Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h. Khi đến B, người đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h. Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi [r]
(1)PHẦN I: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ (4 tiết)
1 Các toán rèn luyện kĩ tính tốn bản Bài 1: Khai triển đẳng thức
1) ( 1)2
2) ( 1) 3) ( 2) 4) ( 2)
Bài 2: Phân tích thành lũy thừa bậc hai
1) 15 2) 10 21 3) 5 24 4) 12 140
5) 14 5 6) 8 28 7) 2 8) 28 3
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
1) x2 − 5x + 6 2) x2 − 7x + 6 3) x2 + 9x + 20 4) x2 + 6x + 8 5) 2x2 + 3x − 5 6) 3x2 − 4x + 1 7) 4x2 − 7x + 3 8) 5x2 + 12x − 17 Bài 4: Với x ≥ Phân tích biểu thức sau thành nhân tử
1) x x 6 2) x x 2 3) x x 3 4) x x 6 5) 2x x 1
Bài 5: Giải hệ phương trình 1) x 2y
2x y
2)
3x 4y 2x 3y
3)
x 7y
2x y 11
4)
2x 3y 10 3x 2y
Bài 6: Tìm giá trị x để
1) x2 − 2x + có giá trị nhỏ nhất 2)
1
x 2x 5 có giá trị lớn 3) 2x22
2x
có giá trị lớn 4)
2
x 2x
x 4x
có giá trị nhỏ Bài 7: Tìm giá trị x Z để biểu thức sau có giá trị nguyên
1) A =
x 1 2) B =
14
2x 3 3) C =
x x
4) D =
4x 2x Bài 8: Giải bất phương trình
1) 5(x − 2) + > − 2(x − 1) 2) + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2) 3) 5x 2x
4 12
4) 11 3x 5x
10 15
2 Các toán tổng hợp
Các dạng tốn:
1) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức
3) Dạng giải phương trình, bất phương trình 4) Tìm cực trị biểu thức
5) Xác định giá trị nguyên biến để biểu thức có giá trị nguyên Bài 1: Cho biểu thức A = 1 : 1
1 x x x x x
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A x = +
c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ Rút gọn ta đượcA
x (1 x)
b) x (2 3) : A2 1(3 5)
2
(2)Bài 2: Cho biểu thức: A x 2 10
x x x x
a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị x để A > HD: a) a ≠ −3, a ≠
b) A x x
c) A > x > x < −1
Bài 3: Cho biểu thức C x : x 1 :x
x x x
a) Tìm điều kiện x để biểu thức C xác định b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị biểu thức C x 6 20
d) Tìm giá trị nguyên x để C có giá trị nguyên HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠
b) C x x
c) C 2
d) x {−1, −3, −4, −6, 2}
Bài 4: Cho biểu thức: B x 2x x
x x x
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị B x 3
c) Với giá trị x B > 0? B< 0? B = 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x 1 b) x 3 ( 1) : B
c) B > x > (thỏa); B < x < (Khơng có nghiệm đk: x > 0); B = x = (loại) Bài 5: Cho biểu thức H x : x
x x x x x x
a) Rút gọn biểu thức H
b) Tính giá trị biểu thức H x 53
c) Tìm giá trị x để H = 16
HD: a) x > 1: H x x 1 b) x 7 H 7 c) H = 16 x = 26 Bài 6: Cho biểu thức N a b a b
ab b ab a ab
a) Rút gọn biểu thức N
b) Tính giá trị N a 4 3, b 4 3
c) Chứng minh a a
b b
N có giá trị khơng đổi HD: a) a ≠ 0, b ≠ 0, ab > 0: N a b
b a
b) N
c) a a a b 5a
b b b
3 N
(3)PHẦN II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH (4 tiết)
Bài 1: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình 25km/h Tính qng đường AB, biết thời gian lẫn 50 phút
HD: Gọi độ dài quãng đường AB x km (x > 0) Ta có phương trình: x x 55
