Giải tích (cơ bản) Bài 3: Không gian Hilbert47278

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Chun ngành: Giải Tích, PPDH Tốn Phần Khơng gian định chuẩn Ánh xạ tuyến tính liên tục §3 Khơng gian Hilbert (Phiên chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 I Phần lý thuyết 1.1 Tích vơ hướng, không gian Hilbert Định nghĩa Định nghĩa 1 Cho không gian vectơ X trường số K(K = R K = C).Một ánh xạ từ X × X vào K, (x, y) → x, y gọi tích vơ hướng X thỏa mãn điều kiện sau: (a) x, x ≥ ∀x ∈ X x, x = ⇔ x = θ (b) y, x = x, y ( y, x = x, y K = R), (c) x + x′, y = x, y + x′, y ∀x, x′, y ∈ X (d) λx, y = λ x, y ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ K DeThiMau.vn ∀x, y ∈ X Từ tính chất i) - iv) ta có: x, y + y ′ = x, y + x, y ′ , x, λy = λ x, y x, x Nếu , tích vơ hướng X ánh xạ x → chuẩn X, gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Nếu , tích vơ hướng X cặp(X, , ) gọi không gian tiền Hilbert (hay không gian Unita, không gian với tích vơ hướng) Sự hội tụ, khái niệm tập mở, ,trong (X, , ) gắn với chuẩn sinh , Nếu không gian định chuẩn tương ứng đầy đủ ta nói (X, , ) khơng gian Hilbert 1.2 Các tính chất Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz: | x, y | ≤ x y x + y + x − y (đẳng thức bình hành) = 2( x + y 2) Nếu lim xn = a, lim yn = b lim xn, yn = a, b Ví dụ 1 Trong C[a, b] hàm thực liên tục [a, b] ánh xạ b (x, y) → x, y = x(t)y(t)dt a tích vơ hướng Khơng gian (C[a, b], , ) khơng khơng gian Hilbert.(xây dựng ví dụ tương tự phần không gian metric) Trong l2, với x = {λk }, y = {αk }, ta định nghĩa ∞ x, y = λk αk k=1 , tích vơ hướng, (l2, , ) không gian Hilbert DeThiMau.vn Sự trực giao 2.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho không gian với tích vơ hướng (X, , ) x, y ∈ X, φ = M ⊂ X Ta nói x trực giao với y (viết x⊥y) x, y Nếu x⊥y ∀y ∈ M ta viết x⊥M Ta ký hiệu M ⊥ = {x ∈ X : x ⊥ M } 2.2 Các tính chất Nếu x ⊥ M x ⊥ M ( M không gian sinh M) Nếu x ⊥ yn ∀n ∈ N∗ lim yn = y x ⊥ y Suy x ⊥ M có x ⊥ M M ⊥ khơng gian đóng Nếu x1, , xn đôi nột trực giao x1 + + xn = x1 + + xn 2(đẳng thức Pythagore) Định lý (về phân tích trực giao) Nếu M khơng gian đóng khơng gian Hilbert (X, , ) x ∈ X có phân tích dạng x = y + z, y ∈ M, z ∈ M ⊥ (1) Phần tử y (1) gọi hình chiếu trực giao x lên M có tính chất ′ x − y = inf x − y ′ y ∈M DeThiMau.vn Hệ trực chuẩn Chuỗi Fourier 3.1 Định nghĩa Cho không gian Hilbert (X, , ) Hệ {e1, e2, } ⊂ X gọi hệ trực chuẩn nếu i = j i = j ei, ej = Như vậy, {en} hệ trực chuẩn en ei ⊥ ej (i = j) = ∀n ∈ N∗ Hệ trực chuẩn {en} gọi đầy đủ, có