 f(sin x)dx dx sin x T (1) (2) I cos x dx dx sin x ln (2) , J ln 16 ln(1 x) dx x2 dx  I dt ln 16 Ví d 18 Tính tích phân I J t x x I 0 tan t Gi i dx (1 tan2 t)dt t 0, x t ln(1 tan t) 1 tan2 t 4 tan2 t dt ln(1 ThuVienDeThi.com tan t)dt J (1) t t t u u dt , t du u 0 I ln(1 tan t)dt ln tan u du 4 1 ln ln 1 4 ln I ln cos x dx 2007 x ng d n: t x t S: I du tan u tan u du V yI H ln ln 2du Ví d 19 Tính tích phân I tan u du tan u T ng quát: V i a > 0, , hàm s f(x) ch n liên t c đo n f(x) a Ví d 20 Cho hàm s f(x) liên t c x dx ; f(x)dx th a f( x) 2f(x) cos x Tính tích phân I f(x)dx Gi i 2 tJ f( x)dx , x t dx dt x t 2 , x I t 2 f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2 cos xdx cos xdx ThuVienDeThi.com 2f(x) dx V yI 3.3 Các k t qu c n nh a i/ V i a > , hàm s f(x) l liên t c đo n [–a; a] f(x)dx a a ii/ V i a > , hàm s f(x) ch n liên t c đo n [–a; a] f(x)dx Trong Ví d 21 n!! đ c n walliss đ c đ nh ngh a d a vào n l hay ch n Ch ng h n: 0!! !! 1; 1!! 1!! 1;1; 2!! !! 2;2; 3!! !! 1.3; 1.3;44!!!! 2.4; 2.4;5!!5 !! 1.3.5; 5; 6!! !! 2.4.6; 2.4.6; 77!!!! 1.3.5.7; 1.3.5.7; 88!!!! 2.4.6.8; 2.4.6.8;9!!9 !! 1.3.5.7.9; 5.7.9; 10!! 10 !! 2.4.6.8.10 2.4.6.8.10 cos11 xdx 10 !! 11!! sin10 xdx !! 10 !! Ví d 22 1)!! u n lẻ , nế n !! (n 1)!! u n chẵ n , nế n !! sin n xdx f(x)dx (n cosn xdx a iii/ Công th c Walliss (dùng cho tr c nghi m) a 2.4.6.8.10 1.3.5.7.9.11 256 693 1.3.5.7.9 2.4.6.8.10 63 512 II TệCH PHÂN T NG PH N Công th c Cho hai hàm s u(x), v(x) liên t c có đ o hàm đo n [a; b] Ta có uv / u/ v uv/ uv / dx u/ vdx uv//dx b d uv vdu vdu udv udv b d(uv) d(uv) vdu vdu a b uv b a a b vdu udv a udv udv a bb b udv a b uv a b a vdu a Công th c: b b udv uv b a vdu (1) a Cơng th c (1) cịn đ c vi t d a i d ng: b b / f(x)g (x)dx Ph f(x)g(x) a b a f / (x)g(x)dx (2) a ng pháp gi i toán b Gi s c n tính tích phân Cách f(x)g(x)dx ta th c hi n a ThuVienDeThi.com B c t u g(x)dx (ho c ng f(x), dv c l i) cho d tìm nguyên hàm v(x) vi phân b du B u (x)dx không ph c t p H n n a, tích phân vdu ph i tính đ / c Thay vào cơng th c (1) đ tính k t qu c bi t: b i/ N u g p b ii/ N u g p Cách b P(x) sin axdx, eax P(x)dx v i P(x) đa th c đ t u P(x) cos axdx, a b c a a a P(x) ln xdx đ t u ln x a b Vi t l i tích phân b f(x)G/ (x)dx s d ng tr c ti p công th c (2) f(x)g(x)dx a a Ví d Tính tích phân I xex dx t u Gi i du x x dv e dx ex v dx (ch n C 0) x xe dx xe x ex dx e 1)ex (x 1 Ví d Tính tích phân I x ln xdx Gi i t u dv e xdx e x2 v x2 ln x x ln xdx dx x du ln x e xdx e2 1 Ví d Tính tích phân I ex sin xdx Gi i t u dv sin x du ex dx ex v 2 ex sin xdx I cos xdx ex sin x ex cos xdx 0 t u dv cos x du ex dx v sin xdx ex ThuVienDeThi.com e2 J P(x) 2 ex cos xdx J ex cos x e x sin xdx 0 I I Chú ý: ôi ta ph i đ i bi n s tr e2 ( I) e2 I c l y tích phân t ng ph n Ví d Tính tích phân I H cos xdx ng d n: t t x I t cos tdt e Ví d Tính tích phân I sin(ln x)dx S: I (sin1 cos1)e III TệCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T Ph ng pháp gi i toán D ng I b Gi s c n tính tích phân I B f(x) dx , ta th c hi n b c