Giải tích (cơ bản) Phần 1: Không gian metric44782

GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Khơng gian metric Phiên chỉnh sửa - có phần bổ sung trước PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 Nội dung mơn Cơ sở Chun ngành: Tốn Giải tích Phương pháp Giảng dạy Tốn Phần 1: Không gian metric Metric tập hợp Sự hội tụ Không gian đầy đủ Tập mở Tập đóng Phần trong, bao đóng tập hợp Ánh xạ liên tục không gian metric Các tính chất: • Liên hệ với hội tụ • Liên hệ với ảnh ngược tập mở, tập đóng • Ánh xạ mở, ánh xạ đóng, ánh xạ đồng phơi Tập compắc Các tính chất bản: • Hệ có tâm tập đóng • Tính chất compắc hội tụ • Ảnh tập compắc qua ánh xạ liên tục Phần 2: Độ đo tích phân σ–đại số tập hợp Độ đo tính chất Các tính chất độ đo Lebesgue R (không xét cách xây dựng) Hàm số đo Các tính chất DeThiMau.vn • Các phép tốn số học, lấy max, hàm đo • Lấy giới hạn hàm đo (không xét: hội tụ theo độ đo, định lý Egoroff, Lusin) Tích phân theo độ đo Các tính chất (khơng xét tính liên tục tuyệt đối) Các định lý Levi, Lebesgue qua giới hạn dấu tích phân Phần 3: Giải tích hàm Chuẩn khơng gian vectơ Chuẩn tương đương Không gian Banach Ánh xạ tuyến tính liên tục Khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục (không xét ánh xạ liên hợp, ánh xạ compắc, nguyên lý bản) Không gian Hilbert Phân tích trực giao Chuổi Fourier theo hệ trực chuẩn Hệ trực chuẩn đầy đủ §1 Metric tập hợp Sự hội tụ Không gian đầy đủ Phần có thêm phần bổ sung trước Tóm tắt lý thuyết 1.1 Khơng gian metric Định nghĩa Cho tập X = ∅ Một ánh xạ d từ X × X vào R gọi metric X điều kiện sau thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X: i d(x, y) d(x, y) = ⇔ x = y ii d(x, y) = d(y, x) iii d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (bất đẳng thức tam giác) Nếu d metric X cặp (X, d) gọi khơng gian metric Nếu d metric X thỏa mãn tính chất sau d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác) |d(x, y) − d(u, v)| Ví dụ Ánh xạ d : Rm × Rm → R, định 1/2 m (xi − yi ) d(x, y) = , x = (x1 , x2 , , xm ), y = (y1 , y2 , , ym ) i=1 DeThiMau.vn metric Rm , gọi metric thông thường Rm Khi m = 1, ta có d(x, y) = |x − y| Trên Rm ta có metric khác m |xi − yi | d1 (x, y) = i=1 d2 (x, y) = max |xi − yi | i m Ví dụ Ký hiệu C[a,b] tập hợp hàm thực x = x(t) liên tục [a, b] Ánh xạ d(x, y) = sup |x(t) − y(t)|, x, y ∈ C[a,b] a t b metric C[a,b] , gọi metric hội tụ 1.2 Sự hội tụ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Ta nói dãy phần tử {xn } ⊂ X hội tụ (hội tụ theo metric d, cần làm rõ) phần tử x ∈ X lim d(xn , x) = n→∞ Khi ta viết lim xn = x (X, d) n→∞ d xn → x xn → x lim xn = x Như vậy, lim lim xn = x (X, d) có nghĩa n→∞ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n ∈ N∗ , n n0 ⇒ d(xn , x) < ε Ta ý rằng, metric khác tập X sinh hội tụ khác Tính chất Giới hạn dãy hội tụ Nếu dãy {xn } hội tụ x dãy hội tụ x Nếu lim xn = x, lim yn = y lim d(xn , yn ) = d(x, y) n→∞ n→∞ n→∞ Ví dụ Trong R ta xét metric thơng thường Xét phần tử a = (a1 , , am ) dãy {xn } với xn = (xn1 , xn2 , , xnm ) Ta có m m |xni − |, (xni − )2 d(xn , a) = ∀i = 1, 2, , m i=1 Từ suy ra: lim xn = a (Rm , d) ⇐⇒ lim xni = R, ∀i = 1, 2, , n n→∞ n→∞ DeThiMau.vn Ví dụ Trong C[a,b] ta xét metric hội tụ Ta có d xn → x ⇐⇒ (∀ε > 0, ∃n0 : ∀n n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| < ε) a t b ⇐⇒ dãy hàm {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t) =⇒ lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] n→∞ Như vậy, lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a, b] điều kiện cần để lim xn = x C[a,b] với metric hội n→∞ tụ Chú ý giúp ta dự đốn phần tử giới hạn 1.3 Khơng gian metric đầy đủ Định nghĩa Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy (dãy bản) lim d(xn , xm ) = n,m→∞ hay ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n, m n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Tính chất Nếu {xn } hội tụ dãy Cauchy Nếu dãy {xn } dãy Cauchy có dãy hội tụ x {xn } hội tụ x Định nghĩa Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy dãy hội tụ Ví dụ Khơng gian Rm với metric d thơng thường đầy đủ Thật vậy, xét tùy ý dãy Cauchy {xn }, xn = (xn1 , , xnm ) d(xn , xk ) |xni − xki | (i = 1, , m) • Vì ⇒ lim |xni − xki | = 0, lim d(xn , xk ) = n,k→∞ n,k→∞ nên ta suy dãy {xni }n (i = 1, , m) dãy Cauchy R, chúng hội tụ R đầy đủ • Đặt = lim xni (i = 1, 2, , m) xét phần tử a = (a1 , , am ), ta có lim xn = a (Rm , d) n→∞ n→∞ Ví dụ Không gian C[a,b] với metric hội tụ d đầy đủ Giả sử {xn } dãy Cauchy (C[a,b] , d) Với t ∈ [a, b], ta có |xn (t) − xm (t)| d(xn , xm ) Từ giả thiết lim d(xn , xm ) = ta n,m→∞ có lim |xn (t) − xm (t)| = n,m→∞ Vậy với t ∈ [a, b] {xn (t)} dãy Cauchy R, dãy hội tụ DeThiMau.vn Lập hàm x xác định x(t) = lim xn (t), t ∈ [a, b] Ta cần chứng minh x ∈ C[a,b] lim d(xn , x) = Cho ε > tùy ý Do {xn } dãy Cauchy, ta tìm n0 thỏa ∀n, m n0 ⇒ d(xn , xm ) < ε Như ta có |xn (t) − xm (t)| < ε, ∀n n0 , ∀m n0 , ∀t ∈ [a, b] Cố định n, t cho m → ∞ bất đẳng thức ta có |xn (t) − x(t)| ≤ ε, ∀n n0 , ∀t ∈ [a, b] Như vậy, ta chứng minh ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n n0 ⇒ sup |xn (t) − x(t)| ε a t b Từ suy ra: • Dãy hàm liên tục {xn (t)} hội tụ [a, b] hàm x(t), hàm