ĐẠI SỐ CƠ BẢN (ƠN THI THẠC SĨ TỐN HỌC) Bài 16 Vectơ riêng - Giá trị riêng ma trận phép biến đổi tuyến tính - Chéo hóa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 28 tháng năm 2006 Vectơ riêng - Giá trị riêng ma trận 1.1 Các khái niệm Cho A ma trận vuông cấp n, (A ∈ Mn (R)) a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann Khi • Đa thức bậc n biến λ: PA (λ) = det(A − λI) = a11 − λ a12 a21 a22 − λ an1 an2 a1n a2n ann − λ = (−1)n λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ1 + a0 gọi đa thức đặc trưng ma trận A • Các nghiệm thực đa thức đa thức đặc trưng PA (λ) gọi giá trị riêng ma trận A • Nếu λ0 giá trị riêng A det(A − λ0 I) = Do hệ phương trình nhất: x1 (A − λ0 I) = (1) xn DeThiMau.vn có vơ số nghiệm Khơng gian nghiệm hệ (1) gọi không gian riêng ma trận A ứng với giá trị riêng λ0 Các vectơ khác không nghiệm hệ (1) gọi vectơ riêng ma trận A ứng với giá trị riêng λ0 Các vectơ tạo thành sở không gian riêng (tức vectơ tạo thành hệ nghiệm hệ (1)) gọi vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng λ0 1.2 Ví dụ Tìm đa thức đặc trưng, vectơ riêng, giá trị riêng ma trận: 1 A= 1 1 Giải • Ta có PA λ = −λ 1 −λ 1 −λ = −λ3 + 3λ + Vậy đa thức đặc trưng ma trận A PA (λ) = −λ3 + 3λ + • PA (λ) = ⇔ −λ3 + 3λ + = ⇔ (λ + 1)2 (2 − λ) = ⇔ λ = −1 (kép) , λ = Vậy ma trận A có giá trị riêng λ = −1, λ = • Để tìm vectơ riêng A, ta xét hai trường hợp: – Ứng với giá trị riêng λ = −1 Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = −1, ta giải hệ: 1 1 1 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc hai tham số x2 , x3 Nghiệm tổng quát hệ là: x1 = −a − b, x2 = a, x3 = b Do đó, khơng gian riêng A ứng với giá trị riêng λ = −1 V−1 = {(−a − b, a, b) | a, b ∈ R} Các vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ = −1 tất vectơ có dạng: (−a − b, a, b) với a2 + b2 = (vì vectơ riêng phải khác khơng) Ta có dim V−1 = A có vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng λ = −1 α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1) – Ứng với giá trị riêng λ = Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = 2, ta giải hệ: −2 1 1 −2 −2 −→ −2 1 −2 −2 1 1 −2 1 −2 −→ −3 −→ −3 0 0 −3 DeThiMau.vn Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x3 Nghiệm tổng quát hệ là: x1 = a, x2 = a, x3 = a Do đó, khơng gian riêng A ứng với giá trị riêng λ = V2 = {(a, a, a) | a ∈ R} Các vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ = tất vectơ có dạng: (a, a, a) với a = Ta có dim V2 = A có vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng λ = α3 = (1, 1, 1) Chú ý rằng, xét hai trường hợp, A có tất vectơ riêng độc lập tuyến tính α1 , α2 , α3 Chéo hóa ma trận 2.1 Ma trận đồng dạng • Cho A, B ma trận vng cấp n Ta nói A đồng dạng với B, ký hiệu A ∼ B, tồn ma trận T vuông cấp n, không suy biến cho B = T −1 AT Bạn đọc dễ dàng kiểm tra quan hệ đồng dạng quan hệ tương đương • Quan hệ đồng dạng bảo tồn nhiều tính chất ma trận, chẳng hạn A ∼ B det A = det B, rank A = rank B, PA (λ) = PB (λ), giá trị riêng A B 2.2 Chéo hóa ma trận • Định nghĩa Cho A ma trận vuông cấp n Ta