tính chất sau: (x ⊥ en ∀n = 1, 2, ) ⇒ x = θ Nếu {en} hệ trực chuẩn chuỗi ∞ n=1 x, en · en gọi chuỗi Fourier phần tử x theo hệ chuẩn {en} Định lý Cho {en} hệ trực chuẩn không gian Hilbert (X, , ) {λn} dãy số Ta xét chuỗi ∞ (2) λnen n=1 Ta có: Chuỗi (2) hội tụ ∞ n=1 |λn | < ∞ Giả sử chuổi (2) hội tụ có tổng x ∞ x |λn|2, = x, en = λn n=1 DeThiMau.vn ∀n ∈ N∗ Định lý Chuỗi Fourier phần tử x ∈ X theo hệ trực chuẩn {en} hội tụ ta có ∞ | x, en |2 ≤ x2 (bất dẳng thức Bessel) n=1 Ý nghĩa hệ trực chuẩn đầy đủ làm rõ định lý sau Định lý Cho {en} hệ trực chuẩn Các mệnh đề sau tương đương: Hệ {en} đầy đủ ∞ x= x, en en, ∀x ∈ X n=1 ∞ x | x, en |2 = ∀x ∈ X (đẳng thức Parseval) n=1 II Phần Bài tập Bài tập Trong không gian l1 dãy số thực x = {λk }, ∞ ta định nghĩa ∞ x, y = λk · αk , x = {λk } ∈ l1, y = {αk } ∈ l1 k=1 Chứng minh , tích vơ hướng l1 (l1, , ) không không gian Hilbert Giải DeThiMau.vn ∞ k=1 |λk | < Trước tiên ta cần kiểm tra x, y xác định ∀x, y ∈ l1 Thật vậy, lim αk = nên {αk } bị chặn: ∃M ∈ R, |αk | ≤ M ∀k ∈ N∗ Do ∞ ∞ |λk αk | ≤ M |λk | < ∞ k=1 k=1 chuỗi định nghĩa x, y hội tụ Các điều kiện tích vơ hướng dễ dàng kiểm tra 2 Chuẩn sinh , x = ( ∞ k=1 λk ) , x = {λk } Xét dãy {xn} ⊂ l1 với xn = {1, 12 , , n1 , 0, 0, } • Ta có {xn} dãy Cauchy với n > m: xn − xm = {0, , 0, n ⇒ xn − xm = ( k=m+1 1 , , , 0, 0, } m+1 n 1 ) −→ k (khi n, m → ∞) • Ta chứng minh {xn} không hội tụ Giả sử trái lại tồn a = {αk } ∈ l1 cho lim xn − a = Cố định k ∈ N∗, n ≥ k, ta có | − αk | ≤ xn − a k Từ ta có αk = k1 ∀k ∈ N∗, vơ lý dãy { k1 }k ∈ / l1 Vậy l1 với tích vô hướng không không gian Hilbert Bài tập Cho không gian Hilbert X X0 không gian đóng X, A : X0 → Y ánh xạ tuyến tính liên tục(Y khơng gian định chuẩn) Chứng minh tồn ánh xạ tuyến tính liên tục B : X → Y cho B(x) = A(x) ∀x ∈ X0, B = A DeThiMau.vn Giải • Ta định nghĩa ánh xạ A sau Theo định lý phân tích trực giao, x ∈ X có phân tích y ∈ X0, z ∈ X0⊥ x = y + z, (3) ta đặt B(x) := A(y) Vì phân tích dạng (3) x ∈ X0 x = x + θ nên ta có B(x) = A(x) ∀x ∈ X0 • Ta kiểm tra B tuyến tính: với x, x′ ∈ X, α, α′ ∈ K ta viết phân tích (3) x′ = y ′ + z ′ , y ′ ∈ X0, z ′ ∈ X0⊥ Khi đó: αx + α′x′ = (αy + α′y ′) + (αz + α′z ′) ∈X0 ∈X0⊥ ⇒ B(αx + α′x′) = A(αy + α′y ′) = αA(y) + α′A(y ′) = αB(x) + α′B(x′) • Tiếp theo ta chứng minh B liên tục B = A Từ (3) định lý Pythagore ta có x = y + z 2, đó: B(x) ⇒ B(x) = ≤ A(y) ≤ A · y A · x , ∀x ∈ X (Do A liên tục) Vậy B liên tục B ≤ A Mặt khác ta có: B = supx∈X, x =1 B(x) ≥ supx∈X0, = supx∈X0, x =1 A(x) = A Vậy B = A DeThiMau.vn x =1 B(x) Bài tập Cho