x(t) liên tục [a, b] • lim d(xn , x) = n→∞ Đây điều ta cần chứng minh Bài tập Bài Cho không gian metric (X, d) Ta định nghĩa d1 (x, y) = d(x, y) + d(x, y) , x, y ∈ X Chứng minh d1 metric X Chứng minh d xn −→ x ⇐⇒ d xn −→ x Giả sử (X, d) đầy đủ, chứng minh (X, d1 ) đầy đủ Giải Hiển nhiên d1 ánh xạ từ X × X vào R Ta kiểm tra d1 thỏa mãn điều kiện metric (i) Ta có: d1 (x, y) d(x, y) d1 (x, y) = ⇔ d(x, y) = ⇔ x = y DeThiMau.vn (ii) d1 (y, x) = d(y, x) d(x, y) = = d(x, y) + d(y, x) + d(x, y) (iii) Ta cần chứng minh d(x, y) + d(x, y) d(x, z) d(z, y) + + d(x, z) + d(z, y) Để gọn, ta đặt a = d(x, y), b = d(x, z), c = d(z, y) Ta có a b + c; a, b, c (do tính chất metric d) a 1+a a ⇒ 1+a ⇒ t b+c hàm tăng [0, ∞) 1+b+c 1+t b c b c + + (đpcm) 1+b+c 1+b+c 1+b 1+c d • Giả sử xn −→ x Ta có lim d(xn , x) = d1 (xn , x) = d(xn , x) + d(xn , x) d Do đó, lim d1 (xn , x) = hay xn −→ x d • Giả sử xn −→ x Từ lim d1 (xn , x) = d(xn , x) = d1 (xn , x) − d1 (xn , x) d ta suy lim d(xn , x) = hay xn −→ x Xét tùy ý dãy Cauchy {xn } (X, d1 ), ta cần chứng minh {xn } hội tụ (X, d1 ) • Ta có lim d1 (xn , xm ) = n,m→∞ d(xn , xm ) = d1 (xn , xm ) − d1 (xn , xm ) ⇒ lim d(xn , xm ) = hay {xn } dãy Cauchy (X, d) n,m→∞ ⇒ {xn } hội tụ (X, d) (vì (X, d) đầy đủ) • Đặt x = lim xn (trong (X, d)), ta có x = lim xn (X, d1 ) (do câu 2) n→∞ n→∞ Bài Cho không gian metric (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) Trên tập X = X1 × X2 ta định nghĩa d ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) DeThiMau.vn Chứng minh d metric X Giả sử x = n (xn1 , xn2 ), n d (n ∈ N ), a = (a1 , a2 ) Chứng minh x → a ⇐⇒ ∗ d xn1 →1 a1 d xn2 →2 a2 Giả sử (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) đầy đủ Chứng minh (X, d) đầy đủ Giải Ta kiểm tra tính chất i), iii) metric Giả sử x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), z = (z1 , z2 ), ta có: i) d(x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) d1 (x1 , y1 ) = d(x, y) = ⇐⇒ ⇐⇒ d2 (x2 , y2 ) = x1 = y1 ⇐⇒ x = y x2 = y2 iii) Cộng vế bất đẳng thức: d1 (x1 , y1 ) d2 (x2 , y2 ) d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) d2 (x2 , z2 ) + d2 (z2 , y2 ) ta có d(x, y) d(x, z) + d(z, y) Ta có d1 (xn1 , a1 ), d2 (xn2 , a2 ) d(xn , a) = d1 (xn1 , a1 ) + d2 (xn2 , a2 ) Do đó: lim d(xn , a) = ⇐⇒ lim d1 (xn1 , a1 ) = lim d2 (xn2 , a2 ) = Giả sử {xn } dãy Cauchy (X, d), xn = (xn1 , xn2 ) Ta có {xni } dãy Cauchy (Xi , di ) (vì di (xni , xm d(xn , xm )) Suy i ) d i (do (Xi , di ) đầy đủ) ∃ai ∈ Xi : xni −→ n d ⇒ x −→ a := (a1 , a2 ) (theo câu 2)) Bài Ký hiệu S tập hợp dãy số thực x = {ak }k Ta định nghĩa ∞ d(x, y) = k=1 |ak − bk | , 2k + |ak − bk | x = {ak }, y = {bk } Chứng minh d metric X Giả sử xn = {ank }k , n ∈ N∗ , x = {ak }k Chứng minh d xn −→ x lim ank = ak , ∀k ∈ N∗ ⇐⇒ n→∞ DeThiMau.vn Chứng minh (S, d) đầy đủ Giải Đầu tiên ta nhận xét chuỗi số định nghĩa số d(x, y) hội tụ số hạng thứ k nhỏ 1/2k Với x = {ak }, y = {bk }, z = {ck }, tính chất i), iii) kiểm tra sau: i) Hiển nhiên d(x, y) 0, d(x, y) = ⇔ ak = bk ∀k ∈ N∗ ⇔ x = y iii) Từ lý luận ta có |ak − ck | |ck − bk | + + |ak − ck | + |ck − bk | |ak − bk | + |ak − bk | ∀k ∈ N∗ Nhân bất đẳng thức với 1/2k lấy tổng, ta có d(x, y) Ta có ∞ d (xn , x) = k=1 d(x, z) + d(z, y) |ank − ak | 2k + |ank − ak | n ∈ N∗ • Giả sử xn −→ x Ta có: ∀k ∈ N∗ |ank − ak | 2k + |ank − ak | ⇒ |ank − ak | 2k d (xn , x) − 2k d (xn , x) (∗) d(xn , x) n đủ lớn để d (xn , x) < Do lim ank = ak n→∞ • Giả sử lim ank = ak n→∞ ∀k ∈ N∗ ∞ Cho ε > tùy ý Ta chọn số k0 cho k=k0 +1 k0 sn = k=1 2k < 2ε Xét dãy số: |ank − ak | , n ∈ N∗ 2k + |ank − ak | Do lim sn = nên có n0 cho sn < 2ε ∀n Với n n0 , ta có n0 ∞ d(xn , x) = sn + ∞ ( ) k=k0 +1 DeThiMau.vn sn + k=k0 ∃n0 : ∀n n0 ⇒ d(xn , x) < ε hay lim d(xn , x) = Xét tùy ý dãy Cauchy {xn } (S, d), xn = {ank }k Lý luận tương tự (∗) ta có |ank − am k | 2k d(xn , xm ) −→ m, n −→ ∞ − 2k d(xn , xm ) Suy {ank }n dãy Cauchy R, hội tụ Đặt ak = lim ank lập phần tử a := {ak } Áp dụng câu 2) ta có xn −→ a (S, d) n→∞ Bài Trên X = C[0,1] xét metric d(x, y) = sup |x(t) − y(t)| x 1 |x(t) − y(t)| dt d1 (x, y) = d d 1 Chứng minh: (xn −→ x) ⇒ (xn −→ x) Bằng ví dụ dãy xn (t) = n(tn − tn+1 ), chứng minh chiều “⇐” câu 1) khơng Chứng minh (X, d1 ) khơng đầy đủ Giải Ta có |x(t) − y(t)| d(x, y) ∀t ∈ [0, 1] 1 |x(t) − y(t)| dt ⇒ ⇒d1 (x, y) dt = d(x, y) d(x, y) 0 d(x, y) ∀x, y ∈ C[0,1] Do đó, lim d(xn , x) = có lim d1 (xn , x) = Ký hiệu x0 hàm [0, 1] Ta có: • d1 (xn , x0 ) = |xn (t) − x0 (t)| dt = n (tn − tn+1 ) dt = DeThiMau.vn n (n+1)(n+2) → n → ∞ • d(xn , x0 ) = sup n(tn − tn+1 ) = n t n n n+1 n+1 (hãy lập bảng khảo sát hàm n(tn − tn+1 ) [0, 1]) Do n n+1 lim d(xn , x0 ) = lim n−→∞ n−→∞ n n = =0 n+1 e d Suy xn −→ / x0 Xét dãy {xn } ⊂ C[0,1] xác định sau:  t ∈ [0, 12 ]  n(t − 21 ) t ∈ [ 12 , 21 + n1 ] (n xn (t) =  t ∈ [ 21 + n1 , 1] 2) • Trước tiên ta chứng minh {xn } dãy Cauchy C[0,1] , d1 Thật vậy, với m < n, ta có: |xn (t) − xm (t)| dt 1/2+1/m |xn (t) − xm (t)| dt 1/2 1/2+1/m 1.dt = m1 1/2 d1 (xn , xm ) = = Do lim m,n−→∞ d1 (xn , xm ) = • Ta chứng minh {xn } khơng hội tụ C[0,1] , d1 Giả sử trái lại: ∃x ∈ C[0,1] : lim d1 (xn , x) = Khi 1/2 1/2 |x(t)| dt , |xn (t) − x(t)| dt = d1 (xn , x) 1/2 ⇒ Mặt