L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) đo n [a; b], gi s f(x) có BXD: b c Tính I x1 a x f(x) B c sau a x1 f(x) dx x2 b f(x)dx a a b x2 f(x)dx f(x)dx x1 x2 Ví d Tính tích phân I x2 3x dx Gi i B ng xét d u x2 x 3x I 2 x 3x x2 dx 59 V yI ThuVienDeThi.com 3x dx 59 2 Ví d 10 Tính tích phân I cos2 x sin xdx S: I 2 D ng b Gi s c n tính tích phân I g(x) dx , ta th c hi n f(x) a Cách b Tách I b f(x) b g(x) dx g(x) dx r i s d ng d ng f(x) dx a a a Cách B c L p b ng xét d u chung c a hàm s f(x) g(x) đo n [a; b] B c D a vào b ng xét d u ta b giá tr t đ i c a f(x) g(x) Ví d 11 Tính tích phân I x x dx Gi i Cách 2 I x x 1 dx xdx (x 0 Cách B ng xét d u x2 –1 x x2 0 x 1  – x x dx x x D ng x x V y I b tính tích phân I x dx 1 1 dx 1)dx x x (x x2 x – – dx – 1)dx x xdx I x dx x2 2 x b max f(x), g(x) dx J a b c sau: B c L p b ng xét d u hàm s h(x) B c + N u h(x) max f(x), g(x) + N u h(x) max f(x), g(x) f(x), g(x) dx , ta th c hi n a f(x) g(x) đo n [a; b] f(x) f(x), g(x) g(x) f(x), g(x) 10 ThuVienDeThi.com g(x) f(x) Ví d 12 Tính tích phân I max x2 1, 4x t h(x) x 2 dx Gi i 4x x2 4x B ng xét d u x h(x) + – + I x dx 4x x2 dx 80 dx 80 V yI Ví d 13 Tính tích phân I 3x , x dx t h(x) Gi i x x 3x x B ng xét d u x h(x) 1 – 3x dx I + x ln x dx 1 ln V yI x2 4x ln IV B T NG TH C TệCH PHÂN Ph ng pháp gi i toán D ng b ch ng minh b (ho c f(x)dx a x ) ta ch ng minh f(x) f(x)dx (ho c f(x) a a; b Ví d 14 Ch ng minh x dx 0 Gi i V i x 0; : x 1 x x dx 0 D ng b ch ng minh b g(x)dx ta ch ng minh f(x) f(x)dx a g(x) v i x a; b a Ví d 15 Ch ng minh V i x dx sin10 x 0; 2 :0 dx sin11 x Gi i sin x 11 ThuVienDeThi.com sin11 x sin10 x 0) v i sin10 x sin11 x V y D ng sin10 x dx sin10 x 0 sin11 x dx sin11 x b ch ng minh A B B ta th c hi n b f(x)dx c sau a c Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a f(x) đo n [a; b] ta đ c m f(x) x2 b B c L y tích phân A m(b a) f(x)dx M(b a) B a Ví d 16 Ch ng minh x2 dx V i x 0; : Gi i x2 4 V y2 x dx Ví d 17 Ch ng minh 4 dx sin2 x Gi i V i x 3 ; : 2 sin2 x 1 3 4 V y sin x dx sin2 x dx sin2 x 4 sin2 x 1 sin2 x 4 3 Ví d 18 Ch ng minh 12 cotx dx x Xét hàm s f(x) x / f (x) sin x x2 Gi i cotx , x x ; ta có cotx 12 ThuVienDeThi.com x ; M f f(x) 3 f cotx x 3 x 4 x ; ; cotx dx x cotx dx x 3 3 3 V y 12 4 D ng (tham kh o) b ch ng minh A B (mà d ng không làm đ f(x)dx c) ta th c hi n a f(x) B c Tìm hàm s g(x) cho g(x) x a; b b b g(x)dx f(x)dx B B a a h(x) B c Tìm hàm s h(x) cho f(x) x a; b b b h(x)dx A A f(x)dx a a Ví d 19 Ch ng minh 2 2 dx x2007 Gi i V i x x2 0; 2 :0 x2007 x2007 1 x2007 2 2 dx x2007 t x sin t dx dx x2 cos tdt dx x 2 V y t dx x2 2 2 0, x 2 0 x2 t cos tdt cos t dx x2007 13 ThuVienDeThi.com 4 1 x2 Ví d 20 Ch ng minh 1 Gi i 0; : x2 x x x x V i x V y V xdx x 2 xdx 3 1 xdx x xdx x xdx 2 2 1 NG D NG C A TệCH PHÂN A TệNH DI N TệCH HÌNH PH NG Di n tích hình thang cong Cho hàm s f(x) liên t c đo n [a; b] Di n tích hình thang cong gi i h n b i đ b y f(x), x a, x b tr c hoành S f(x) dx a Ph ng pháp gi i toán B c L p b ng xét d u hàm s f(x) đo n [a; b] b B c D a vào b ng xét d u tính