Tài liệu Rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9

tai lieu, luan van1 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” I PHẦN MỞ ĐẦU : I.1 Lý chọn đề tài : Một mục tiêu nhà trường đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết phải tạo tiền đề vững lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên mơn nói chung mơn tốn nói riêng Trong chương trình Tốn bậc THCS, học sinh tiếp cận với tốn cực trị lại nội dung quan trọng trình bồi dưỡng học sinh giỏi Chính gặp tốn tìm cực trị học sinh thường khó khăn định hướng cách giải, trình giải học sinh thường hay mắc phải sai lầm ngộ nhận Trước thực tế nhằm giúp học sinh nắm cách hệ thống có kĩ giải dạng toán cách thành thạo nhằm phát huy khả suy luận sáng tạo linh hoạt học sinh, từ tơi viết chun đề “Rèn luyện kĩ tìm GTLN,GTNN cho học sinh lớp 9” I.2 Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài : Củng cố cho học sinh kiến thức giá trị lớn – giá trị nhỏ Đưa cho học sinh nắm số dạng toán cực trị phương pháp giải, học sinh biết áp dụng để giải toán cực trị xuất đề thi vào THPT, đề thi học sinh giỏi lớp Chỉ cho học sinh số sai lầm thường gặp trình giải tốn cực trị Nâng cao chất lượng cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường Giáo viên : document, khoa luan1 of 98 THCS Trang tai lieu, luan van2 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Giúp cho giáo viên tham khảo nghiên cứu áp dụng trường hợp cụ thể phụ thuộc vào đối tượng học sinh I.3 Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp bậc trung học sở Trường THCS - Huyện ČưMgar năm học 2012 – 2013; 2013 – 2014; 2014-2015 I.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu : Sáng kiến áp dụng tốt cho học sinh khá, giỏi nhằm chuẩn bị cho kì thi, kì kiểm tra đặc biệt kì thi học sinh giỏi, kì thi giải tốn mạng, kì thi vào lớp 10 I.5 Phương pháp nghiên cứu : Để thực nghiên cứu đề tài dùng phương pháp nghiên cứu sau: - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp thu thập xử lý số liệu - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại II PHẦN NỘI DUNG : II.1 Cơ sở lý luận : Toán học ngành khoa học giữ vai trị vơ quan trọng đời sống kinh tế, xã hội Toán học sở, phương tiện để nghiên cứu ngành khoa học khác Với mục tiêu giáo dục phổ thông giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kỹ Phát triển lực cá nhân, tính động sáng tạo học sinh, nhằm nâng cao lực phát triển giải vấn đề, rèn luyện thực kĩ vào thực tế, tạo hứng thú học tập cho học sinh Dựa sở giáo viên cần kết hợp phương pháp dạy học truyền thống với phương pháp dạy học đại dạy học phát giải vấn đề, dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ Hạn chế tối đa việc áp Giáo viên : document, khoa luan2 of 98 THCS Trang tai lieu, luan van3 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” đặt kiến thức, giáo viên đóng vai trị người hướng dẫn, gợi mở giúp học sinh tự khám phá kiến thức II.2 Thực trạng : a Thuận lợi - khó khăn : * Thuận lợi : Nhà trường quan tâm đến việc giảng dạy mơn tốn ln tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên học sinh Tập thể giáo viên tổ, nhóm chun mơn nhiệt tình thường xun dự góp ý để có dạy tốt Có tập thể học sinh đồn kết, ngoan ngỗn say mê học tập Bản thân thực cố gắng, nỗ lực phấn đấu học hỏi thêm đồng nghiệp q trình