GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Chun ngành: Giải Tích, PPDH Tốn Phần Khơng gian định chuẩn Ánh xạ tuyến tính liên tục §1 Khơng gian định chuẩn (Phiên chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 Lý thuyết Chuẩn Giả sử X không gian vectơ (k.g.v.t) trường số K (K = R K = C) Một ánh xạ p : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau cho x, y ∈ X, λ ∈ K: i) p(x) ≥ p(x) = ⇐⇒ x = θ (θ phần tử không X) ii) p(λx) = |λ|p(x) iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) Số p(x) gọi chuẩn phần tử x Thông thường, ta dùng ký hiệu ||x|| thay cho p(x) Mệnh đề Nếu p chuẩn k.g.v.t X ta có: DeThiMau.vn |p(x) − p(y)| ≤ p(x − y) (hay |||x|| − ||y||| ≤ ||x − y||) ∀x, y ∈ X d(x, y) := p(x − y) mêtric X, gọi mêtric sinh chuẩn p (hay d(x, y) = ||x − y||) Ví dụ Trên Rn ánh xạ 1/2 n x2k x = (x1 , , xn ) → ||x|| = k=1 chuẩn, gọi chuẩn Euclide Mêtric sinh chuẩn mêtric thơng thường Rn Ví dụ Trên C[a, b], ánh xạ x → ||x|| := supa≤t≤b |x(t)| chuẩn mêtric sinh chuẩn mêtric hội tụ C[a, b] Không gian định chuẩn Định nghĩa • Không gian vectơ X với chuẩn || · || nó, gọi khơng gian định chuẩn (kgđc), ký hiệu (X, || · ||) • Các khái niệm hội tụ, tập mở, đóng, compact, dãy Cauchy, · · · (X, || · ||) hiểu khái niệm tương ứng mêtric sinh chuẩn Nói riêng, (X, || · ||) ta có B(x0 , r) = {x ∈ X : ||x − x0 || < r} ||·|| ( lim xn = x(cũng viết xn −→ x)) ⇐⇒ lim ||xn − x|| = n→∞ n→∞ ({xn } dãy Cauchy) ⇐⇒ lim ||xn − xm || = n,m→∞ Định nghĩa Kgđc (X, || · ||) gọi không gian Banach X với mêtric sinh || · || khơng gian đầy đủ Vì kgđc trường hợp đặc biệt không gian mêtric nên tất kết không gian mêtric cho kgđc Ngồi ra, ta có kết sau kgđc Mệnh đề Cho Kgđc (X, ) trường số K dãy {xn }, {yn } ⊂ X, {λn } ⊂ K, lim xn = x, lim yn = y, lim λn = λ Khi : lim xn = x lim(xn + yn ) = x + y, lim λn xn = λx Hệ Các ánh xạ f, g : X → X, f (x) = x0 + x, g(x) = λ0 x DeThiMau.vn (λ0 ∈ K\{0}) đồng phôi 3 Chuẩn tương đương Định nghĩa Hai chuẩn , kgvt X gọi tương đương (viết ∼ ) tồn số dương a, b cho x Mệnh đề Giả sử , ≤a x 2 , x ≤b x ∀x ∈ X hai chuẩn tương đương kgvt X Khi đó: (lim xn = x theo ) ⇐⇒ (lim xn = x theo ) (X, ) đầy đủ ⇐⇒ (X, ) đầy đủ Một số không gian định chuẩn 4.1 Không gian định chuẩn Cho kgđc (X, ) X0 kgvt X Ký hiệu 4.2 thu hẹp X0 chuẩn X0 Cặp (X0 , ) gọi kgđc (X, ) Tích hai kgđc Cho kgđc (X1 , ), (X2 , ) Tích Đề X1 × X2 trở thành kgvt ta định nghĩa phép toán (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ) Kgvt X1 × X2 với chuẩn (x1 , x2 ) := x1 + x2 (∗) với chuẩn tương đương với (*), gọi kgđc tích kgđc (X1 , ), (X2 , ) Ta dễ dàng kiểm tra tính chất sau: • Dãy (xn1 , xn2 ) hội tụ phần tử (x1 , x2 ) kgđc tích dãy {xni } hội tụ xi kgđc (Xi , i ), i = 1, • Nếu (Xi , i )(i = 1, 2) khơng gian Banach kgđc tích khơng gian Banach 4.3 Kgđc hữu hạn chiều Giả sử X kgvt m chiều e = {e1 , , em } sở X Khi ánh xạ m λk ek → x x= 1/2 m e |λk | := k=1 k=1 chuẩn, gọi chuẩn Euclide sinh sở e DeThiMau.vn Mệnh đề Trên không gian hữu hạn chiều, hai chuẩn tương đương với Trên kgđc hữu hạn chiều, tập compact đóng bị chặn Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều ln khơng gian đầy đủ Do đó, kgvt hữu hạn chiều kgđc tập đóng khơng gian Định lí (Riesz) Nếu cầu B(θ, 1) := {x ∈ X : x ≤ 1} kgđc X tập compact X không gian hữu hạn chiều Chuỗi kgđc Nhờ có phép tốn cộng lấy giới hạn, kgđc ta đưa khái niệm chuỗi phần tử tương tự khái niệm chuỗi số Định nghĩa Cho kgđc (X, ) dãy {xn } phần tử X Ta nói chuỗi phần tử ∞ xn (∗∗) n=1 hội tụ có tổng x x = limn→∞ sn , đó: s1 = x1 , sn = x1 +· · ·+xn • Nếu chuỗi số ∞ n=1 (n ∈ N∗ ) xn hội tụ ta nói chuỗi (**) hội tụ tuyệt đối Mệnh đề Nếu X không gian Banach chuỗi hội tụ tuyệt đối chuỗi hội tụ DeThiMau.vn Bài tập 1 Bài Ký hiệu C[a,b] không gian hàm thực x = x(t) có đạo hàm liên tục [a, b] C[a,b] kgvt R với phép tốn thơng thường cộng hai hàm nhân hàm với số thực Ta định nghĩa p1 (x) = |x(a)| + sup |x′ (t)| , p2 (x) = sup |x(t)|, p3 (x) = sup {|x(t)| + |x′ (t)|} a≤t≤b a≤t≤b a≤t≤b 1 Chứng minh p1 , p2 , p3 chuẩn C[a,b] Chứng minh p2 ∼ p3 Chứng minh p1 ∼ p3 Giải Để làm ví dụ, ta kiểm tra p1 chuẩn i) Hiển nhiên ta có p1 (x) ≥ ∀x ∈ C[a,b] ; p1 (x) = ⇔ x(a) = x′ (t) = ∀t ∈ [a, b] x(a) = ⇔ x(t) hàm số ii) p1 (λx) = |λx(a)| + sup |λx′ (t)| = |λ| |x(a)| + sup |x′ (t)| a≤t≤b ⇔ x(t) = 0∀t ∈ [a, b] = |λ|p1 (x) a≤t≤b iii) Với x, y ∈ C[a,b] ta có |x(a) + y(a)| + |(x(t) + y(t))′ | ≤ |x(a)| + |y(a)| + |x′ (t)| + |y ′ (t)| ≤ p1 (x) + p1 (y) ∀t ∈ [a, b] =⇒ p1 (x + y) ≤ p1 (x) + p1 (y) Ta chứng minh không tồn số c > cho Dễ thấy p2 (x) ≤ p3 (x) ∀x ∈ C[a,b] ∀x ∈ C[a,b] p3 (x) ≤ cp2 (x) (∗) Xét dãy xn (t) = (t − a)n , n ∈ N∗ Dễ dàng tính được: p2 (xn ) = (b − a)n p3 (xn ) = (b − a)n + n(b − a)n−1 Do đó, tồn c > để (*) ta có (b − a)n + n(b − a)n−1 ≤ c(b − a)n ⇒ b−a+n ∀n = 1, 2, · · · ≤ c(b − a) ∀n = 1, 2, · · · Ta gặp mẫu thuẫn DeThiMau.vn • Ta dễ dàng kiểm tra p1 (x) ≤ p3 (x) ∀x ∈ C[a,b] • Mặt khác ta có: |x(t)| ≤ |x(a)| + |x(t) − x(a)| = |x(a)| + |x′ (c)(t − a)|(áp dụng định lý Lagrange) ≤ |x(a)| + (b − a) sup |x′ (t)| a≤t≤b ≤ M p1 (x) ∀t ∈ [a, b] (M = max{1, b − a}) |x′ (t)| ≤ p1 (x) ∀t ∈ [a, b] Do p3 (x) ≤ (M + 1)p1 (x) ∀x ∈ C[a,b] Vậy p1 ∼ p3 ∞ Bài Ký hiệu l2 không gian dãy số thực x = {λk }k thỏa mãn điều kiện λ2k < ∞ k=1 với phép tốn thơng thường cộng hai dãy số nhân dãy số với số thực Trên l2 