30 25 3 Giải ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Một ôtô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ơtơ với vận tốc đó, cịn 60km nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h quãng đường lại, ơtơ đến tỉnh B sớm 1giờ so với dự định Tính quãng đường AB
HD: Gọi độ dài quãng đường AB x km (x > 120)
Ta có phương trình: x 60 : 40 x 60 : 50 x
2 40
Giải ta được: x = 280 (km)
Bài 3: Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80km, lẫn 8giờ 20phút Tính vận tốc tàu thủy nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước 4km/h
HD: Gọi vận tốc tàu thủy nước yên lặng x km/h (x > 0) Ta có phương trình: 80 80 81
x 4 x 4 Giải ta được: x
5
(loại), x2 = 20 (km)
Bài 4: Hai canô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canơ II dừng lại 40 phút, sau tiếp tục chạy với vận tốc cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết hai canô đến bến B lúc HD: Gọi chiều dài quãng sông AB x km (x > 0)
Ta có phương trình: x x
20 24 3 Giải ta được: x = 80 (km)
Bài 5: Một ca nô bè gỗ xuất phát lúc từ bến A xi dịng sơng Sau 24 km ca nô quay trở lại gặp bè gỗ địa điểm cách A km Tính vận tốc ca nơ nước n lặng biết vận tốc dòng nước km / h
HD: Gọi vận tốc canô nước yên lặng x km/h (x > 4) Ta có phương trình: 24 16
x 4 x 4 Giải ta x1 = (loại), x2 = 20 (km/h)
Bài 6: Một người xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách 50 km Sau 30 phút, người xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp
HD: Gọi vận tốc xe đạp x km/h (x > 0) Ta có phương trình: 50 50 (1,5 1)
x 2,5x Giải ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Bài 7: Một đội xe cần chuyên chở 100 hàng Hơm làm việc, có hai xe điều làm nhiệm vụ nên xe phải chở thêm 2,5 Hỏi đội có xe? (biết số hàng chở xe nhau)
HD: Gọi x (xe) số xe đội (x > x N) Ta có phương trình: 100 100
x 2 x 2 Giải ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn)
Bài 8: Để làm hộp hình hộp khơng nắp, người ta cắt hình vng góc miếng nhơm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh hình vng bao nhiêu, biết tổng diện tích hình vng
(4)Ta có phương trình: 4x2 2(24 2x)(18 2x)
Giải ta được: x1 = −18 (loại), x2 = (thỏa) Bài 9: Cho số có hai chữ số Tìm số đó, biết tổng hai chữ số nhỏ số lần, thêm 25 vào tích hai chữ số số viết theo thứ tự ngược lại với số cho HD: Gọi số phải tìm xy (0 < x, y ≤ x, y Z)
Ta có hệ: 6(x y) 10x y x
xy 25 10y x y
Vậy số phải tìm 54
Bài 10: Hai vòi nước chảy vào bể sau 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ chảy 10 phút vịi thứ hai 12 phút đầy
5 bể Hỏi vịi chảy phải đầy bể
HD: Gọi thời gian chảy đầy bể vịi I, II x, y phút (x, y > 80)
Ta có hệ:
80 80
x 120
x y
10 12 y 240
x y 15
Bài 11: Hai người thợ làm cơng việc 16giờ xong Nếu người thứ làm 3giờ người thứ hai làm 6giờ họ làm 25% công việc Hỏi người làm công việc hồn thành công việc
HD: Gọi x, y (giờ) thời gian người thứ nhất, hai làm xong công việc (x > 0, y > 16)
Ta có hệ:
16 16
x 24
x y
3 y 48
x y
(thỏa mãn điều kiện đầu bài)
Bài 12: Một phòng họp có 360 ghế ngồi xếp thành dãy số ghế dãy bằng Nếu số dãy tăng thêm số ghế dãy tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi phịng họp có dãy ghế dãy có ghế?