giảng dạy * Khó khăn : Một số học sinh em chưa có ý thức tự giác học, mà cịn mang tính ỷ lại lười suy nghĩ chưa độc lập việc tiếp thu kiến thức Gia đình em đa số làm nơng nghiệp, kinh tế cịn khó khăn nên chưa quan tâm nhiều đến em Các em học lớp mà thiếu hẳn việc luyện tập thực hành nhà nên kiến thức học nhanh quên, kỹ thực hành Bên cạnh có học sinh thực ham học, dẫn đến cách biệt kiến thức lớp, gây khó khăn việc truyền thụ kiến thức giáo viên b Thành công - hạn chế : Việc rèn luyện cho học sinh kĩ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận… qua có tác dụng tốt rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo, góp phần khơng nhỏ cho em bước vào kì kiểm tra, kì thi đặc biệt kì thi vào THPT tới Tuy nhiên phạm vi nghiên cứu nội dung nhỏ Giáo viên : document, khoa luan3 of 98 THCS Trang tai lieu, luan van4 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” nên chưa bao quát tổng thể tất nội dung, móng vững để tiếp tục nghiên cứu dạng toán cao sau c Mặt mạnh - mặt yếu : * Mặt mạnh : - Qua đề tài giúp học sinh hào hứng, say mê học tập chịu khó nghiên cứu, tư lơgíc để tìm lời giải mở rộng tốn tương tự - Đề tài giúp giáo viên nâng cao củng cố thêm mạch kiến thức đại số qua tìm tịi sách tham khảo, dạng đề thi Phát huy tính tự học tự rèn giáo viên * Mặt yếu : - Việc tư số học sinh chưa nhanh, khả phát hiện, vận dụng, suy luận biến đổi chưa thật tốt, chưa thật linh hoạt - Lực học học sinh lớp không đồng nên giáo viên gặp khó khăn việc truyền thụ kiến thức cho đối tượng học sinh khá; giỏi; trung bình yếu d Các nguyên nhân, yếu tố tác động : Do thời gian có hạn nên tơi nêu số dạng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phương pháp giải dạng tốn đó, để từ giúp em đạt kết cao kiểm tra 15 phút, kiểm tra tiết, kiểm tra học kì kì thi học sinh giỏi, kì thi vào THPT Do chất lượng đầu vào học sinh thấp nên ảnh hưởng phần không nhỏ đến kết học tập học sinh Do số học sinh chưa nhận thức tầm quan trọng việc học Do địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình khơng ổn định, cịn khó khăn nên nhiều ảnh hưởng đến việc học em Giáo viên : document, khoa luan4 of 98 THCS Trang tai lieu, luan van5 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Do sở vật chất trường thiếu sách, báo, tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh II.3 Giải pháp, biện pháp : a Mục tiêu giải pháp, biện pháp : Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng phát triển học sinh có lực Tốn, từ xây dựng cho học sinh kĩ nhận dạng giải Tốn Thúc đẩy việc tìm hiểu mở rộng kiến thức thêm giáo viên học sinh Xây dựng tài liệu hồn chỉnh số dạng Tốn khó cấp học THCS Với nội dung đề tài học sinh tự học, tự nghiên cứu nội dung khơng giới hạn cấp THCS mà cịn vận dụng nhiều cấp học cao Rèn luyện kĩ giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ thường gặp sách giáo khoa, đề thi vào lớp 10, đề thi học sinh giỏi, đề thi giải toán mạng b Nội dung cách thức thực giải pháp, biện pháp : A Cơ sở lý thuyết : Định nghĩa giá trị lớn (GTLN): Cho biểu thức f(x) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn f(x) D Kí hiệu M=max f(x), hai điều kiện sau thỏa mãn +Với x thuộc D f(x)  M, M số +Tồn xo thuộc D cho f(xo) = M Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN): Cho biểu thức