ta xét 1/2 ∞ chuẩn x = λ2k x = {λk } ∈ l2 k=1 Xét dãy số en = {δn,k }k (n ∈ N∗ ) δn,k = n = k, δn,k = n = k ∞ Chứng minh x = {λk } ∈ l2 x = λn en n=1 Chứng minh l2 đầy đủ Giải Đặt sn = λ1 e1 + · · · + λn en , ta cần chứng minh lim sn = x n→∞ Ta có: sn = (λ1 , · · · , λn , 0, 0, · · · ) 1/2 ∞ ⇒ x − sn = (0, · · · , 0, λn+1 , λn+2 , · · · ), λ2k x − sn = k=n+1 ∞ ∞ λ2k hội tụ nên lim Vì chuỗi n→∞ k=1 λ2k = k=n+1 Vậy lim x − sn = (đpcm) n→∞ Giả sử {xn } dãy Cauchy l2 , xn = {λnk }k , n ∈ N∗ • Với k ∈ N∗ , ta có: 1/2 ∞ |λnk − λm k | |λnk ≤ − λm k | k=1 DeThiMau.vn = xn − xm (1) {xn } dãy Cauchy nên {λnk }n dãy Cauchy R, hội tụ Đặt ak = lim λnk (k ∈ N∗ ) lập dãy số a = {ak } n→∞ • Tiếp theo ta chứng minh a ∈ l2 lim xn − a = n→∞ Cho ε > tùy ý Do {xn } dãy Cauchy ta có n0 thỏa mãn ∀n, m ∈ N∗ , n, m ≥ n0 ⇒ xn − xm < ε (1) Từ (1) ta có N 2 |λnk − λm k | < ε ∀N ∈ N∗ , ∀n, m ≥ n0 k=1 N ∀N ∈ N∗ , ∀n ≥ n0 (ta cho m → ∞ bđt trên) k=1 (2) ∞ n 2 ⇒ |λ − a | ≤ ε ∀n ≥ n k k=1 Từ (2) ta suykra xn − a ∈ l2 (n ≥ n0 ) a = xn − (xn − a) thuộc l2 Hơn ⇒ |λnk − ak |2 ≤ ε2 nữa, ta chứng minh: ∀ε > 0∃n0 : ∀n ≥ n0 =⇒ xn − a ≤ ε lim xn − a = Ghi Ở ta không kiểm tra l2 kgvt điều kiện chuẩn Để làm ví dụ, ta chứng minh x = {λk } ∈ l2 , y = {αk } ∈ l2 x + y ∈ l2 x + y ≤ x + y Thật vậy, ta có theo bất đẳng thức Bunhiakowski: N k=1 (λk + αk )2 = N k=1 ≤ x λ2k + N k=1 λk αk + +2 x y + y N k=1 αk2 ∀N ∈ N∗ Cho N → ∞ ta có đpcm Bài Gọi m không gian dãy số thực x = {λk }k bị chặn với chuẩn x = sup{|λk | : k ∈ N∗ } Chứng minh m không gian Banach Ký hiệu C tập hợp dãy số hội tụ Chứng minh C khơng gian đóng m Giải Giả sử {xn } dãy Cauchy trng m, xn = {λnk }k , n ∈ N ∗ • Với k ∈ N∗ , ta có: n m ∗ |λnk − λm k | ≤ sup{|λk − λk | : k ∈ N } = xn − xm {xn } dãy Cauchy nên {λnk }n dãy Cauchy Rvà vậy, hội tụ Đặt ak = lim λnk lập dãy số a = {ak }k n→∞ DeThiMau.vn • Ta chứng minh a ∈ m lim xn − a = Cho ε > 0, ta tìm n0 cho ∀n, m ≥ n0 ⇒ xn − xm < ε Ta có: ⇒ |λnk − λnk | < ε ∀k ∈ N∗ , ∀n, m ≥ n0 |λnk − ak | ≤ ε ∀k ∈ N∗ , ∀n ≥ n0 (cho m → ∞ bđt trên) ⇒ sup |λnk − ak | ≤ ε ∀n ≥ n0 k Như vậy, ta chứng minh: * (xn − a) ∈ m, a = xn − (xn − a) ∈ m * ∀ε > ∃n0 : ∀n ≥ n0 ⇒ xn − a ≤ ε hay lim xn − a = Giả sử ta có dãy {xn } ⊂ C, xn = {λnk }k mà xn hội tụ a = {ak } ∈ m ta cần chứng minh a ∈ C Muốn vậy, ta cần chứng minh a dãy Cauchy Cho ε > 0, ta tìm n′ cho sup |λnk − ak | = xn′ − a < ε/3(do a = lim xn m) ′ k Vì xn′ = {λnk }k ∈ C nên dãy Cauchy, có k0 cho: ′ ′ ′ ∀k, l ≥ k0 ⇒ |λnk − λnl | < ε/3 Với k0 này, ta có: ′ ′ ′ ′ ∀k, l ≥ k0 ⇒ |ak − al | ≤ |ak − λnk | + |λnk − λnl | + |λnl − al | < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε Vậy {ak } dãy Cauchy (đpcm) Bài Cho kgđc X tập A, B ⊂ X khác ∅ Chứng minh Nếu A mở A + B mở Nếu A, B compact A + B compact Nếu A đóng, B compact A + B đóng Giải DeThiMau.vn Trước tiên ta chứng minh ∀b ∈ B A + b tập mở Thật vậy, ánh xạ f : X → X, f (x) = x + b đồng phôi nên A mở ⇒ f (A) mở hay A + b mở Do A + B = (A + b) nên A + B mở b∈B Xét tùy ý dãy {xn } ⊂ A + B, ta chứng minh {xn } có dãy hội tụ phần tử thuộc A + B Ta có: xn = an + bn với an ∈ A, bn ∈ B Do A compact nên {an } có dãy {ank }k hội tụ a ∈ A Do B compact nên dãy {bnk }k có dãy {bnkl }l hội tụ b ∈ B Tương ứng với dãy {bnkl }l ta có dãy {ankl }l hội tụ a Suy dãy xnkl = ankl + bnkl hội tụ a + b (đpcm) Ghi chú: Câu giải sau: Xét kgđc tích X × X ánh xạ f : X × X → X, f (x, y) = x + y Ta có: (f liên tục, A × B tập compact X × X) =⇒ f (A × B) tập compact X Do f (A × B) = A + B ta có đpcm Xét dãy tùy ý {xn } ⊂ A + B, xn = an + bn , an ∈ A, bn ∈ B mà lim xn = x, ta cần chứng minh x ∈ A + B Do B compact nên {bn } có dãy {bnk } hội tụ b ∈ B Khi ank = xnk − bnk hội tụ x − b A đóng nên x − b ∈ A Ta có x = (x − b) + b nên x ∈ A + B (đpcm) Bài Cho kgđc (X, ) X0 không gian hữu hạn chiều X Chứng minh tồn x0 ∈ X0 cho a − x0 = inf x∈X0 a−x Giải Đặt d = inf{ a − x : x ∈ X0 } chọn dãy {xn } ⊂ X0 thỏa mãn lim a − xn = d Ta có: xn ≤ a + a − xn nên {xn } bị chặn ∃M > : {xn } ⊂ B(θ, M ) Tập B(θ, M ) ∩ X0 compact (do dim X0 < ∞) nên {xn } có dãy {xnk } hội tụ x0 ∈ X0 Khi đó: d = lim a − xnk k→∞ (vì { a − xnk }k dãy { a − xn }) = a − x0 DeThiMau.vn Ghi chú: Bài cịn giải cách tìm số M > cho inf x∈X0 a−x = inf a−x x∈X0 ∩B(θ,M ) Sau sử dụng tính compact tập X0 ∩ B(θ, M ) tính liên tục hàm x → a − x Bài Cho kgđc X A ⊂ X tập lồi Chứng minh tác tập A, Int A lồi Giải (Hướng dẫn) Cố định số t ∈ (0, 1) • Để chứng minh tA + (1 − t)A ⊂ A ta dùng liên hệ điểm dính hội tụ • Để chứng minh t Int A + (1 − t) Int A ⊂ Int A cần kiểm tra vế trái tập mở, chứa A Bài Giả sử kgđc X, tập S = {x ∈ X : x = 1} compact Chứng minh dim X < ∞ Giải Xét ánh xạ f : K × X → X, f (λ, x) = λx Khi đó, cầu B(0, 1) ảnh tập compact qua ánh xạ f 10 DeThiMau.vn ... |x(t)| chuẩn mêtric sinh chuẩn mêtric hội tụ C[a, b] Không gian định chuẩn Định nghĩa • Khơng gian vectơ X với chuẩn || · || nó, gọi không gian định chuẩn (kgđc), ký hiệu (X, || · ||) • Các khái... − xm || = n,m→∞ Định nghĩa Kgđc (X, || · ||) gọi không gian Banach X với mêtric sinh || · || không gian đầy đủ Vì kgđc trường hợp đặc biệt không gian mêtric nên tất kết khơng gian mêtric cho... Một số không gian định chuẩn 4.1 Không gian định chuẩn Cho kgđc (X, ) X0 kgvt X Ký hiệu 4.2 thu hẹp X0 chuẩn X0 Cặp (X0 , ) gọi kgđc (X, ) Tích hai kgđc Cho kgđc (X1 , ), (X2 , ) Tích