nói ma trận A chéo hóa A đồng dạng với ma trận chéo Như ma trận A chéo hóa tồn ma trận T vuông cấp n không suy biến cho T −1 AT ma trận chéo Chéo hóa ma trận A tức tìm ma trận T vng cấp n không suy biến cho T −1 AT ma trận chéo • Ý nghĩa việc chéo hóa ma trận Nếu ma trận A chéo hóa việc nghiên cứu tính chất (bảo tồn qua quan hệ đồng dạng) ma trận A dẫn đến việc nghiên cứu tính chất ma trận chéo vấn đề trở nên đơn giản nhiều Muốn biết ma trận A có chéo hóa hay khơng, ta có định lý sau: • Định lý (Điều kiện cần đủ để ma trận vng chéo hóa được) Ma trận A vng cấp n chéo hóa A có đủ n vectơ riêng độc lập tuyến k tính, dim Vλi = n, λ1 , , λk tất giá trị riêng A i=1 DeThiMau.vn 2.3 Cách chéo hóa ma trận Cho A ma trận vng cấp n Để chéo hóa ma trận A, ta làm sau: Tìm giá trị riêng vectơ riêng độc lập tuyến tính A Khi xảy hai khả sau: k Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính A bé n (tức dim Vλi < n, i=1 Vλi khơng gian riêng ứng với giá trị riêng λi ) kết luận ma trận A khơng chéo hóa được, tức khơng tồn ma trận T để T −1 AT ma trận chéo k Nếu tổng số vectơ riêng độc lập tuyến tính A n (tức dim Vλi = n ma i=1 trận A chéo hóa Khi ma trận T cần tìm ma trận mà cột vectơ riêng độc lập tuyến tính A viết theo cột, λ1 λ2 −1 T AT = 0 λn ma trận chéo, λi giá trị riêng A ứng với vectơ riêng vectơ cột thứ i ma trận T 2.4 Ví dụ Chéo hóa ma trận 1 A= 1 1 Giải Trước hết tìm vectơ riêng, giá trị riêng A Theo ví dụ b), mục 1, ma trận A có hai giá trị riêng λ = −1, λ = A có ba vectơ riêng độc lập tuyến tính α1 = (−1, 1, 0), λ = (−1, 0, 1) ứng với giá trị riêng λ = −1 α3 = (1, 1, 1) ứng với giá trị riêng λ = Do đó, ta kết luận: - Ma trận A chéo hóa - Ma trận cần tìm là: −1 −1 1 T = 1 −1 0 T −1 AT = −1 0 DeThiMau.vn Vectơ riêng, giá trị riêng phép biến đổi tuyến tính 3.1 Các khái niệm Cho V không gian vectơ f : V → V phép biến đổi tuyến tính Nếu U khơng gian vectơ bất biến V cho f (U ) ⊂ U U gọi khơng gian bất biến V Giả sử U không gian bất biến chiều α vectơ khác khơng, thuộc U (do α sở U ), f (U ) ⊂ U nên f (α) ∈ U f (α) = λα Từ ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Cho V không gian vectơ, f : V → V phép biến đổi tuyến tính V Nếu ta có f (α) = λα α ∈ V vectơ khác khơng λ ∈ R α gọi vectơ riêng f ứng với giá trị riêng λ 3.2 Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính Các giá trị riêng, vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính có tương ứng chặt chẽ với giá trị riêng, vectơ riêng ma trận Ta thấy rõ điều qua phần trình bày Cho V không gian vectơ n-chiều (dim V = n) cho f : V → V phép biến đổi tuyến tính Giả sử (U ) : u1 , , un sở V A = Af /(U ) ma trận f sở (U ) Ta có biểu thức tọa độ f sau (xem 15): [f (α)]/(U ) = A.[α]/(U ) (∗) Nếu α vectơ riêng f ứng với giá trị riêng λ0 f (α) = λ0 f Thay vào vào (∗) ta có: λ0 [α]/(U ) = A.