HD: Gọi số dãy ghế phòng họp x dãy (x Z, x > 0) Ta có phương trình: (x 1) 360 400
x
Giải ta được: x1 = 15, x2 = 24 ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15 người/dãy
PHẦN III: HÀM SỐ & ĐỒ THỊ − HỆ PHƯƠNG TRÌNH (3 tiết)
Bài 1: Cho hai đường thẳng y = 2x + 3m y = (2m + 1)x + 2m − Tìm điều kiện m để: a) Hai đường thẳng cắt
b) Hai đường thẳng song song với c) Hai đường thẳng trùng
HD: a) Hai đường thẳng cắt 2m + ≠ m b) Hai đường thẳng song song với m
2 c) Không xảy
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm A(−1 ; 3) B(0 ; 5)
HD: Phương trình đường thẳng có dạng: y = ax + b Vì đường thẳng qua hai điểm A B Nên (a, b) nghiệm hệ: a b a
b b
(5)Bài 3: Xác định hệ số a, b hàm số y = ax + b trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số đường thẳng có hệ số góc qua điểm A(−1 ; 3) b) Đồ thị hàm số qua hai điểm B(2 ; 1) C(1 ; 3)
c) Đồ thị hàm số qua điểm A(1 ; 3) song song với đường thẳng y = 3x − ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5) c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 4: Cho Parabol (P): y = 2x2 hai đường thẳng: (d1): mx − y − = (d2): 3x + 2y − 11 = 0 a) Tìm giao điểm M (d1) (d2) m =
b) Với giá trị m (d1) song song với (d2) c) Với giá trị m (d1) tiếp xúc với (P)
HD: a) Khi m = giao (d1) (d2) nghiệm hệ: x y x
3x 2y 11 y
M(3 ; 1)
b) (d1) song song với (d2) m
c) (d1) tiếp xúc với (P) 2x2 − mx + = có nghiệm kép = m2 = 16 m
m
Bài 5: Cho đường thẳng (d) y = (m − 2)x + n (m ≠ 2) Tìm giá trị m, n trường hợp sau:
a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A(−1 ; 2) B(3 ; −4)
b) Đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ 1 cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d1): −2y + x − = d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng(d2): 3x + 2y = e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng (d3): y − 2x + = HD: a) ĐS: m n
2
b) ĐS: m ; n 2
c) ĐS: (d) cắt (d1) m ≠ 2,5 n tùy ý
d) ĐS: (d) song song với (d2) m = 0,5 n ≠ 0,5 e) ĐS: (d) ≡ (d3) m = n =
Bài 6: Tìm khoảng cách hai điểm A B mặt phẳng tọa độ biết: a) A(1 ; 1) B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) B(3 ; 5) HD: a) AB (5 1)2 (4 1)2 5
b) AB (3 2)2 (5 2)2 5,83
Bài 7: Tìm giá trị m để ba đường thẳng sau đồng qui:
a) (d1): 5x + 11y = (d2): 10x − 7y = 74 (d3): 4mx + (2m − 1)y = m + b) 3x + 2y = 13 (d2): 2x + 3y = (d3): (d1): y = (2m − 5)x − 5m HD: a) ĐS: m = b) m = 4,8
Bài 8: Giải hệ phương trình sau phương pháp đặt ẩn phụ: a)
1
x y
1 1
x y
b)
15
x y
4 35
x y
c)
1
x y x y
1
x y x y
d)
4
2 2x 3y 3x y
3
21 3x y 2x 3y
HD: a) ĐS: (x ; y) ; 10
3
b)
1
(x ; y) = ;
2
c) (x ; y) = (5 ; 3) d)
7
(x ; y) ; 66 11
(6)PHẦN IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (3 tiết)
Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + = Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm x1 = Tìm nghiệm x2
HD: m = 2, x2 =
Bài 2: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2 = (1)
a) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hai nghiệm có nghiệm −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt m b) m = m =
Bài 3: Cho phương trình x2 3x 5 0
gọi hai nghiệm phương trình x1, x2 Khơng
giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau: a)
1
1
x x b)
2
1
x x c) 2 2
1
1
x x d)
3
1
x x HD: Đưa biểu thức dạng x1 + x2 x1x2 sử dụng hệ thức Viét
Bài 4: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − = (1)
a) Chứng minh m ≠ −1 phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dấu
HD: a) Chứng minh ' >
b) Phương trình (1) có hai nghiệm dấu m < −1 m > Bài 5: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m − = (1)
a) Giải phương trình (1) m =
b) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với giá trị m
c) gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1) Chứng minh A = x1(1 − x2) + x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm x 2
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 A không phụ thuộc vào m
