Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Hoài Nhơn năm học 2014 – 2015 môn thi: Toán 747711

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN UBND HUYỆN HOÀI NHƠN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN THI: TỐN Ngày thi: 25/04/2015 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,5 điểm) a) Trong ba số a, b, c có số dương, số âm số 0, ngồi cịn biết: a  b2 b  c  Hỏi số dương, số âm, số ? b) Tìm hai số x y cho x + y = xy = x : y (y  0) c) Cho p số nguyên tố Tìm tất số nguyên a thỏa mãn: a  a  p  Bài 2: (4,5 điểm) a) Cho đa thức f ( x)  ax5  bx3  2014 x  1, biết f (2015)  Hãy tính f ( 2015) x 1 b) Tìm x, biết: x   x 13  x   0 3  0,6   0,75 c) Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: S  13 11 11  2,   2,75 13 Bài 3: (4.0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x   x   3x  200 b) Tìm hai số khác biết tổng, hiệu, tích hai số tỉ lệ với 3; ; 3 Bài 4: (4.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A có AB = 6cm, AC = 8cm đường cao AH Tia phân giác góc BAH cắt BH D Trên tia CA lấy điểm K cho CK = BC a) Chứng minh KB // AD b) Chứng minh KD  BC c) Tính độ dài KB Bài 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A tù Kẽ AD  AB AD = AB (tia AD nằm hai tia AB AC) Kẽ AE  AC AE = AC (tia AE nằm hai tia AB AC) Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: AM  DE Họ tên thí sinh: …………………………………………………………………Số báo danh: ……… …… Phịng thi số: …………… ThuVienDeThi.com KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Bài a) Số dương, số âm, số Ta có a  0, b  , nên từ a  b 2 Đáp án b  c  Điểm 1,5đ  bc   c  b 0,5đ b   a   a   có hai số a b 0, vô lý +) Nếu b   c  b   có hai số âm b c, vô lý +) Nếu b> 0, ta xét a   b  c   b  c   có hai số dương b c, vơ lý  a < +) Nếu 4,5 điểm Vậy a < 0, b > c = b) Tìm hai số x y cho x + y = xy = x : y (y  0) Từ x + y = xy  x = xy – y = y(x – 1)  x : y = x – Ta lại có x : y = x + y  x + y = x –  y = –  x = xy – y = – x +  x  Vậy hai số cần tìm x  0,5đ , y=–1 1,5đ Từ a  a  p   p  a  a  a a  1 0,5đ 0,5đ a  Z  p  a ( a  1)  ; p số nguyên tố  p =  a(a + 1) = = 1.2 = (– 1).(– 2)  a = 1; a = – Với 0,5đ (thiếu giá trị trừ 0,5 điểm – tức là: không ghi điểm ý này) a) Cho đa thức f ( x )  ax  bx  2014 x  2015 , biết f (2015)  Hãy tính f (  2015) Ta có: f ( x )  ax  bx  2014 x  2015 x 1 b) Tìm x, biết: x   x 13  x   0,5đ điểm x 1 x   0   x   12 0,5đ 1,5đ x   x 1  ,  x  5  (Thiếu x +  0, trừ 0,25đ)  x5 x   1  x     x      12 0,5đ 0 x 1 x 13 12 x 1 x  5  x  5   x  5 1  x  5    x   1,5đ  f (  x )  a (  x )5  b(  x)3  2014(  x)  2015   ax  bx  2014 x  2015  f ( x )  f (  x)   f (2015)  f ( 2015)   f ( 2015)   f (2015)    Vậy: f ( 2015)  0,5đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ c) Cho p số nguyên tố Tìm tất số nguyên a thỏa mãn: a  a  p  5,5đ  x   1 x    x  (Thiếu giá trị x – = –1 , trừ 0,25đ) c) Tính giá trị S Vậy: x = 4, x = 5, x = 12 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,5đ  1 1 3 3 3     3  0,   0, 75     13  13 13    S  11 11 11 11 11 11 11 1 1 1 11      2,   2, 75    13 13  13  (Mỗi bước thực tính ghi 0,5đ; dùng máy tính kết khơng ghi điểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x   x   x  1,5đ 2,0đ Ta có: x   x    x  x    x  x   x  điểm Dấu “=” xảy  2  x 3 x     x2 0,5đ 2x   2x    2x  2x    2x  2x    Dấu “=” xảy  2 x  32 x      x  ThuVienDeThi.com 0,5đ 4  x 2   Do  A  x   x   x   ; Dấu “=” xảy    x 3 1 x    0,5đ x Vậy giá trị nhỏ A minA =  0,5đ b) Tìm hai số: 2,0đ Gọi số khác cần tìm x y Ta có: x 5k (1); x  y  3k (2); xy  x y 200 k x y xy x  y  x  y x 3x     k0 200 10 3 3 3  0,5đ (3) 5k 5k k 20 k Từ (1) (2)  y  3k    xy   3 3 Từ (3) (4) 200 k  20 k 4k  k  30 (vì k Vậy hai số cần tìm 50; 40 a) Chứng minh KB//AD 0,5đ  0)  x  0,5đ (4) 5.30  50; y  4.30  40 0,5đ 1,5đ ฀  90  BAD ฀  CAD ฀  90 ; AH  BC   AHD vuông H  HAD ฀  ADH ฀ BAC  90 0 ฀  HAD ฀ ฀ ) mà BAD (vì AD phân giác BAH 0,75đ ฀  ADH ฀  ACD cân C  CAD ฀  180  C฀ nên CAD ฀  CK  BC ( gt )  CBK cân C  CKB 4 điểm ฀ 1800  C 0,75đ ฀  CKB ฀ Do  CAD  KB ฀ AD b) Chứng minh KD  BC 1,5đ KC = BC (gt), AC = CD ( ACD cân C)  BD = KA (1) ฀  ฀AKB (2) CBK cân C  DBK 0,5đ Từ (1) (2)  BKD  KBA (c g c ) 0,5đ ฀  KAB ฀  90  KD  BC  BDK c) Tính độ dài KB: 0,5đ 1,0đ Lập luận tính đúng: BC  AB  AC    10  BC  10  ACD cân C  CD  AC   BD  BC  CD  10   BKD  KBA (cmt )  KD  AB  2 2 2 KD  BC  KDB vuông D  KB  KD  BD    40  KB  40 Chứng minh: AM  DE Trên tia đối tia MA lấy điểm F cho MF = MA  AMB  FMC (c g c ) 2 2 ฀  AB  AD  CF (1); ฀ ABM  FCM (2) ฀  BAC ฀  1800 (3) Từ (2)  CF ฀ AB  FCA điểm ฀  EAD ฀  CAD ฀  EAD ฀  180  BAC ฀  EAD ฀  180 (4)  BAE 0 ฀  EAD ฀ ฀ Từ (3) (4)  FCA  ADE  CFA (c g c )  ฀ AED  CAF ฀  90 hay ฀AEK  KAE ฀  CAE ฀  90 nên  ฀AED  FAE ฀  FAE ฀  90 mà CAF  AKE vuông K  AM  DE * Mọi cách giải khác đúng, hợp logich đạt điểm tối đa ThuVienDeThi.com 0,5đ 3,0đ 0,5đ 0,5đ ฀  EAD ฀  BAD ฀  90 ; AE  AC  CAD ฀  EAD ฀  CAE ฀  90 AD  AB  BAE 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ ... 1.2 = (– 1). (– 2)  a = 1; a = – Với 0,5đ (thi? ??u giá trị trừ 0,5 điểm – tức là: không ghi điểm ý này) a) Cho đa thức f ( x )  ax  bx  2014 x  2015 , biết f (2015)  Hãy tính f (  2015) ...  a (  x )5  b(  x)3  2014(  x)  2015   ax  bx  2014 x  2015  f ( x )  f (  x)   f (2015)  f ( ? ?2015)   f ( ? ?2015)   f (2015)    Vậy: f ( ? ?2015)  0,5đ 1,5đ 0,5đ 0,5đ...KỲ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN Bài a) Số dương, số âm, số Ta có a  0, b  , nên từ a  b 2 Đáp