hệ trực chuẩn {en} không gian Hilbert X Xét dãy ánh xạ Pn :X −→ X n Pn(x) = x ∈ X, n ∈ N∗ x, ek ek , k=1 Chứng minh Pn(x) hình chiếu trực giao x lên Xn := e1, , en Giả sử hệ {en} đầy đủ Chứng minh limn→∞ ||Pn(x)−I(x)|| = ∀x ∈ X ||Pn −I|| 0(I : X → X ánh xạ đồng nhất) Giải Ta có: x = Pn(x) + (x − Pn(x)), Pn(x) ∈ Xn Do cịn phải chứng minh x − Pn(x) ∈ Xn⊥ hay x − Pn(x) ⊥ Xn Vì Xn sinh {e1, , en} nên cần chứng minh x − Pn(x) ⊥ ei ∀i = 1, , n.Thật vậy: n x−Pn(x), ei = x, ei − x, ek ek , ei = x, ei − x, ei = k=1 – Do đẳng thức Parseval, ta có ∀x ∈ X: ∞ n x, ek · ek = lim x= k=1 n→∞ x, ek · ek = lim Pn(x) k=1 n→∞ – Đặt ∞ Qn(x) = I(x)−Pn(x) = x, ek ·ek , x ∈ X, n = 1, k=n+1 DeThiMau.vn Ta có Qn(x) tuyến tính ∞ ||Qn(x)||2 = | x, ek |2 ≤ ||x||2 (bđt Bessel) k=n+1 ⇒ Qn liên tục, ||Qn|| ≤ Mặt khác, Qn(en+1) = en+1 ||Qn|| ≥ ta có ||Qn|| = hay ||I − Pn|| = ||Qn (en+1 || ||en+1 || = nên Bài tập Cho {en} hệ trực chuẩn không gian Hilbert X {λn} dãy số Giả sử {λn} dãy bị chặn Chứng minh ∞ A(x) = λn x, en · en x∈X (4) n=1 ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào X ||A|| = supn∈N∗ |λn| Giả sử chuỗi (4) hội tụ ∀x ∈ X Chứng minh {λn} dãy bị chặn Giải Đặt M = supn∈N∗ |λn| Đầu tiên ta kiểm tra A xác định hay chứng minh chuỗi (4) hội tụ Ta có ∞ ∞ |λn x, en |2 ≤ M n=1 | x, en |2 ≤ M · ||x||2 (5) n=1 nên theo định lý 2, chuỗi (4) hội tụ Dễ kiểm tra A ánh xạ tuyến tính Từ định lý (5) ta có DeThiMau.vn ∞ |λ x, en |2 ≤ M · ||x||2 ∀x ∈ X ||A(x)|| = n=1 ⇒ A liên tục, ||A|| ≤ M Mặc khác ta có: A(ek ) = λk ek ||A(ek )|| ≤ ||A|| ∀k ∈ N∗ nên ||A|| ≥ |λk | ∀k ∈ N∗ Do ||A|| ≥ M Vậy ||A|| = M đpcm Từ giả thiết định lý 2, ta có ∞ |λn|2 · | x, en |2 < ∞ ∀x ∈ X (6) n=1 Nếu {λn} khơng bị chặn ta tìm dãy {λnk }k cho |λnk | > k(k ∈ N∗) Ta có ∞ k=1 ∞ |λnk |2 ≤ k=1 ⇒ ∃a := k2 Ta có a, en = λnk ∞ k=1 en λn k k (theo định lý 2) n = nk n ∈ / {n1, n2, } đó: ∞ ∞ |λn|2 · | a, en |2 = n=1 |λnk |2 · k=1 Ta gặp mâu thuẩn với (6) 10 DeThiMau.vn |λnk |2 =∞ ... { k1 }k ∈ / l1 Vậy l1 với tích vơ hướng không không gian Hilbert Bài tập Cho không gian Hilbert X X0 khơng gian đóng X, A : X0 → Y ánh xạ tuyến tính liên tục(Y khơng gian định chuẩn) Chứng minh... Phần Bài tập Bài tập Trong không gian l1 dãy số thực x = {λk }, ∞ ta định nghĩa ∞ x, y = λk · αk , x = {λk } ∈ l1, y = {αk } ∈ l1 k=1 Chứng minh , tích vơ hướng l1 (l1, , ) không không gian. .. x, x Nếu , tích vơ hướng X ánh xạ x → chuẩn X, gọi chuẩn sinh tích vơ hướng Nếu , tích vơ hướng X cặp(X, , ) gọi khơng gian tiền Hilbert (hay khơng gian Unita, khơng gian với tích vô hướng)