Bài 6: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 − 2(m − 1)x + m − = 0 a) Không giải phương trình tính giá trị biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m b) Tìm m để P nhỏ
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 − 2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10 c) P = (2m 5)2 15 15
4
Dấu "=" xảy m
Bài 7: Cho phương trình x2 − 6x + m = (m tham số) (1) a) Giải phương trình (1) với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 x2 thỏa mãn 3x1 + 2x2 = 20 HD: a) Với m = x1 = 1, x2 =
b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2) Bài 8: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k =
b) Tìm tất số nguyên dương k để phương trình có hai nghiệm phân biệt HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 =
b) ' = − k > k < ĐS: k {1 ; ; 3}
Bài 9: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m + = (1) a) Giải phương trình với m =
b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x = −2 HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 =
b) ĐS: m = − 20
(7)1) Giải phương trình (*) m =
2) Tìm tất giá trị m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt HD: a) Khi m = 1: x
2 b) ĐS: m 2, m
3
PHẦN V: SỐ HỌC (2 tiết)
(Phép chia hết phép chia cịn dư)
Tính chất 1: “Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n (n ≥1)”
Chứng minh: Lấy n số nguyên liên tiếp chia cho n n số dư khác đôi một, n số dư khác đơi có số dư 0, tức có số chia hết cho n Khái niệm: a) Số nguyên tố số có hai ước nó.
b) Hai số ngun tố hai số có ước chung lớn Tính chất 2: a) Nếu a m, a n (m, n) = thì: a mm
b) Nếu a m, a n, a p m, n, p ba số đôi nguyên tố a mnp Bài 1: Chứng minh rằng:
1) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 2) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 24 3) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 120 4) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho 720 5) Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 6) Tích số chẵn liên tiếp chia hết cho 48 HD: Dựa sở tính chất để chứng minh Bài tập: Chứng minh m, n N:
1) n3 + 11n 6.
HD: n3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n 6 2) n(n + 1)(2n + 1)
HD: n(n + 1)(2n + – 3) = 2n(n + 1)(n + 2) – 3n(n + 1) 3) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24
HD: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4) n4 – 4n3 – 4n2 + 16n 384 (n chẵn n > 4) HD: n = 2k 384 = 27.3
5) n2(n2 – 1) 12
HD: n2(n2 – 1) = (n – 1)n.n(n + 1) 12 6) n2(n4 – 1) 60
HD: n4 – = (n – 1)(n + 1)(n2 – + 5) 7) 2n(16 – n4) 30
HD: 2n(16 – n4) = 32(n – n5) + 30n5 8) mn(m4 – n4) 30
HD: m4 – n4 = (m4 – 1) – (n4 – 1) 9) n3 – 13n 6
HD: n3 – 13n = n(n – 1)(n + 1) – 12n 10) m2n2(m4 – n4) 60
HD: (Kết hợp câu câu 8)
PHẦN VI: HÌNH HỌC (8 tiết)
Bài 1: Cho ABC vuôn A, đường cao AH Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt d theo thứ tự D E
a) Tính DOE
b) Chứng minh: DE = BD + CE
c) Chứng minh BD.CE = R2 (R bán kính đường trịn tâm O) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE
1
1
M D
(8)HD: a) D E 1BDE CED 900
(Vì BD // CE) DOE 90
b) DE = AD + AE = BD + CE (Vì BD = AD CE = AE)
c) v.DOE đường cao OA: OA2 = AD.AE = BD.CE BD.CE = R2 d) Gọi M trung điểm DE nối OM ta có: OM đường trung bình hình thang BDEC OM // BD mà BD BC OM BC mà O thuộc đường tròn đường kính DE DOE 90
Vậy: BC tiếp tuyến đường trịn đường kính DE
Bài 2: Cho c.ABC (AB = AC), đường cao AD BE cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp AHE a) Chứng minh ED = 1BC
2
b) Chứng minh DE tiếp tuyến đường trịn (O) c) Tính độ dài DE biết DH = 2cm, HA = 6cm
HD: a) v.BEC có DE trung tuyến DE = 1BC
b) BDE cân E E B1 D 900 DEO 90 0 DE tiếp tuyến c) BDH ADC BD DH BD
AD DC BD DE = BD = 4cm
Bài 3: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua một điểm M thuộc nửa đường tròn cho, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax, By C D Các đường thẳng AD BC cắt N Chứng minh rằng:
a) CD = AC + BD b) MN // AC
c) CD.MN = CM.DB
d) M vị trí nửa đường trịn cho tổng AC + BD có giá trị nhỏ nhất?
