SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN BỈNH KHIÊM KÌ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 MƠN TỐN Thời gian làm : 180 phút ĐỀ CHÍNH THỨC: Câu 1) (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + x - (1) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = - x Câu 2) (1,0 điểm) x a) Giải phương trình: cos x + cos - = b) Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z + z = z + z - 8i số thực Câu 3) (0,5 điểm) Giải phương trình: log ( x - x + 10) - log ( x - 2) = log ( x + 5) Câu 4) (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: ìï x ( x + y - 4) + y (3 y - 4) + + 2( x + y ) = ( x + y ) + 4(1 - xy ) + í ïỵ x - xy + 22 - - y = x - y + Câu 5) (1,0 điểm) Tính tích phân I = p ò ( x + + tan x) sin xdx Câu 6) (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có AC = a , BC = 3a , · ACB = 300 Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 600 mặt phẳng (A’BC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Điểm H cạnh BC cho BC = 3BH mặt phẳng (A’AH) vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C ' khoảng cách từ B đến mặt phẳng (A’AC) Câu 7) (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A(– 3; – 4), tâm đường tròn nội tiếp I(2; 1) tâm đường tròn ngoại tiếp J( - ;1 ) Viết phương trình đường thẳng BC Câu 8) (1,0 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(4; – 2; 11), B( – 2; – 10; 3) mặt phẳng (P): x + y – z – = Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AB tìm điểm M mặt phẳng (P) cho MA = MB = 13 Câu 9) (0,5 điểm) Một hộp đựng xanh , bi đỏ bi vàng Lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất để bi lấy có đủ màu số bi xanh số bi đỏ Câu 10) (1,0 điểm) Cho hai số thực a, b thuộc khoảng (0, 1) thỏa mãn (a + b3 )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 12 a + b4 + ab P= ab 36 + (1 + 9a )(1 + 9b ) - C V S L L ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Câu Đáp án Điểm Câu1) a) y = x3 + x - y = -¥ , lim y = +¥ + TXĐ D = R , xlim đ-Ơ x đ+Ơ ộ x = ị y = -2 + y ' = 3x + x , y ' = Û ê ë x = -2 Þ y = -+ BBT -¥ x +¥ -2 y’ + 0 + ¥ y Câu -¥ -2 (2,0đ) + Hàm ĐB khoảng ( -¥ ; -2 ), (0; + ¥ ) NB khoảng ( -2 ; 0) Điểm cực đại đồ thị ( -2 ; 2); điểm cực tiểu đồ thị (0; -2 ) -+ Đồ thị 0,25 0,25 0,25 0,25 -10 -5 10 -2 -4 b)Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = - x nên tiếp tuyến có hệ số góc 9 é x0 = Þ y0 = 2 Ta có y '( x0 ) = Û 3x0 + x0 = Û ê ë x0 = -3 Þ y0 = -2 + Phương trình tiếp tuyến điểm (1, 2) y = 9( x - 1) + -+Phương trình tiếp tuyến điểm (– 3, – ) y = 9( x + 3) - 0,25 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com Câu (1,0đ) Câu 2) x x x x a) cos x + 2cos - = Û 4cos - 3cos + cos - = 3 3 x x