tích phân f(x) dx a Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y ln x, x 1, x Gi i Do ln x x 1; e nên e e S ln x dx ln xdx x ln x e 1 V y S (đvdt) Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 4x Gi i B ng xét d u x – 3, x 0, x S x 4x x2 dx 4x dx 1 x 2x x3 3x V yS Di n tích hình ph ng 2.1 Tr ng h p e Ox (đvdt) 14 ThuVienDeThi.com 2x 3x 3 Ox ng Cho hai hàm s f(x) g(x) liên t c đo n [a; b] Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng b y f(x), y g(x), x b S a, x f(x) g(x) dx a Ph ng pháp gi i toán B c L p b ng xét d u hàm s f(x) g(x) đo n [a; b] b B c D a vào b ng xét d u tính tích phân f(x) g(x) dx a 2.2 Tr ng h p Cho hai hàm s f(x) g(x) liên t c đo n [a; b] Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ y f(x), y g(x) S g(x) dx Trong f(x) B c D a vào b ng xét d u tính tích phân f(x) nghi m nh nh t l n nh t c a , ph ng trình f(x) g(x) a b Ph ng pháp gi i toán B c Gi i ph ng trình f(x) g(x) B c L p b ng xét d u hàm s f(x) g(x) đo n ; g(x) dx Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng y x3 11x x 0, x Gi i t h(x) (x3 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x h(x) x x x (lo i) B ng xét d u x – S x 6x 11x x3 dx 6x2 11x dx x 2x 11x x 6x 2x 11x2 2 6x V yS (đvdt) Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng y x3 11x 6, y Gi i 11x 6) 6x2 x3 6x2 11x t h(x) (x h(x) x x x B ng xét d u x – S x 6x 11x x3 dx ng 15 ThuVienDeThi.com 6x2 11x dx 6x2 6, y 6x2 , x4 2x 11x2 x4 2x (đvdt) 6x V yS Chú Ủ: N u đo n th c f(x) ; ph ng trình f(x) g(x) dx f(x) 11x2 2 g(x) khơng cịn nghi m n a ta có th dùng cơng g(x) dx Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x3 , y 4x Gi i Ta có x 4x x x x x3 4x dx 4x dx 0 x 4 x 2x 2x2 V y S (đvdt) Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 x Gi i Ta có x x t2 4t t x x t 2 x3 S x tr c hoành 0, t x x x x dx x2 4x dx x 4x x2 dx x3 4x dx 1 x3 2x2 3x 16 V yS (đvdt) Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 4x y Gi i Ph ng trình hồnh đ giao m x2 4x x x x x2 4x x x x 4x x 2x2 3x B ng xét d u x S 6x x 4x + – 16 ThuVienDeThi.com + 16 x 1 S x 5x dx x 3x x2 dx x3 5x2 x3 3 3x2 x3 6x 5x2 x x dx x2 x dx x x – + S x x x2 dx x 3 x dx 1 x c gi i h n t đ x2 x 4x 6x 73 73 (đvdt) V yS Chú ý: N u hình ph ng đ 3 B ng xét d u 109 109 V yS (đvdt) Ví d Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y x2 , y x Gi i Ph ng trình hồnh đ giao m x2 x t2 t 5, t x t x t x t2 t x t t2 t S 5x dx ng tr lên v hình (tuy nhiên thi H khơng có) B TệNH TH TệCH KH I TRÕN XOAY Tr ng h p Th tích kh i trịn xoay hình ph ng gi i h n b i đ ng y f(x) x b x a x b (a b) quay quanh tr c Ox V f (x)dx a Ví d Tính th tích hình c u hình trịn (C) : x2 y2 R2 quay quanh Ox Gi i R2 x R Hoành đ giao m c a (C) Ox x2 2 2 2 Ph ng trình (C) : x y R y R x R R V R x dx R R2 R2 x x R 17 ThuVienDeThi.com R3 x2 dx a;b , y 0, R3 (đvtt) V yV Tr ng h p Th tích kh i trịn xoay hình ph ng gi i h n b i đ ng x y c;d , x g(x) , x a g(y) 0, d y c y d (c d) quay quanh tr c Oy V g2 (y)dy c x2 y2 Ví d 10 Tính th tích hình kh i ellipse (E) : a b2 Gi i