khác, với a ∈ ,1 |x(t)| dt = ⇒ x(t) ≡ [0, ] ta có Do + n < a n đủ lớn 1 |1 − x(t)| dt |xn (t) − x(t)| dt = d1 (xn , x) a a ⇒ x(t) = ∀t ∈ [a, 1] (lý luận trên) Do a > ∀n ∈ N∗ 0 tùy ý, ta suy x(t) = ∀t ∈ ( 21 , 1] Ta gặp mâu thuẫn với tính liên tục hàm x 10 DeThiMau.vn §2 Tập mở, tập đóng Phần trong, bao đóng tập hợp Tập mở Phần Cho không gian metric (X, d).Với x0 ∈ X, r > 0, ta ký hiệu B(x0 , r) = {x ∈ X : d(x, x0 ) < r} gọi cầu mở tâm x0 , bán kính r Định nghĩa Cho tập hợp A ⊂ X Điểm x gọi điểm tập hợp A ∃r > : B(x, r) ⊂ A ◦ Tập hợp tất điểm A gọi phần A, ký hiệu Int A hay A Hiển nhiên ta có Int A ⊂ A Tập A gọi tập mở điểm điểm Ta qui ước ∅ mở Như vậy, A mở ⇔ A = Int A ⇔ (∀x ∈ A ∃r > : B(x, r) ⊂ A) Tính chất Họ tập mở có ba tính chất đặc trưng sau: i) ∅, X tập mở ii) Hợp số tùy ý tập mở tập mở iii) Giao hữu hạn tập mở tập mở Phần A tập mở tập mở lớn chứa A Như vậy: (B ⊂ A, B mở) ⇒ B ⊂ Int A Ví dụ Quả cầu mở B(x0 , r0 ) tập mở Thật vậy, ∀x ∈ B(x0 , r0 ) ta có r = r0 − d(x, x0 ) > Ta B(x, r) ⊂ B(x0 , r0 ) Với y ∈ B(x, r), ta có d(y, x0 ) d(y, x) + d(x, x0 ) < r + d(x, x0 ) = r0 nên y ∈ B(x0 , r0 ) Ví dụ Trong R với metric thơng thường, khoảng mở tập mở Thật vậy, R ta có B(x, r) = (x − r, x + r) • Mỗi khoảng hữu hạn (a, b) cầu tâm a+b , bán kính b−a nên tập mở • (a, +∞), (a ∈ R) tập mở ∀x ∈ (a, +∞) ta đặt r = x − a (x − r, x + r) ⊂ (a, +∞) Ví dụ Trong R2 với metric thơng thường hình chữ nhật mở A = (a, b) × (c, d) tập mở Thật vậy, xét tùy ý x = (x1 , x2 ) ∈ A Ta đặt r = min{x1 − a, b − x1 , x2 − c, d − x2 } có B(x, r) ⊂ A Định lí 1 Mỗi tập mở R hợp không đếm khoảng mở đôi không giao Mỗi tập mở R2 hợp không đếm hình chữ nhật mở 11 DeThiMau.vn Tập đóng Bao đóng tập hợp Định nghĩa Tập hợp A ⊂ X gọi tập đóng X \ A tập mở Điểm x gọi điểm dính tập A A ∩ B(x, r) = ∅, ∀r > Tập tất điểm dính A gọi bao đóng A, ký hiệu A hay Cl A Hiển nhiên ta ln có A ⊂ A Tính chất ∅, X tập đóng Giao số tùy ý tập đóng tập đóng Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng A tập đóng tập đóng nhỏ chứa A Như (B ⊃ A, B đóng) ⇒ B ⊃ A A đóng ⇔ A = A Định lí x ∈ A ⇔ (∃{xn } ⊂ A : lim xn = x) Các tính chất sau tương đương: a) A tập đóng; b) ∀{xn } ⊂ A (lim xn = x ⇒ x ∈ A) Ví dụ Quả cầu đóng B ∗ (x0 , r) := {x ∈ X : d(x, x0 ) r} tập đóng Chứng minh Do tương đương tính chất a), b) nên ta chứng minh B ∗ (x0 , r) có tính chất b) Xét tùy ý dãy {xn } mà {xn } ⊂ B ∗ (x0 , r), xn −→ x, ta phải chứng minh x ∈ B ∗ (x0 , r) Thật vậy: d(xn , x0 ) r ∀n = 1, 2, lim d(xn , x0 ) = d(x, x0 ) (do tính chất 3) hội tụ) ⇒ d(x, x0 ) r (đpcm) 12 DeThiMau.vn Bài tập Bài Chứng minh không