x Û (cos - 1)(4 cos + 6cos + 3) = 3 Câu Đáp án x x Û cos = Û = k 2p Û x = 6kp , k Ỵ Z 3 -b) Gọi z = x + yi Ta có z + z = Û ( x + yi ) + ( x - yi) = Û x = (1) 2 z + z - 8i = ( x + yi) + 2( x - yi ) - 8i = ( x - y + x) + (2 xy - y - 8)i số thực nên xy - y - = (2) Từ (1) (2) ta giải x = y = Vậy z = + 2i -ì x - x + 10 > ìx < Ú x > ï ï Câu x-2 >0 Û íx > Û x >5 (0,5đ) Câu 3) b)ĐK í ïx + > ï x > -5 ỵ ỵ 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Với ĐK phương trình tương đương : log ( x - x + 10) - log ( x - 2) = - log ( x + 5) Û log ( x - x + 10)( x + 5) = log ( x - 2) -Û ( x - x + 10)( x + 5) = x - Û ( x - 5)( x + 5) = Û x = 26 (vì x > 5) -ìï x( x + y - 4) + y (3 y - 4) + + 2( x + y ) = ( x + y ) + 4(1 - xy ) + (1) Câu 4) í ïỵ x - xy + 22 - - y = x - y + 3(2) Câu (1,0đ) +Ta có (1) Û ( x + y - 2) + + ( x + y - 2) = ( y - x) + + ( y - x) + Xét hàm f (t ) = t + + t , t Ỵ R Ta có f '(t ) = t t +4 +1 = t2 + + t t +4 > 0, "t Ỵ R Suy f(t) đồng biến R + Ta có (1) Û f ( x + y - 2) = f ( y - x ) Û x + y - = y - x Û y = - x + Thế y = – x vào (2) ta có : x + x + 22 - x = x + x + (3) Với ĐK x ³ ta có 0,25 0,25 0,25 (3) Û ( x + x + 22 - 5) - ( x - 1) = x + x - Û x2 + x - x + x + 22 + - x -1 = ( x - 1)( x + 3) x +1 0,25 ThuVienDeThi.com é ỉ ứ Û ( x - 1) ê + ( x + 3) ç1 ÷ú = Û x = x + x + 22 + ø ûú è ëê x + ỉ 1 + ( x + 3) ỗ1 ữ > (phi gii thớch) x +1 x + x + 22 + ø è -x = Þ y = Vậy hệ có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) Vì với x ³ Câu Đáp án p p Điểm p sin x dx cos x 0 -ìu = x + ì du = dx ịớ + t ợ dv = sin xdx ỵv = - cos x Câu Câu 5) I = (1,0đ) ò ( x + + tan x)sin xdx = ò ( x + 1)sin xdx + ị p Ta có p p p 2 = -( + 1) + + sin x 04 = p +1 ( x + 1) sin xdx = ( x + 1) cos x + cos xdx ò0 ò0 p 0,25 0,25 0,25 p p p + sin x dx = -d (cos x) = ò0 cos2 x ò0 cos2 x cos x = - + Vậy I = p+ Câu Câu 6) (1,0đ) ì( A ' BC ) ^ ( ABC ) A' ï Þ A ' H ^ ( ABC ) í( A ' AH ) ^ ( ABC ) ï A ' H = ( A ' BC ) Ç ( A ' AH ) ỵ C' B' Suy · A ' AH = 600 Þ A ' H = AH tan 600 = a 0,25 0,25 9a 4 -Vì AH + AC = HC Þ HA ^ AC Þ AA ' ^ AC 1 S A ' AC = AC AA ' = a 3.2a = a 2 H 0,25 -AH = AC + HC - AC.HC cos 300 = a Þ AH = a A B 0,25 C VABC A ' B 'C ' = S ABC A ' H = 3a a = 0,25 ThuVienDeThi.com a 3a Þ d ( B, ( A ' AC )) = 3.VA ' ABC = = S A ' AC a -Câu Câu 7) (1,0đ) 125 + Phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC : ( x + ) + ( y - 1) = (1) x+3 y+4 Û x - y -1 = = + Phương trình đường thẳng AI : + 1+ Câu Đáp án + Đường thẳng AI cắt đường tròn ngoại tiếp điểm thứ hai D, trung điểm cung BC Hoành độ điểm D nghiệm khác – phương trình : é x = -3 125 ( x + ) + ( x - 2) = Ûê Suy D( ; ) êx = 2 ë -A B · = IBC · + CBD · = B + A suy · · = + IBD · Þ DI = DB = DC + Ta