4 cách CM tam giác cân với phân giác Bài tốn ngắn mà cực khó Trong đề tốn hay, “đề ngắn khó”, nhận xét thời cịn học phổ thơng Đây đề vậy: Chứng minh, tam giác có phân giác tam giác cân Đề chương trình lớp – có đến 90% HS lớp 10 – 12 phải “cắn bút” Nhân có số cháu HS hỏi, soạn lại cách giải đề để tham khảo 1/- Bài chứng minh thứ Giả thiết ∆ABC có DB phân giác B, CD phân giác C [1] DB = CE Cách 1: Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp ∆DBC; ta chứng minh rằng: - Đường trịn phải cắt phân giác góc C E để có CE = BD (như gt) Khi ấy, ABC = ACB chắn dây cung - Giả sử đường trịn O khơng cắt phân giác E xảy trường hợp: + Cắt M mà CM < CE MBD < EBD nghĩa DB khơng cịn phân giác ABC điềù trái với giả thiết + Cắt N mà CN > CE, tương tự có NBD > EBD trái với Giả thiết [1] Vậy đường trịn cắt phân giác góc C E ABC tam giác cân Cách 2: Dựng đường tròn (O) ngoại tiếp ∆DBC; Qua C kẻ dây cung CM có độ dài BD Ta chứng minh CM trùng CE M rơi vào điểm M' CM' phân giác C Tương tự, M rơi vào N’ CN’ khơng cịn phân giác C Vậy ta có tứ giác DEBC nội tiếp đường trịn O với góc chắn dây cung nên DCB = EBD ∆ABC cân ThuVienDeThi.com 2/- Bài chứng minh thứ (Phản chứng gián tiếp) Ta chứng minh trước tốn coi Bổ đề cho CM Bổ đề: “Hai tam giác cân cạnh đáy, tam giác có cặp cạnh bên lớn có cặp góc đáy lớn hơn” Giả sử có ABC A’BC với AB chung; Đương cao AH A’H trung trực AB Nếu A’B > AB SA’BH > S ABH A’BH > ABH Tương tự có A’CH > ACH Giải *Trong tam giác CAB có phân giác AN=BP Qua N kẻ MN//AB; Qua P kẻ PQ//AB Giả sử MN khơng trùng PQ có cặp góc so le tai cặp đường song song : MAN = MNA & PBQ = QPB Có tam giác cân ∆AMN ∆PQB AM = MN, & PQ = QB *Xét tam giác cân AMN PQB có cặp cạnh đáy AN=BP (gt) Giả sử MN>PQ MN >BQ & AM > BQ Thì theo Bổ đề có: MAN >PBQ 2.MAN > 2.PBQ MAB> NBA (Phân giác chia đôi góc) *Trong hình thang MNBA, cạnh bên đối diện góc lớn lớn cạnh bên AM PQ = QB >BN AM > BN đối chiéu [1] vơ lý Điều giả sử ban đầu vơ lí ! Vây MN≡PQ & AM = BN [2 ] *Đến dễ dàng có ∆AMB = ∆BNA ( c.c.c) MAB = NBA hay ∆CAB cân C ThuVienDeThi.com 3/- Bài chứng minh thứ Đề: Cho tam giác ABC có đường phân giác BD CE Chứng minh tam giác ABC cân A Giải Cách 1: Kẻ đường Ex // BD Dy // BE; giao điểm Ex Dy F ta có hình bình hành BDFE DFE = DBE = 1/2ABC ; BD=EF DF=BE Giả sử ABC >ACB (1) ∆ABC cạnh đối diện tương ứng AC > AB AC+BC > AB+BC Chia vế BĐT dấu cho ta có: Theo giả thiêt : BD/BC=AD/AC =AB/(AC+BC) CE/BC=AE/AB=AC/(BC+AB) CE/BC≥BD/BC=>CE≥BD CE≥EF => EFC ≥ ECF Xét tam giác DFC cân D (DF=DC) DFC=DCF DFE+EFC=DCE+ECF DFE≤DCE 1/2ABC≤1/2ACB ABC≤ACB (2) Từ (1) (2) suy ABC=ACB = ∆ABC cân A (đpcm) 4/- Bài chứng minh thứ Giải: (Cách CM phản chứng qua công thức lượng giác) Xét ∆ ABC có BD CE hai phân giác, BD = CE Đặt BC = a ; CA = b ; AB = c, công thức phân giác: BD² = 2ac.cos(B/2) /(a+c) CE² = 2ab.cos(C/2) /(a+b) [♥] ta ý (B/2) (C/2) hai góc nhọn nên cos(B/2) < cos(C/2) B/2 > C/2 (nghịch biến) Theo giả thiết: BD = CE 2ac.cos(B/2) /(a+c) = 2ab.cos(C/2) /(a+b) c(a+b) /b(a+c) = cos(C/2) /cos(B/2) (*) * giả sử B > C B/2 > C/2 cos(B/2) < cos(C/2) ThuVienDeThi.com cos(C/2) /cos(B/2) > Từ (*) c(a+b) /b(a+c) > ac + bc > ab + bc ac > ab c > b C > B trái giả thiết B > C b/ Trường hợp ngược lại B < C tương tự vơ lí Vậy phải có B = C ∆ ABC cân A chứng minh (♥) sử dụng hai công thức: sin2a = 2sina.cosa (.) và: dt(ABC) = (1/2)ab.sinC (.)(.) hai công thức cm hình học cấp (nếu lớp10 thi có sẳn cơng thức), bạn tự làm, mà cm hết dài khơng cần thiết dt(BCD) + dt(ABD) = dt(ABC) => (1/2)BC.BD.sin(B/2) + (1/2)BA.BD.sin(B/2) = (1/2)BA.BCsinB => a.BD.sin(B/2) + c.BD.sin(B/2) = ac.sinB => BD.(a+c).sin(B/2) = 2ac.sin(B/2).cos(B/2) => BD = 2ac.cos(B/2) /(a+c) (♥) cm xong ThuVienDeThi.com ... = BN [2 ] *Đến dễ dàng có ∆AMB = ∆BNA ( c.c.c) MAB = NBA hay ∆CAB cân C ThuVienDeThi.com 3/- Bài chứng minh thứ Đề: Cho tam giác ABC có đường phân giác BD CE Chứng minh tam giác ABC cân A.. .2/ - Bài chứng minh thứ (Phản chứng gián tiếp) Ta chứng minh trước toán coi Bổ đề cho CM Bổ đề: “Hai tam giác cân cạnh đáy, tam giác có cặp cạnh bên lớn có cặp... Xét tam giác DFC cân D (DF=DC) DFC=DCF DFE+EFC=DCE+ECF DFE≤DCE 1 /2? ??ABC≤1 /2? ??ACB ABC≤ACB (2) Từ (1) (2) suy ABC=ACB = ∆ABC cân A (đpcm) 4/ - Bài chứng minh thứ Giải: (Cách