đề thi Ô-lim -pic huyện Môn Toán Lớp Năm häc 2005-2006 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - Bài Cho x, y, z số thực không âm Tìm giá trị nhỏ của: x4 + y4 + z4 BiÕt x + y + z = Bµi Cho x, y, a, b số thực thoả mÃn: x4 y4 x y2 x y a b ab x 2006 y 2006 Chøng minh: 1003 1003 a b a b 1003 Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca 1 2 a b c bc a ac b ab c Bài Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = 2MA, nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN = AB Đường thẳng MC cắt NA E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC t¹i F a) Chøng minh AF = AM b) Gäi H trung điểm FC, Chứng minh EH = BM Hướng dẫn chấm ôlim pic Môn toán lớp năm học 2005-2006 Bài (4 điểm) Phân tích thành nhân tử: x4 - 6x2 - 7x - Ta thÊy: f( -2) = 0; f(3) = 0, nªn f(x) cã thõa sè lµ (x + 2)(x - 3) (2®) chia f(x) cho (x + 2)(x - 3) V× x2 + x + = x2 + 1 x + > 0) 4 (1đ) Bài (4 điểm) Cho x, y, z số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña: x4 + y4 + z4 BiÕt x + y + x = áp dụng công thức Buhiacopski ta cã: ( x y z) ( x y z) 2 3( x y z) 2 9( x y z ) 27( x y z ) ThuVienDeThi.com (2®) => 16 27( x y z ) => x y4 z4 16 (1®) 27 16 27 DÊu b»ng xÈy vµ chØ x = y = z = VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa x y z l Bài (1đ) (4 điểm) Cho x, y, a, b số thực thoả mÃn: x4 y4 a b x 2006 Chøng minh: a 1003 x y2 x y ab y 2006 1003 b a b 1003 Tõ gi¶ thiÕt => x4 y4 (x y ) a b ab (bx4 + ay4)(a + b) =ab(x2 + y2)2 b2x4 +a2y4 - 2abx2y2 = (bx2 - ay2)2 = (1®) (1®) x y2 x y2 (1®) a b ab ab x 2006 y 2006 1003 1003 (Điều phải cm) 1003 (a b ) a b (a b)1003 bx2 - ay2 = x 2006 y 2006 1003 1003 a b (1đ) Bài (4 điểm) Chứng minh bất đẳng thức: ab bc ca 1 2 a b c bc a ac b ab c Kí hiệu vế trái A vế phải B, xÐt hiÖu A - B ab bc ca 1 2 a ac b b ab c c bc a (0.5®) a ab bc a b bc ac b c ac ab c (0.5®) a (bc a ) b(ac b ) c(ab c ) b (a c) c( b a ) a (c b ) = (0.5®) 2 a (bc a ) b(ac b ) c(ab c ) Do a, b, c bình đẳng nên giả sử a b c , ®ã b(a - c) 0, c(b - a) 0, a(c - b) (0.5®) = ThuVienDeThi.com b (a c) b (a c) (0.5®) a (bc a ) b(ac b ) b (a c) c( b a ) a (c b ) ab ac ac ab =>A - B = (0.5®) 2 2 b(ac b ) b(ac b ) c(ab c ) b(ac b ) c(ab c ) a ( b c) a ( b c) = (0.5®) b(ac b ) c(ab c ) 1 Mµ nên A - B (ĐPCM) (0.5đ) b(ac b ) c(ab c ) a3 b3 c3 =>abc + a3 abc + b3 abc + c3 => Bài (4 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = 2MA, nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN = AB Đường thẳng MC cắt NA E, đường thẳng BE cắt đường thẳng AC F c) Chứng minh AF = AM d) Gọi H trung điểm EC, Chứng minh EH = BM a) Đường thẳng EC cắt đường thẳng BN K Ta có: AC AB (gt), KB AB (gt) =>FC//KB (2®) AF AE AF AC AF AC AB NB EN AF (1) AB NK AC AE NB NK NK NK EN K F AC AM AC AB AB BK MB KN NB KN E 2AB 4AB 2KN AB KN AB (2) N M 2KN AB 2 AB AB B Tõ (1) vµ (2) => AF AF AM (§PCM) 3AB b)Tõ chøng minh trªn suy ra: AFB = AMC => ABF = ACM mµ ABF + AFB = 1v => ACM + AFB = 1v => FEC = 1v =>EH = FC AC AC 2AC FH mµ FH FA AH BM EH BM (ĐPCM) (2đ) 3 ThuVienDeThi.com A C ThuVienDeThi.com ... + c3 => Bài (4 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M cho BM = 2MA, nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đường thẳng Bx vuông góc với AB, Bx lấy điểm N cho BN... =>EH = FC AC AC 2AC FH mµ FH FA AH BM EH BM (ĐPCM) (2đ) 3 ThuVienDeThi.com A C ThuVienDeThi.com ... x4 y4 a b x 2006 Chøng minh: a 1003 x y2 x y ab y 2006 1003 b a b 1003 Tõ gi¶ thi? ?t => x4 y4 (x y ) a b ab (bx4 + ay4)(a + b) =ab(x2 + y2)2 b2x4 +a2y4 - 2abx2y2