Tung đ giao m c a (E) Oy Ph x2 a2 ng trình (E) : b V a y2 b2 b V yV x2 y a2 a y2 b2 a2 b b a y2 dy b2 R a y a2 b 3b2 a 2b (đvtt) a2 y y2 b2 a y2 dy b2 quay quanh Oy Tr ng h p Th tích kh i trịn xoay hình ph ng gi i h n b i đ ng y f(x), y x b (a b, f(x) 0,g(x) x a; b ) quay quanh tr c Ox b f (x) V g2 (x) dx a Ví d 11 Tính th tích hình kh i hình ph ng gi i h n b i đ Ox Gi i x x Hoành đ giao m x x4 x V ng y x2 , y2 x quay quanh x x4 x dx x dx x V yV x 10 (đvtt) 10 Tr ng h p Th tích kh i trịn xoay hình ph ng gi i h n b i đ ng x f(y), x y d (c d, f(y) 0,g(y) y c; d ) quay quanh tr c Oy g(y) , y c d f (y) V g2 (y) dy c Ví d 12 Tính th tích hình kh i hình ph ng gi i h n b i đ quay quanh Oy 18 ThuVienDeThi.com ng x y2 5, x y Gi i Tung đ giao m y y2 y2 y y V y dy y4 11y2 6y 16 dy y5 11y3 3y 16y 153 153 (đvtt) V yV VI TệCH PHÂN CH A T H P 1 1 10 Tính I=  1  x dx Áp d ng k t qu tính t ng sau: S   C101  C102   C1010 11 Tính: I   x 1  x dx Áp d ng k t qu tính t ng sau: 19 1 1 18 19 S  C19  C19  C19   C19  C 19 20 21 3 Ch ng minh r ng:  Cn1  Cn2   2n 1  Cnn  n 1 n 1 BÀI T P T GI I Tìm nguyên hàm F(x) c a hàm s f(x)= sin x  cos x , bi t r ng F      ln sin x  cos x  4 Tính tích phân sau: e A= x  - x dx  x B=  x2 -1 dx C= x ln 2dx  -2 Tính tích phân sau:  A= e3 cos x sin xdx  e B=  ln xdx C*= x I=  sin(ln x) dx x  Tính tích phân sau: e dx x x2   J= x dx x -1 1 D*=  10 K=  lg xdx dx  sin x cot x  ln L=  x dx x 3 ln e  2e M=  cos x  sin x  C=  sin xdx sin x dx (1  cos x)2 Tính tích phân sau: 19 ThuVienDeThi.com N=  dx x -9 dx A=  - x2 ln  D= B=  3 1- e x dx  ex dx x 3 C=  16 - x2 dx dx x 1 E=  2 Tính tích phân sau:  B*=  x sin x dx e2 A=  ln x dx x   A=  cos xdx e F=  1  cos x ln x  dx x B=  cos xdx C=  xe x dx G=  x  x2 dx H=  x  xdx Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ a x=1; x=e; y=0 y=  ln x ng sau: x2   dx 1  x 3x4  x E=  dx x3 D = cos(ln x) dx  Tính: ln x dx x e * C*=  F  * D=  e I=  x dx x x dx x 1 E=  x ln xdx 1 x dx 1 x J=  b y=2x; y=3x x=0 x c y=sin2xcos3x, tr c Ox x=0, x=  Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ ng: y=0, y=x32x2+4x3 (C) ti p n v i đ ng cong (C) t i m có hồnh đ b ng 10 Cho hình ph ng D gi i h n b i đ ng y=tanx, x=0, x=/3, y=0 a Tính di n tích hình ph ng D b Tính th tích v t th trịn xoay sinh b i hình ph ng D quay quanh tr c Ox 11 Tính th tích v t th trịn xoay sinh b i hình ph ng gi i h n b i đ ng cong y2=x3 y=0, x=1 quay quanh: a) Tr c Ox b) Tr c Oy H t 20 ThuVienDeThi.com ... Tính tích phân I H ng d n: 4 Ví d Tính tích phân I dx 2x t tan t S: I x tan2 t dt tan2 t V yI (tan2 x dx cos2 x sin xdx ThuVienDeThi.com 1)dt t t cos x 15 S: I Ví d 12 (b c cosin l ) Tính tích. .. Ví d Tính tích phân I x2 3x dx Gi i B ng xét d u x2 x 3x I 2 x 3x x2 dx 59 V yI ThuVienDeThi.com 3x dx 59 2 Ví d 10 Tính tích phân I cos2 x sin xdx S: I 2 D ng b Gi s c n tính tích phân... x sin t S: I dx x2 Ví d Tính tích phân I Gi i t x tan t, t x t I ; 0, x Ví d Tính tích phân I H ng d n: I t x S: I x dx 2x 12 dt dx (x 1)2 dx x2 Ví d Tính tích phân I x dx 2x S: I 12