f(x) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ f(x) D, kí hiệu m = f(x), hai điều kiện sau thỏa mãn: Giáo viên : document, khoa luan5 of 98 THCS Trang tai lieu, luan van6 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” +Với x thuộc D f(x)  m, m số +Tồn xo thuộc D cho f(xo) = m Các đẳng thức đáng nhớ : Trong đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau cho ta GTLN tích, GTNN tổng a) Nếu hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số nhau: Chứng minh :Nếu a, b có a + b = k ( k số ) (a + b)2  4ab ta có a.b  k2 k2 max(a.b) = a = b 4 b)Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số nhau: Chứng minh :Nếu hai số dương a b có a.b = h (hằng số) (a + b) nhỏ (a + b)2 nhỏ Mà (a + b)2  4ab  Min (a + b)2 = 4h, (khi a = b)  Min (a + b) = h , (khi a = b) Định nghóa tính chất giá trị tuyệt đối soá a.Định nghĩa: a = a a  a = - a a < Giáo viên : document, khoa luan6 of 98 THCS Trang tai lieu, luan van7 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” b.Tính chất: 1) a  đẳng thức xảy ab > 2) a  b  a + b 3) a  b  a - b ( đẳng thức xảy a  b  a  b  ) Một số tính chất bất đẳng thức thường gặp : a  a  b, ab    xảy đẳng thức a=b b  a  b   an  bn, n  N *  a b0 a  b  Bất đẳng thức côsi : Với a  0, b  ab  ab (Dấu “=” xảy  a  b )  Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki : Cho hai số a1 , a2 ; b1 , b2  Ta có a1.b1  a2 b2 2  a12  a22 b12  b22  ( Dấu “=” xảy a1 a  ) b1 b2 B Xây dựng hệ thống tập phù hợp với đối tượng học sinh, giúp học sinh độc lập suy nghĩ sáng tạo cách giải : Dạng : Tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng : f(x) = ax2 + bx + c (a, b, c số, a  ) Phương pháp giải: b2 b b2 x+ )+c= 4a a 4a b  (b  4ac) = a (x + ) + 4a 2a Ta có: f(x) = ax2 + bx + c = a ( x2 + * Nếu a > GTNN f(x)  (b  4ac) b x = GTLN 4a 2a * Nếu a <  (b  4ac) b GTLN f(x) x = khơng có GTNN 4a 2a Giáo viên : document, khoa luan7 of 98 THCS Trang tai lieu, luan van8 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ”  Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x2 – 6x + Giải: A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 –  - Nên minA = - x – = hay x = Vậy minA = -1 x = Ví dụ 2: Tìm GTLN B = - 3x2 + 2x + Giải: B = - 3x2 + 2x + = - (x2 - 16 16 1 x + ) + + = - 3(x - )2 +  3 3 Nên maxB = 16 1 x - = hay x = 3 Vậy maxB = 16 x = 3  Bài tập tự luyện : Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ A  x  8x  Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ B  x  x  Bài tập 3: Tìm giá trị có C  3x  x  Dạng : Tìm GTLN, GTNN biểu thức dạng : f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f (a,b,c,e,f số a.b  ) Phương pháp giải: Ta có f(x) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f 1 = a  x  (cy  d ) x  (cy  d )  (cy  d )  by  ey  f  a  4a 4a = …… = a  x  (cy  d )  m( y  q)  p  2a  Suy GTNN, GTLN f(x,y) ( x =  (cy  d ) y = - q.) Giáo viên : document, khoa luan8 of 98 THCS Trang tai lieu, luan van9 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ”  Ví dụ minh họa : Tìm GTNN biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 Giải: = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 C = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 = (x + – y)2 + (y + 1)2 + 10  10 x+2–y=0 x=-3  Nên minC = 10 y+1 =0 y=-1 Vậy minC = 10 x = -3, y = -1 Dạng : Tìm GTLN, GTNN