gian metric ta có A ⊂ B ⇒ A ⊂ B; A ∪ B = A ∪ B; A = A Giải Ta có: (B tập đóng, B ⊃ A) ⇒ B ⊃ A Ta có: A ⊂ A ∪ B, B ⊂ A ∪ B (do câu 1)) nên A ∪ B ⊂ A ∪ B Mặt khác: A ∪ B tập đóng (do A, B đóng) A∪B ⊃A∪B ⇒ A ∪ B ⊃ A ∪ B (do tính chất “nhỏ nhất” bao đóng) Ta có A tập đóng nên bao đóng Bài Trong C[a,b] ta xét metric hội tụ Giả sử x0 ∈ C[a,b] Ta xét tập sau: M1 ={x ∈ C[a,b] : x(t) > x0 (t) ∀t ∈ [a, b]} M2 ={x ∈ C[a,b] : x(t) x0 (t) ∀t ∈ [a, b]} M3 ={x ∈ C[a,b] : ∃t ∈ [a, b] : x(t) x0 (t)} Chứng minh M1 mở, M2 M3 đóng Giải • Chứng minh M1 mở Xét tùy ý x ∈ M1 , ta có x(t) − x0 (t) > ∀t ∈ [a, b] ⇒ r := inf [x(t) − x0 (t)] > (vì ∃t0 ∈ [a, b] : r = x(t0 ) − x0 (t0 ) > 0) a t b Ta chứng minh B(x, r) ⊂ M1 Thật vậy, với y ∈ B(x, r) ta có: sup |y(t) − x(t)| < r a t b ⇒|y(t) − x(t)| < r ∀t ∈ [a, b] ⇒y(t) > x(t) − r ∀t ∈ [a, b] ⇒y(t) − x0 (t) > x(t) − x0 (t) − r ⇒y ∈ M1 13 DeThiMau.vn r − r = ∀t ∈ [a, b] • Chứng minh M2 đóng d Giả sử {xn } ⊂ M2 , xn −→ x, ta cần chứng minh x ∈ M2 Ta có  d  lim xn (t) = x(t) ∀t ∈ [a, b] xn − →x n→∞  x (t) x (t) ∀t ∈ [a, b], ∀n ∈ N∗ (do x ∈ M ) n n Suy x(t) x0 (t)∀t ∈ [a, b] , x ∈ M2 • Chứng minh M3 đóng Cách Đặt M4 = x ∈ C[a,b] : x(t) < x0 (t) ∀t ∈ [a, b] Ta có M3 = C[a,b] \ M4 M4 tập mở (chứng minh tương tự M1 mở) nên M3 đóng d Cách Giả sử {xn } ⊂ M3 , xn − → x ta cần chứng minh x ∈ M3 Do xn ∈ M3 nên tồn tn ∈ [a, b] thỏa xn (tn ) x0 (tn ) Dãy {tn } bị chặn nên có dãy {tnk }k hội tụ t0 ∈ [a, b] Ta chứng minh x(t0 ) x0 (t0 ) Đầu tiên ta chứng minh (1) lim xnk (tnk ) = x(t0 ) k→∞ Thật vậy: |xnk (tnk ) − x(t0 )| d(xnk , x) + |x(tnk ) − x(t0 )| (2) |xnk (tnk ) − x(tnk )| + |x(tnk ) − x(t0 )| vế phải (2) hội tụ k → ∞ nên (1) Từ xnk (tnk ) x0 (tnk ) (1) ta có x(t0 ) x0 (t0 ) hay x ∈ M3 x0 (t0 ) Ta chứng minh ∃t0 ∈ [a, b] : x(t0 ) Bài Trong C[a,b] với metric hội tụ ta xét tập hợp sau: M1 = x ∈ C[a,b] : x đơn ánh, M2 = x ∈ C[a,b] : x toàn ánh, Chứng minh M1 khơng tập đóng, M2 tập đóng 14 DeThiMau.vn x(t) x(t) ∀t ∈ [a, b] ∀t ∈ [a, b] ... Giải tích hàm Chuẩn không gian vectơ Chuẩn tương đương Khơng gian Banach Ánh xạ tuyến tính liên tục Khơng gian ánh xạ tuyến tính liên tục (khơng xét ánh xạ liên hợp, ánh xạ compắc, nguyên lý bản). .. Khơng gian Hilbert Phân tích trực giao Chuổi Fourier theo hệ trực chuẩn Hệ trực chuẩn đầy đủ §1 Metric tập hợp Sự hội tụ Khơng gian đầy đủ Phần có thêm phần bổ sung trước Tóm tắt lý thuyết 1.1 Không. .. đo (không xét: hội tụ theo độ đo, định lý Egoroff, Lusin) Tích phân theo độ đo Các tính chất (khơng xét tính liên tục tuyệt đối) Các định lý Levi, Lebesgue qua giới hạn dấu tích phân Phần 3: Giải