có BID BID = IBD 2 2 Þ B, C nằm đường trịn tâm D bán kính DI có phương trình : 50 ( x - )2 + ( y - )2 = (2) 2 + Tọa độ điểm B C nghiệm hệ phương trình (1) (2) 125 ì ( x + ) + ( y 1) = 2 ïï ì10 x + y - 50 = Û ïì x + y + x - y - 30 = Û í í í 2 ïỵ x + y - x - y + 20 = ỵ x + y - x - y + 10 = ï( x - ) + ( y - ) = 50 ïỵ 2 Suy phương trình đường thẳng BC : 10 x + y - 50 = hay x + y - 10 = -Câu 8) Câu + Mp trung trực (Q) đoạn AB qua trung điểm I(1; – 6; 7) AB nhận AB = (-6; -8; -8) (1,0đ) làm VTPT Suy phương trình mp(Q): -6( x - 1) - 8( y + 6) - 8( z - 7) = Û x + y + z - = + Gọi D = (Q) Ç (P) Đường thẳng D tập hợp điểm thỏa hệ phương trình: ì3 x + y + z - = (1) í ỵx + y - z - = + (P) có VTPT nP = (1;1; -1) , (Q) có VTPT nQ = (3; 4; 4) suy D có VTCP u = [nP , nQ ] = (8; -7;1) Trong (1) cho x = giải y = 2; z = – suy 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com D qua điểm I(1; 2; – 1) Vậy phương trình tham số đường thẳng D ì x = + 8t ï í y = - 7t ï z = -1 + t ỵ +M Ỵ D M Ỵ (P) MA = MB Ta có M(1 + 8t ; – 7t ; – + t) MA = 13 Û (8t - 3) + (4 - 7t )2 + (t - 12) = 169 Û 114t - 128t = Û t = t = 64 / 27 569 334 ;; ) Vậy có hai điểm M thỏa toán : M (1; 2; -1) , M ( 57 57 57 Câu 9) Câu (0,5đ) + Có C12 = 792 cách chọn bi từ hộp 12 bi Þ W = 792 + Gọi X biến cố :’’ bi lấy có đủ màu số bi xanh số bi đỏ nhau’’ 1 TH1 : 1X, 1Đ, 3V Þ có C3C4C5 = 120 cách chọn 2 TH2 : 2X, 2Đ, 1V Þ có C3 C4 C5 = 90 cách chọn Câu 10 (1,0đ) Suy W X = 120 + 90 = 210 WX 210 35 = = Vậy P(X) = W 792 132 12 a + b4 + ab Câu 10) P = ab 36 + (1 + 9a )(1 + 9b ) -(a + b3 )(a + b) = (1 - a)(1 - b) (*) GT : (a + b )(a + b) - ab(a - 1)(b - 1) = Û ab (a + b3 )(a + b) ổ a b = ỗ + ữ (a + b) ³ ab ab = 4ab Vì ab è b 0,25 0,25 0,25 0,25 (1 - a )(1 - b) = - ( a + b) + ab £ - ab + ab , từ (*) suy 4ab £ - ab + ab , ì ï0 < t £ Û0 0) ta t £ - 3t Û í ï 4t £ (1 - 3t ) ỵ Ta có (1 + 9a )(1 + 9b ) ³ 36ab Þ 12 36 + (1 + 9a )(1 + 9b ) 2 £ + ab a + b4 £ 3ab - 2ab = ab ab + ab Dấu đẳng thức xảy Û a = b = Suy P £ + ab 3ab - 0,25 ThuVienDeThi.com + t với < t £ , 1+ t 1 > 0, "t ẻ (0, ] ị f(t) ng bin trờn (0, ] ta có f '(t ) = (1 + t ) + t ìa = b 1 ï + , dấu đẳng thức xảy Û í f(t) £ f ( ) = Ûa=b= 10 ïỵt = ab = 1 + đạt a = b = Vậy MaxP = 10 Xét hàm f (t ) = C V S L L 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Câu Đáp án Điểm Câu1) a) y = x3 + x - y = -¥ , lim y = +¥ + TXĐ D = R , xlim... = 2; z = – suy 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com D qua điểm I(1; 2; – 1) Vậy phương trình tham số đường thẳng D ì x = + 8t ï í y = - 7t ï z = -1 + t ỵ ... + Gọi X biến cố :’’ bi lấy có đủ màu số bi xanh số bi đỏ nhau’’ 1 TH1 : 1X, 1Đ, 3V Þ có C3C4C5 = 120 cách chọn 2 TH2 : 2X, 2Đ, 1V Þ có C3