biểu thức phân thức có tử số, mẫu tam thức bậc hai Phương pháp giải: a Sử dụng tính chất : a  b, ab    xảy đẳng thức a=b b  Ví dụ minh họa : * Ví dụ : Tìm giá trị lớn biểu thức : Hướng dẫn giải : Ta có : Q  7   x  x  x  x   (2 x  1)  Mà (2 x 1)2   (2 x 1)2   Suy Q  7  (2 x  1)  4 Vậy giá trị lớn Q Giáo viên : document, khoa luan9 of 98 THCS đạt x = Trang Q 4x  4x  tai lieu, luan van10 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Lưu ý học sinh dạng tránh sai lầm sau : lập luận Q có tử số nên Q lớn mẫu nhỏ Ta thấy rõ sai lầm qua giải tốn sau : Chẳng hạn xét biểu thức B = với lập luận “phân thức B có tử khơng đổi x 4 nên có GTLN mẫu nhỏ nhất” mẫu nhỏ - x = nên maxB = - 1 không giá trị lớn  x = Điều khơng 4 B Chẳng hạn x = B = 1  Mắc sai lầm khơng nắm vững tính chất bất đẳng thức máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang phân số có tử mẫu số nguyên * Ví dụ 2: Tìm GTLN phân thức: E  Giải: Ta có E   x  2x  3 3 3     x  x  x  x  x  x    x  12  Vì x  12   nên 3 3    1 x  1  3 x  1  Vậy E  1 ; Dấu “=” xảy x - =  x  Vậy E = -1 x = Dạng : Tìm GTLN, GTNN biểu thức phân thức có bậc tử thức bậc mẫu thức Phương pháp giải : Tổng quát: f x   Đặc biệt f x   A x  , C x   Từ suy GTLN, GTNN M B x  C x  x  x  b bx  2bx  b b  1x  x  2bx  b   x2 bx bx b  x  b b 1    ; b bx b Dấu “=” xảy x  b   x  mb Giáo viên : document, khoa luan10 of 98 THCS Trang 10 tai lieu, luan van11 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ”  Ví dụ minh họa : *Ví dụ 1: Tìm GTLN B  3x  x Và giá trị x tương ứng x2  x  2  3x  x x   x  x  Giải: B    4 2 x 1 x 1 x 1 Dấu “=” xảy x - =  x = Vậy MaxB = x = *Ví dụ 2: (Trích đề thi vào lớp 10 –Quảng Ngãi năm 2013-2014) Với x  , tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  x  2014 x2 Hướng dẫn giải : A x  x  2014  Ax  x  x  2014   A  1 x  x  2014  1 x * Với A   x  1007 * Với A  PT (1) pt bậc ẩn x có  '   2014  A  1   2014 A  2014  2014 A  2013 PT (1) có nghiệm  '   2014 A  2013   A  Kết hợp với trường hợp A=1 ta có Amin  2013 2014 2013 2014  Bài Tập Tự Luyện : (Trích đề thi vào lớp 10-Cao Bằng năm 2012-2013) x2  4x  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 Dạng : Vận dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm GTLN, GTNN biểu thức Bất đẳng thức Côsi Với a  0, b  Giáo viên : document, khoa luan11 of 98 ab  ab (Dấu “=” xảy  a  b ) THCS Trang 11 tai lieu, luan van12 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ”  Ví dụ minh họa : *Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A  3x    3x Nhận xét: Biểu thức A cho dạng tổng hai thức Hai biểu thức lấy có tổng khơng đổi Vì ta bình phương biểu thức A ta xuất hạng tử hai lần tích hai thức Đến vận dụng bất đẳng thức Côsi: Giải: ĐKXĐ: ab  ab hay ab  a  b x 3 A2  3x  5  7  3x   3x  57  3x  Mà 3x  57  3x   3x    3x  Nên A2    , dấu “=” xảy  3x    3x  x  Vậy maxA = x = * Ví dụ : (trích đề thi vào lớp 10-Phú Thọ năm 2013-2014) Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y x( x  y )  y (2 y  x) Hướng dẫn giải : Áp dụng Bất đẳng thức CôSi cho số dương ab  ab Ta có x( x  y )  3x  x  y x  y  (1) 2 y ( y  x)  3y  y  x 5y  x  (2) 2 Từ (1) (2) ta có P  Min ( P)  Giáo viên : document, khoa luan12 of 98 3( x  y) 3x(2 x  y )  y (2 y  x)  3x  x  y  x y 3 y  y  x THCS Trang 12 3( x  y)  6x  y tai lieu, luan