[α]/(U ) hay [A − λ0 I][α]/(U ) = (∗∗) Vì vectơ α khác khơng nên hệ phương trình (∗∗) có nghiệm khác không ⇔ det[A − λ0 I] = ⇔ λ0 giá trị riêng A Như vậy, λ0 giá trị riêng f ⇔ λ0 giá trị riêng ma trận A = Af /(U ) α ∈ V vectơ riêng f ứng với giá trị riêng λ0 ⇔ [α]/(U ) vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ0 Từ ta có quy tắc tìm giá trị riêng vectơ riêng phép biến đổi tuyến tính f : V → V sau: Bước Tìm ma trận f sở (U ) : u1 , , un V , nghĩa tìm A = Af /(U ) Bước Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A Bước Kết luận • Các giá trị riêng A giá trị riêng f • Nếu (a1 , , an ) vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ0 a1 u1 + · · · + an un vectơ riêng f ứng với giá trị riêng λ0 DeThiMau.vn 3.3 Vấn đề tìm sở V để ma trận f sở ma trận chéo Để nghiên cứu phép biến đổi tuyến tính f : V → V , ta qui việc nghiên cứu ma trận f Từ dẫn đến việc cần tìm sở để ma trận f sở ma trận chéo (là ma trận đơn giản, dễ nghiên cứu) Sau cách tìm sở vậy: Đầu tiên ta tìm vectơ riêng độc lập tuyến tính f Nếu f có n vectơ riêng độc lập tuyến tính (n = dim V ) khơng có sở f để ma trận f sở ma trận chéo Nếu f có n vectơ riêng độc lập tuyến tính (α) : α1 , , αn n vectơ riêng độc lập tuyến tính làm thành sở (α) V ma trận f sở (α) ma trận chéo Cụ thể: λ1 λ2 Af /(U ) = 0 λn λi giá trị riêng ứng với vectơ riêng αi (các λi nhau) 3.4 Ví dụ Trong R3 cho sở: u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 1, 0), u3 = (1, 0, 0) cho phép biến đổi tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi: f (u1 ) = (4, 3, 2) f (u2 ) = (4, 3, 1) f (u3 ) = (1, 0, 0) Tìm sở để ma trận f sở ma trận chéo Giải Đầu tiên ta tìm vectơ riêng, giá trị riêng f Để tìm vectơ riêng, giá trị riêng f , ta tìm ma trận f sở R3 Trong tốn cụ thể này, tìm ma trận f sở (U ) : u1 , u2 , u3 dễ Vậy: Bước Tìm ma trận f sở (U ) Ta phải giải hệ phương trình sau: • Hệ 1 1 0 a1 = 2, a2 = − a1 = 1, a3 = − a − a = DeThiMau.vn • Hệ 1 1 0 b1 = 1, b2 = − b1 = 2, b3 = − b1 − b2 = • Hệ 1 1 1 0 0 c1 = 0, c2 = −c1 = 0, c3 = − c1 − c2 = Vậy Af /(U ) = 1 Bước Tìm giá trị riêng, vectơ riêng A f PA (λ) = 2−λ 1 2−λ 1 1−λ = (1 − λ) 2−λ 1 2−λ PA (λ) = (1 − λ)[(2 − λ)2 − 1] = (1 − λ)2 (3 − λ) PA (λ) = ⇔ λ = 1, λ = Vậy A có hai giá trị riêng λ = 1, λ = Suy f có hai giá trị riêng λ = 1, λ = • Các 1 vectơ riêng A ứng 0 1 0 −→ 0 với giá 0 0 trị riêng λ = nghiệm hệ 0 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc hai tham số x2 , x3 Nghiệm tổng quát hệ là: x1 = −a, x2 = a, x3 = b Vectơ riêng A, ứng với giá trị riêng λ = 1, (−a, a, b), a2 + b2 = Trong trường hợp này, A có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính α1 = (−1, 1, 0) α2 = (0, 0, 1) Do đó, ứng với giá trị riêng λ = 1, vectơ riêng f vectơ có dạng −au1 + au2 + bu3 = (b, 0, −a) với a2 + b2 = Trong trường hợp này, f có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính là: β1 = −u1 + u2 + 0u3 = (0, 0, −1) β2 = 0u1 + 0u2 + u3 = (1, 0, 0) DeThiMau.vn • Các vectơ riêng A ứng với giá −1 −1 0 −1 0 −→ 1 −2 trị riêng λ = nghiệm hệ 0 −2 0 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x2 Ta có: x2 = a, x3 = 0, x1 = a Nghiệm tổng quát hệ là: x1 = a, x2 = a, x3 = Vectơ riêng A, ứng với giá trị riêng λ = 3, (a, a, 0), a = Trong trường hợp này, A có vectơ riêng độc lập tuyến tính α3 = (1, 1, 0) Do