HD: a) CD = CM + MD = AC + BD (Vì AC = CM BD = DM) b) AC // BD AC AN
BD ND hay:
CM AN
MD ND MN // AC c) MN // BD MN CM
BD CD CD.MN = CM.DB
d) AC + BD nhỏ CD nhỏ CD = AB M điểm nằm AB
Bài 4: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O, R), kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn. Từ điểm M cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến P Q
a) Chứng minh điểm M chuyển động BC chu vi APQ có giá trị không đổi
b) Cho BAC 60
R = 6cm Tính độ dài tiếp
tuyến AB diện tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến AB, AC cung nhỏ BC
HD: a) Gọi chu vi APQ p Ta có:
p = AP + (BP + CQ) + AQ = AB + AC = Const (Vì PQ = MP + MQ = BP + CQ BP = MP, MQ = CQ)
b) BAC 60
ABC AOB nửa
tam giác nên:
AB = 2.OB = 2R = 2.6 = 12 (cm)
Bài 5: Cho c.ABC (AB = AC), I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp A , O trung điểm IK
a) Chứng minh bốn điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O b) Chứng minh AC tiếp tuyến đường trịn (O)
c) Tính bán kính đường trịn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a) KBI KCI 180
(Tính chất phân giác) BICK nội tiếp (O)
x
1
2
1
1
O
H E
D
B C
A
y
x
D' N
C
D
O
A B
M
D
Q P
C B
O A
M
21
H
B C
(9)b)
1
C OCI C I 90 OC AC AC tiếp tuyến (O) c) AH AC2 HC2 202 122 16
(cm)
2
CH 12
OH
AH 16
(cm)
Vậy: OC = OH2 HC2 92 122 225 15
(cm)
Bài 6: Cho v.ABC (A 90
), đường cao AH Gọi HD đường kính đường trịn (A, AH)
Tiếp tuyến đường tròn D cắt CA E a) Chứng minh BEC tam giác cân
b) Gọi I hình chiếu A BE, chứng minh AI = AH c) Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn (A, AH) d) Chứng minh BE = BH + DE
HD: a) ADE = AHC (g.c.g) AE = AC mà BA CE BEC cân b) ABI = AHB (cạnh huyền, góc nhọn) AI = AH
c) AI = AH I (O) mà AI BE (gt) BE tiếp tuyến (O) d) BE = EI + BI = DE + BH
Bài 7: Cho v.ABC (A 90
)
a) Nêu cách dựng đường tròn (O) qua A tiếp xúc với BC B nêu cách dựng đường tròn (O’) qua A tiếp xúc với BC C
b) Hai đường trịn (O) (O’) có vị trí nào? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung hai đường tròn
d) Cho AB = 36cm, AC = 48cm Tính độ dài BC bán kính đường trịn (O) (O’)
HD: a) O giao đường trung trực AB Bx BC
b)
1
A A B B 90 OA AM Tương tự với O'
c) BC = 60(cm).AO'H BCAO'A = 40(cm).T2: OA = 22,5(cm)
Bài 8: Cho hình vng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE, đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K
a) Chứng minh BHCD tứ giác nội tiếp b) Tính góc CHK
c) Chứng minh KC.KD = KH.KB
d) Khi điểm E chuyển động cạnh BC điểm H chuyển động đường nào?
HD: a) BHD BCD 90
BHCD nội tiếp
b) DHC DBC 45 CHK 450
c) KCH KDC (g.g) KC.KD = KH.KB d) BHD 90
Khi E chuyển động đoạn BC H chuyển động BC
Bài 9: Cho đường trịn (O, R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn điểm P Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp
b) Tứ giác CMPO hình bình hành
c) Tích CM.CN khơng phụ thuộc vị trí điểm M
d)* Khi M di động đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định HD: a) OMP ONP 90
ONMP nội tiếp
b) OC // MP (cùng vng góc với AB), MP = OD = OC Suy ra: CMPO hình bình hành
c) COM CND (g.g) Suy ra:
2
C B
E
A D
H I
2
2
1
H
O' O
M C
A
B
K H B
C A
D
E
11 1
C
O
(10)CM CO
CD CN CM.CN = CO.CD = Const d) ONP = ODP (c.g.c) ODP 90
Suy ra: P chạy đường
thẳng cố định Vì M [AB] nên P [EF]
Bài 10: Cho ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường trịn đường kính BH cắt AB E, nửa đường trịn đường kính HC cắt AC F
a) Chứng minh tứ giác AFHE hình chữ nhật b) Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c) Chứng minh AE.AB = AF.AC
HD: a) AEHF có ba góc vng AEHF hình chữ nhật b) B E 1 F1 BEFC nội tiếp
c) AEF ACB (g.g) AE.AB = AF.AC
Bài 11: Cho ABC vuông A, đường cao AH, đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) A Trên đường thẳng d lấy điểm K
a) Chứng minh BC KH
b) Kẻ AI đường cao KAH Chứng minh AI (KBC) c) Cho AB = 15cm, AC = 20cm, AK = 16cm Tính độ dài đoạn thẳng BC, KH, IH, IK tính khoảng cách từ A đến (KBC) HD: a) BC AH (gt), BC AK d (ABC) BC KH
b) BC (AKH) BC AI, AI KH AI (KBC) c) BC2 = AC2 + AB2 = 625 BC = 25cm
AH.BC = AB.AC (= 2SABC) AH = 12cm
KH2 = AK2 + AH2 KH = 20cm IH.KH = AH2 IH = 7,2cm IK = 12,8cm Ta có: AI.KH = KA.AH (= 2SKAH) AI = 9,6cm
Bài 12: Cho hình vng ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD Một đường thẳng d vng góc với mp (ABCD) O Lấy điểm S đường thẳng d, nối SA, SB, SC SD
a) Chứng minh AC (SBD)
b) Chứng minh mp(SAC) mp(ABCD) mp(SAC) mp(SBD) c) Tính SO biết AB = a SA = a
d) Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp S.ABCD HD: a) AO BD (ABCD hình vng), SO AO SO (ABCD) Suy ra: AO (SBD) hay: AC (SBD)
b) SO (SAC), SO (ABCD)(SAC) (ABCD) Tương tự: (SAC) (SBD) AO (SAC) AO (SBD)
c) AO 1AC a
2
SO2 = SA2 − AO2 SO 1a 10 d) Kẻ SE BC: OE = AB a
2 2 Sxq = 4SABC SE
2 = SO2 + OE2 SE a 11
2 xq
1
S SE.BC a 11
2
(cm2)
3
ABCD
1 1 a 10
V S SO a a 10
3
(cm3)
d
15
20
H K
A
B
C I
d
E O
A B
D S
C
2
2 1
1
O2 O1
F E
H C
A