van13 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” *Ví dụ 3: Cho x > Tìm GTNN biểu thức A  Nhận xét: 3x 3x  16 x3 16 có tích khơng phải số Muốn khử x x tử phải có x  x.x.x phải biểu diễn 3x = x + x + x dùng bất đẳng thức Côsi cho số dương Giải: A  16 16 16 3x  16  3x   x  x  x   44 x.x.x  4.2  x x x x Dấu “=” xảy x  16 x3  x=2 Vậy minA = x=2 *Ví dụ : (Trích đề thi vào lớp 10 – Hà Nội năm 2012-2013) Với x, y số dương thỏa mãn điều kiện x  2y , tìm giá trị nhỏ biểu thức: M  x  y2 xy Hướng dẫn giải : Ta có M = x2  y x2 y x y x y 3x      (  ) xy xy xy y x 4y x 4y Vì x, y > , áp dụng bdt Cô si cho số dương x y x y  2 1, 4y x 4y x dấu “=” xảy  x = 2y Vì x y x y x ≥ 2y      , dấu “=” xảy  x = 2y Từ ta có M ≥ + = , dấu “=” xảy  x = 2y Vậy GTNN M Giáo viên : document, khoa luan13 of 98 , đạt x = 2y THCS Trang 13 x y ; 4y x ta có tai lieu, luan van14 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” *Ví dụ : (Trích đề thi vào lớp 10-Quảng Ngãi năm 2012-2013) Cho x  0, y  thỏa mãn x2  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2 xy  xy Hướng dẫn giải : Với x  0, y  ta có x2  y 2  xy  xy    xy      2  xy  xy Do A  2 xy  2   2     xy  xy 3 Dấu “=” xảy x  y  x  0, y   Từ  x  y xy  2 x  y  Vậy A   2 x  y  Dạng : Vận dụng bất đẳng thức Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Để tìm GTLN, GTNN biểu thức Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Cho hai số a1 , a2 ; b1 , b2  Ta có a1.b1  a2 b2 2  a12  a22 b12  b22  Dấu “=” xảy a1 a  b1 b2  Ví dụ minh họa : *Ví dụ 1: Cho x  y  10 Tìm GTNN x + y Nhận xét:  x   y 2  x y Giải: Do áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai số (1;2) ( x; y ) Giáo viên : document, khoa luan14 of 98 THCS Trang 14 tai lieu, luan van15 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” 1 Ta được: x 2 y   1   2 x  y  10  5x  y  x  y   20 Dấu “=” xảy y x   x = 4, y = 16 Vậy min( x + y) = 20 x = 4, y = 16 * Ví dụ : (Trích đề thi vào lớp 10-Bắc Ninh năm 2012-2013) Cho số x,y thỏa mãn x  0; y  x + y = Tìm giả trị lớn nhỏ A = x2 + y2 Hướng dẫn giải : * Tìm giá trị nhỏ biểu thức A Theo Bất đẳng thức Bunhia ta có = x + y hay 1= (x + y)2  2x  y   x  y  Vậy giá trị nhỏ biểu thức A 1/2 x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m) * Tìm giá trị lớn biểu thức A Ta có A = x2 + y2 hay xy = 1 A (*) x + y =1 mà x  0; y   xy  Do theo (*) có A  Vậy giá trị lớn biểu thức A x = y = x= y = Dạng : Phương pháp miền giá trị hàm số Phương pháp : Xét tốn sau: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (x) với x  D Gọi y giá trị tuỳ ý hàm số xét miền cho, tức hệ phương trình (ẩn x ) sau có nghiệm: Giáo viên : document, khoa luan15 of 98 f ( x)  y (1) xD (2) THCS Trang 15 tai lieu, luan van16 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Tuỳ dạng hệ (1) , (2) mà ta có điều kiện có nghiệm thích hợp Trong nhiều trường hợp, điều kiện đưa dạng a  y0  b (3) Vì y giá trị f (x) nên từ (3) ta thu được: Min f ( x)  a Max f ( x)  b x  D Như thực chất phương pháp đưa phương trình bậc hai sử dụng điều kiện    Ví dụ minh họa : Ví dụ :Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: A x2  x 1 x2  x 1 Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm a  x2  x 1 (1) x2  x 1 Do x  x   nên (1)  ax  ax  a  x  x  )(a  1) x  (a  1) x  (a  1)  0(2) + TH1: Nếu a  (2) có nghiệm x  + TH2: Nếu a  để (2) có nghiệm, cần đủ   , tức là: (a  1)  4(a  1)   (a   2a  2)(a   2a  2)   (3a  1)(a  3)   Với a  Giáo viên : document, khoa luan16 of 98  a  (a  1) a  nghiệm (2) là: THCS Trang 16 x  (a  1) (a  1)  2(a  1) 2(1  a) tai lieu, luan van17 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Với a  x  1, với a  x  1 Gộp hai trường hợp ta có: MinA   x 1 MaxA   x  1 x  6x  Ví dụ : Tìm Max Min biểu thức E = x2 1 Hàm số xác định với giá trị x  R (vì x2 + > 0, x ) x  6x  Gọi yo giá trị hàm Phương trình yo = có nghiệm x2 1 Suy yo(x2 + 1) = x2 + 6x + có nghiệm  (yo – 1)x2 – 6x + yo – = có nghiệm Ta xét : - Nếu yo =  x = (thích hợp) - Nếu yo  1, lập ’ = – (yo – 1)2   (yo – 1)2   | yo – |   –  y  Vậy Min y = –  x= -1 Max y =  x= Ví dụ : (Trích đề thi vào lớp 10-Ninh Bình năm 2012-2013) Cho x; y R , thỏa mãn x2 + y2 = Tìm GTLN : P  Hướng dẫn giải : Từ x  y   1  x, y     y    Vì P  x y  x  P( y  ) thay vào x  y  Đưa pt: ( P  1) y  2P y  2P   Giáo viên : document, khoa luan17 of 98 THCS Trang 17 x y tai lieu, luan van18 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Dùng điều kiện có nghiệm pt bậc hai  P   PMax  x   1  y    Bài tập áp dụng : Tìm Max Min biểu thức D = x2 +y2 biết x2 +y2 –xy =  Một vài dạng khác : Bài tốn 1: (Trích đề thi vào lớp 10-Hà Nam năm 2013-2014) Cho số thực dương x, y thỏa mãn y 2x    2x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = xy – 3y - 2x – Hướng dẫn giải : y 2x    2x  y 1  y y  y  (2x  3) 2x   2x        y  2x   y   3 y  2x   y  (2x  3)   y(2x  3)  2x   y  2x   Có y  y 2x   2x   y  2x  với x, y dương  y  2x  =  y = 2x +  Q = x(2x + 3) – 3(2x + ) – 2x – = 2x2 + 3x – 6x - – 2x -3  25  25   = 2x2 – 5x – 12 =  x  x   12 =  x  2.x     12  16     121 121   = 2 x    với x > 4 8  Giáo viên : document, khoa luan18 of 98 THCS Trang 18 tai lieu, luan van19 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Dấu xảy x  GTNN Q =  5 22 11 =  x   y     4 4 11 121  x  y = Bài tốn 2: Tìm GTNN của: M  x   x   x   x  Giải: M  x 1  x   x   x  x 1  x   x 1   x  x 1   x  Ta có: Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x)  hay 1 x  x   x 3  x   3 x  x   3 x 1 Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x)  hay 2 x3 Vậy Min M = + =  x  Bài tốn 3: Tìm x  Z để biểu thức D = x  + x  đạt GTNN Giải: Ta có D = x  + x  = x  +  x  x    x = Dấu “=” xảy (x-2) (8-x)  Lập bảng xét dấu: x x-2 - 8-x + (x-2)(8-x) - 0 + + + - + - Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x)    x  Vậy minD =  x  Giáo viên : document, khoa luan19 of 98 THCS Trang 19 tai lieu, luan van20 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Bài tốn 4: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Tìm m x1  x2 đạt GTNN Gợi ý: '  (2m  1)2    phương trình ln có nghiệm phân biệt x1; x2 Theo định lý vi-ét ta có:  x1  x2  2m   x1.x2  3m  4m  Do x1  x2   4m  2    2 GTNN x1  x2 m = m R c Điều kiện thực giải pháp, biện pháp : Trong giảng dạy phải tạo không khí vui vẻ để học sinh thi đua hợp tác lẫn trình tìm kiếm, phát kiến thức Trong tiết học khóa cần lồng ghép tập số đề thi vào trung học phổ thơng, đề thi tốn mạng violympic để học sinh thấy tầm quan trọng dạng tốn Ngồi người thầy cần chuẩn bị thật chu đáo cho nội dung dạy để sẵn sàng trả lời thắc mắc mà học sinh gặp phải