đó, ứng với giá trị riêng λ = 3, vectơ riêng f vectơ có dạng au1 + au2 + 0u3 = (2a, 2a, a), a=0 Trong trường hợp này, f có vectơ riêng độc lập tuyến tính là: β3 = 1u1 + 1u2 + 0u3 = (2, 2, 1) Bước Kết luận f có ba vectơ riêng độc lập tuyến tính vectơ β1 , β2 (ứng với λ = 1) β3 (ứng với λ = 3) Do đó, β1 , β2 , β3 làm thành sở R3 mà ma trận f sở β1 , β2 , β3 ma trận chéo Cụ thể: 0 Af /(β) = 0 DeThiMau.vn Bài tập (a) Cho f : Rn → R Chứng minh f ánh xạ tuyến tính ⇔ tồn số a1 , , an ∈ R để f (x1 , x2 , , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn (b) Cho f : Rn → Rm Chứng minh f ánh xạ tuyến tính ⇔ tồn số aij ∈ R để f (x1 , x2 , , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn , , am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn ) Tìm cơng thức ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 (tìm f (x1 , x2 , x3 )) biết: (a) f (1, 1, 2) = (1, 0, 0) f (2, 1, 1) = (0, 1, 1) f (2, 2, 3) = (0, −1, 0) (b) f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1) f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0) f (1, 3, 4) = (1, 0, 2) Trong R3 cho sở u1 = (1, 0, 0), v1 = (1, −1, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (U ) v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (V ) cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi , i = 1, 2, (a) Tìm cơng thức f (b) Tìm ma trận sau: Af /(U ) , Af /(U ),(V ) , Af /(V ) , Af /(V ),(U ) , Af /(ε3 ) Cho ánh xạ tuyến tính Θ : Rn [x] → Rn [x], p(x) → p′ (x) Tìm ma trận Θ sở: (a) 1, x, x2 , , xn (b) 1, (x − a), (x − a)2 (x − a)n , , 2! n! Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 + x3 + x4 ) Tìm sở, số chiều Ker f , Im f Tìm vectơ riêng, giá trị riêng chéo hóa ma trận sau: 1 (a) 0 1 −1 −2 (b) −1 −2 DeThiMau.vn (c) 0 0 0 (d) 0 0 0 −1 (e) 0 0 −2 Trong R3 cho sở: u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định f (u1 ) = (0, 5, 3) f (u2 ) = (2, 4, 3) f (u3 ) = (0, 3, 2) Tìm sở để ma trận f sở ma trận chéo Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : V → V thỏa ϕ2 = ϕ Chứng minh: Im ϕ + Ker ϕ = V Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} Cho f : V → V phép biến đổi tuyến tính, L khơng gian vectơ V Chứng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L (b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f 10 Cho ϕ : V → W , ψ : W → U ánh xạ tuyến tính Chứng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank ϕ + rank ψ − dim W 10 DeThiMau.vn ... với ma trận chéo Như ma trận A chéo hóa tồn ma trận T vng cấp n không suy biến cho T −1 AT ma trận chéo Chéo hóa ma trận A tức tìm ma trận T vng cấp n khơng suy biến cho T −1 AT ma trận chéo. .. I] = ⇔ λ0 giá trị riêng A Như vậy, λ0 giá trị riêng f ⇔ λ0 giá trị riêng ma trận A = Af /(U ) α ∈ V vectơ riêng f ứng với giá trị riêng λ0 ⇔ [α]/(U ) vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ0 Từ... gian vectơ, f : V → V phép biến đổi tuyến tính V Nếu ta có f (α) = λα α ∈ V vectơ khác khơng λ ∈ R α gọi vectơ riêng f ứng với giá trị riêng λ 3.2 Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng phép biến đổi