trình tự học, trình đọc sách tham khảo học sinh d Mối quan hệ giải pháp biện pháp : Các biện pháp giải pháp nêu ln quan hệ mật thiết với nhau, Thứ học sinh có nắm kiến thức lý thuyết vận dụng làm tập được, thứ làm tập cần phân thành dạng phương pháp giải dạng cụ thể để học sinh dễ nắm bắt, dễ phát cách giải dạng toán nhớ lâu Việc trình bày nội dung giải pháp biện pháp nêu nội dung số dạng toán thường gặp kiểm tra, thi cử Ngoài Giáo viên : document, khoa luan20 of 98 THCS Trang 20 tai lieu, luan van21 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” số dạng tốn khác tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đòi hỏi học sinh phải biết tư sáng tạo để phát cách giải tốn II.4 Kết thu qua khảo nghiệm, giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu : Trong học khố tơi lồng ghép tập phương pháp giải, sở giải theo phương pháp để học sinh hình thành kỹ giải loại toán Cho học sinh thực hành tập tương tự lớp Đặc biệt luyện tập, ôn tập chương tiếp tục cho học sinh giải tập nâng cao, làm thử đề thi tuyển sinh chuyên chọn Qua học sinh thấy tầm quan trọng loại toán này, tự rèn luyện tạo kỹ cho rút cách giải tập phức tạp Sáng kiến kinh nghiệm “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp 9” thử nghiệm áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS liên tục năm (năm học 2012-2013; 2013-2014; 2014- 2015) Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vào giải tập nhanh, khoa học, xác Nhiều em đề xuất hướng giải khác tổng qt hóa tốn Các em ngày u thích mơn Tốn mà năm liên tục tơi có học sinh giỏi cấp cụ thể sau : Sau áp dụng đề tài cho năm học kết đạt cụ thể sau : Năm học (Bao gồm HS giỏi Văn hóa tốn + Giải tốn máy Casio + Toán Violympic) Kết cấp Trường Kết cấp huyện 2012-2013 học sinh giỏi học sinh giỏi 2013-2014 học sinh giỏi học sinh giỏi 2014-2015 Giáo viên : document, khoa luan21 of 98 học sinh giỏi THCS (đã thi huyện) Trang 21 Kết cấp Tỉnh (đã thi tỉnh) kết khả quan tai lieu, luan van22 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Trong sáng kiến kinh nghiệm tơi cịn có trình bày sai lầm phân tích tìm GTLN GTNN Bởi sai lầm, ngộ nhận trình suy luận logic mà em cần phải tránh làm bài.Việc vận dụng bất đẳng thức Cơsi, Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị cịn khó học sinh THCS Chính giáo viên cần phải quan tâm đầu tư phương pháp nhằm trao dồi, rèn luyện tìm cách suy luận, gợi mở tạo hứng thú học tập cho em, để em học tập hiệu Như sau tơi phân tích đưa dạng toán phương pháp giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức đại số, kết thu học sinh hình thành, định hướng cách giải loại toán Bằng phương pháp gợi mở nêu vấn đề, câu hỏi dẫn dắt, em tự phát hướng giải cho tập tạo hứng thú, phát triển trí thơng minh sáng tạo cho học sinh Từ chất lượng dạy học mơn Đại số nói riêng mơn Tốn nói chung nâng lên III PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ : III.1 Kết luận : Các dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ chương trình Đại số rộng sâu, tương đối khó với học sinh, nói có liên quan mang tính lơgíc tốn học cao, tập kiến thực rộng, nhiều Qua việc giảng dạy thực tế nhận thấy để nâng cao chất lượng dạy học giúp học sinh hứng thú học tập mơn Tốn nói chung phần Đại số nói riêng giáo viên phải tích luỹ kiến thức, phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh cầu nối linh hoạt có hồn kiến thức học sinh Với sáng kiến “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” cố gắng trình bày tương đối đầy đủ dạng tốn phương pháp giải dạng tốn đó, từ giúp học sinh hiểu kĩ sâu Bên Giáo viên : document, khoa luan22 of 98 THCS Trang 22 tai lieu, luan van23 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” cạnh tơi ln phân tích sai lầm học sinh nêu phương pháp khắc phục định hướng dạy học dạng để nâng cao cách nhìn nhận học sinh qua giáo viên giải vấn đề mà học sinh mắc phải cách dễ hiểu Ngoài tơi cịn đưa số tập tiêu biểu thơng qua ví dụ để em thực hành kỹ III.2 Kiến nghị : Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn tơi nghiên cứu phạm vi Vì đưa vấn đề để áp dụng vào năm học qua đúc rút năm học trước dạy Tôi xin đề xuất số ý nhỏ sau nhằm nâng cao chất lượng dạy học giáo viên học sinh : - Giáo viên cần nghiên cứu kĩ nội dung chương trình sách giáo khoa, soạn giáo án cụ thể chi tiết, thiết kế đồ dùng dạy học cho sinh động thu hút đối tượng học sinh tham gia - Giáo viên cần tích cực học hỏi tham gia chuyên đề, hội thảo tổ, nhóm nhà trường, tham gia tích cực nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng thường xuyên - Học sinh cần học kĩ lý thuyết cố gắng hiểu kĩ kiến thức lớp Về nhà tích cực làm tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý - Gia đình học sinh tổ chức đoàn thể xã hội cần quan tâm trách nhiệm tới việc học tập em Trên số kinh nghiệm mà đúc rút qua năm dạy học lớp mạnh dạn trao đổi với q thầy bạn bè đồng nghiệp Trong q trình thực hiện, khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp chân thành hội đồng chấm sáng kiến, bạn bè đồng nghiệp để đề tài tơi hồn thiện Giáo viên : document, khoa luan23 of 98 THCS Trang 23 tai lieu, luan van24 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Tôi xin chân thành cảm ơn ! Quảng Hiệp, ngày 10 tháng 04 năm 2015 NGƯỜI NGHIÊN CỨU Giáo viên : document, khoa luan24 of 98 THCS Trang 24 tai lieu, luan van25 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Sách giáo khoa Toán tập NXB GD- 2007 2/ Sách giáo viên Toán tập NXB GD- 2007 3/ Sách tập Toán tập NXB GD- 2007 4/ Nâng cao phát triển toán – Vũ Hữu Bình 5/ Các dạng tốn phương pháp giải Tốn - Tơn Thân 6/ Ơn luyện tốn THCS - Tác giả : Vũ Hữu Bình 7/ Ơn tập củng cố kiến thức tốn – Huỳnh Bá Lộc 8/ Hướng dẫn giải dạng tập từ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn tốn sở GD&ĐT – Lê Thị Vân Anh 9/ Những vấn đề chung đổi phương pháp dạy học THCS 10/ Phương pháp dạy học môn toán.Tác giả :GS.TSKH.Nguyễn Bá Kim Giáo viên : document, khoa luan25 of 98 THCS Trang 25 ... of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Giúp cho giáo viên tham khảo nghiên cứu áp dụng trường hợp cụ thể phụ thuộc vào đối tượng học sinh I.3 Đối tượng nghiên cứu : Học sinh lớp. .. Việc rèn luyện cho học sinh kĩ tìm giá trị lớn nhất, nhỏ giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Rèn luyện cho học sinh phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận… qua có tác dụng tốt rèn luyện. .. document, khoa luan 19 of 98 THCS Trang 19 tai lieu, luan van20 of 98 “ Rèn luyện kĩ tìm GTLN, GTNN cho học sinh lớp ” Bài tốn 4: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Tìm m x1  x2 đạt GTNN Gợi ý: