GIẢI TÍCH (CƠ SỞ) Phần Độ Đo Và Tích Phân §3 TÍCH PHÂN THEO LEBESGUE Chun ngành: Giải Tích, PPDH Toán (Phiên chỉnh sửa) PGS TS Nguyễn Bích Huy Ngày tháng năm 2006 PHẦN LÝ THUYẾT Điều kiện khả tích theo Riemann Nếu hàm f khả tích [a, b] theo nghĩa tích phân xác định ta nói f khả tích theo Riemann hay (R)−khả tích Định lý Hàm f khả tích Riemann [a, b] thỏa mãn hai điiều kiện sau : i f bị chặn ii Tập điểm gián đoạn f [a, b] có độ đo Lebesgue Định nghĩa tích phân theo Lebesgue Cho khơng gian độ đo (X, F, µ) A ∈ F, f : A −→ R hàm đo n 1Ai với Ai ∈ F, Ai ∩ Aj = (a) Nếu f hàm đơn giản, không âm A f = i=n n ø (i = j) Ai = A ta định nghĩa tích phân f A theo độ đo µ : i=1 n f dµ := µ(Ai ) i=n A (b) Nếu f hàm đo được, khơng âm tồn dãy hàm đơn giản, không âm fn cho fn (x) ≤ fn+1 (x), lim fn (x) = f (x) ∀x ∈ A n→∞ Khi ta định nghĩa f dµ = lim fn dµ n→∞ A A Chú ý rằng, tích phân hàm đo khơng âm ln tồn tại, số khơng âm +∞ DeThiMau.vn (c) Nếu f hàm đo f + (x) = max{f (x), 0}, f − (x) = max{−f (x), 0} hàm đo được, khơng âm ta có f (x) = f + (x) − f − (x) Nếu f − dµ số hữu hạn ta định nghĩa f + dµ, tích phân A A A A A f − dµ f + dµ − f dµ = f dµ tồn hữu hạn (hay hai tích phân Ta nói f khả tích A A f − dµ số hữu hạn) f + dµ, A A Các tính chất Cho khơng gian độ đo (X, F, µ) 3.1 Một số tính chất quen thuộc : Giả sử A ∈ F f, g hàm đo được, không âm A khả tích A Khi ta cú ã (f + g)dà = A f dà + A cf dµ = c A gdµ A ∀c R f dà A ã Nu f (x) g(x) ∀x ∈ A f dµ ≤ A gdµ A • Nếu A = A1 ∪ A2 với A1 , A2 ∈ F, A1 ∩ A2 = ø f dµ = A f dµ + A1 f dµ A2 3.2 Sự không phụ thuộc tập độ đo O Khái niệm "hầu khắp nơi" Định nghĩa Giả sử P (x) tính chất phát biểu cho x ∈ A cho ∀x ∈ A P (x) P (x) sai Ta nói tính chất P (x) (hay xảy ra) hầu khắp nơi (viết tắt hkn) tập A tập B = {x ∈ A : P (x) không đúng} chứa tập C ∈ F mà µ(C) = (hoặc µ(B) = biết B ∈ F ) Ví dụ 1) Giả sử f, g đo A Ta có B := {x ∈ A : f (x) = g(x)} ∈ F Do ta nói "f (x) = g(x) hkn A " có nghĩa µ(B) = 2) Nếu f đo A tập B = {x ∈ A : |f (x)| = +∞} thuộc F Ta nói "f hữu hạn hkn A" có nghĩa µ(B) = DeThiMau.vn 3) Cho hàm đo fn , f (n = 1, 2, ) Ta nói "Dãy {fn } hội tụ hkn A F có nghĩa B = {x ∈ A : fn (x) → f (x)} có độ đo Sự khơng phụ thuộc tập độ đo Nếu µ(A) = f đo A f dµ = Do : A • Nếu f có tích phân A ∪ B µ(B) = f dà gdà = A AB ã Nu f, g đo A, f (x) = g(x) hkn A f có tích phân A f dµ gdµ = A A f dµ = f (x) = hkn A 3.3 Nếu f đo được, không âm A A 3.4 Nếu f khả tích A f (x) hữu hạn hkn A 3.5 Tính chất σ−cộng Giả sử An ∈ F (n ∈ N∗ ), An ∩ Am = ø (n = m) f hàm đo được, khơng âm ∞ khả tích A = An Khi n=1 ∞ f dµ f dµ = n=1 A A n 3.6 Một số điều kiện khả tích: • Nếu f đo A f khả tích A |f | khả tích A • Nếu f đo được, g khả tích A |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A f khả tích A • Nếu f đo được, bị chặn A µ(A) < ∞ f khả tích A Qua giới hạn dấu tích phân Định lý Levi (hội tụ đơn điệu) Giả sử : i fn (n ∈ N∗ ) hàm đo A < fn (x) < fn+1 (x), x∈A ii lim fn (x) = f (x) x ∈ A n→∞ Khi lim n→∞ A fn dµ = f dµ A (một cách hình thức lim fn dµ = A lim fn dµ) A Định lý Lebesgue (hội tụ bị chặn) Giả sử : i Các hàm fn đo A tồn hàm g khả tích A cho |fn (x)| ≤ g(x) ∀n ∈ N∗ , ∀x ∈ A DeThiMau.vn ii lim fn (x) = f (x) x ∈ A n→∞ f dµ f dµ = lim Khi n→∞ A A Ghi Do không phụ thuộc vào tập độ đo tích phân, ta giả thiết diều kiện i., ii định lý Levi Lebesgue cần hkn A Liên hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue Nếu A ⊂ R tập (L)−đo tích phân theo độ đo Lebesgue ký hiệu b f (x)dx (L) (L) f (x)dx A = [a, b] a A Định lý 1) Nếu f khả tích Riemann [a, b] f khả tích theo nghĩa Lebesgue [a, b] ta có b b f (x)dx f (x)dx = (R) (L) a a 2) Nếu f khả tích Riemann suy rộng [a, b] (hoặc [a, ∞]) hàm khơng âm f khả tích theo nghĩa Lebesgue [a, b] (trên [a, ∞]) ta có : b b ∞ ∞ (R) f (x)dx = (L) a f (x)dx (R) a f (x)dx = (L) a f (x)dx a PHẦN BÀI TẬP Trong tập ta ln giả thiết có khơng gian độ đo (X, F, µ) Các tập xét thuộc F Bài Cho hàm f đo A, hàm g, h khả tích A cho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ A Chứng minh f khả tích A Giải Ta có f + ≤ h+ , f − ≤ g − f + dµ ≤ ⇒ A ( g ≤ f ≤ h) f− ≤ h+ dµ, A A g − dµ A f ± dµ < ∞ Suy f khả tích (Bài Các tích phân vế phải hữu hạn nên A giải dựa vào bất đẳng thức |f (x)| ≤ |g(x)| + |h(x)|) Bài DeThiMau.vn Cho hàm số f ≥ 0, đo A Xét hàm Chứng minh lim n→∞ fn (x) = f (x), n, fn dµ = f dµ f (x) ≤ n f (x) > n (n ∈ N∗ ) A A dx √ x Ứng dụng kết để tính (L) Giải Ta dễ dàng kiểm tra fn (x) = min{n, f (x)} Do : • fn (x) đo được, khơng âm • fn (x) = min{n, f (x)} ≤ min{n + 1, f (x)} = fn+1 (x) • lim fn (x) = min{ lim n, f (x)} = min{+∞, f (x)} = f (x) n→∞ n→∞ Áp dụng định lý Levi ta có đpcm Đặt f (x) = √ , x ∈ (0, 1], f (0) = +∞ Ta dễ dàng tìm x √1 , x ∈ [ , 1] fn (x) = n2 x n x ∈ [0, ] n2 (L) fn (x)dx = − fn (x)dx = (R) n Theo câu 1) ta có (L) f (x)dx = lim fn (x)dx = n→∞ 0 Bài Cho hàm f khả tích A Ta xây dựng hàm fn sau : f (x), |f (x)| ≤ n fn (x) = n, f (x) > n −n, f (x) < −n Chứng minh lim fn dµ = n→∞ A f dµ A Giải Ta dễ thấy fn (x) = min{n, max{−n, f (x)}} Từ ta suy : DeThiMau.vn • fn đo được, |fn | ≤ |f | ∀n ∈ N∗ • lim fn (x) = min{+∞, max{−∞, f (x)}} = f (x) ∀x ∈ A n→∞ Áp dụng định lý Lebesgue ta có đpcm Bài Cho ϕ hàm đo được, không âm X Ta định nghĩa : γ(A) = A∈F ϕdµ, A Chứng minh γ độ đo Giả sử f hàm đo được, không âm X Chứng minh f dγ = X f ϕdµ X Giải ϕdµ tồn tại, khơng âm Vì ϕ hàm đo được, khơng âm nên A • Chú ý ϕdµ = µ(A) = 0, ta có γ(φ) = A • Sử dụng tính chất σ−cộng tích phân ta suy γ có tính σ−cộng • Đầu tiên ta kiểm tra đẳng thức f hàm đơn giản, không âm : n n f= Ai ∩ Aj = ø(i = j), 1Ai , i=1 Ai = X i=1 Thật n f dγ = γ(Ai ) i=1 X n f ϕdµ = n i=1 X 1Ai ϕdµ = i=1 X ϕdµ Ai Từ ta có đpcm • Nếu f đo được, khơng âm tồn dãy hàm đơn giản fn ≤ fn ≤ fn+1 , lim fn = f Ta có : fn ϕf µ ∀n ∈ N fn dγ = X (do bước trên) X lim fn dγ = X f dγ, lim X fn ϕdµ = X (Do định lý Levi) Từ ta có đpcm DeThiMau.vn f ϕdµ X Bài Cho hàm f, g khả tích A Với n ∈ N ta đặt : An = {x ∈ A : n ≤ |f (x)| < n + 1} Bn = {x ∈ A : |f (x)| ≥ n} Chứng minh : lim n→∞ An gdµ = ∞ nµ(An ) < +∞ n=1 lim nµ(Bn ) = n→∞ Giải ∞ Ta dễ kiểm tra An ∩ Am = ø (n = m) An = A n=0 Do tính chất σ−cộng, ta có: ∞ gdµ ∈ R gdµ = n=0 A A n Từ ta có đpcm (do điều kiện cần hội tụ chuỗi) Cũng tính chất σ−cộng, ta có: ∞ |f |dµ = n=0 A |f |dµ < ∞ A n |f |dµ ≥ nµ(An ), ta có đpcm Kết hợp đánh giá An ∞ Đặt Γn = kµ(Ak ) ta có : k=n lim Γn = (do câu 2) n→∞ ∞ Γn ≥ n µ(Ak ) = nµ(Bn ) k=n Từ ta có đpcm Bài Giả sử µ(X) < ∞ Ta kí hiệu M tập hàm đo được, hữu hạn X Trong M ta định nghĩa quan hệ ” = ” sau : f = g ⇔ f (x) = g(x)hkn X Ta định nghĩa : |f − g| dµ + |f − g| d(g, f ) = X Chứng minh d metric M DeThiMau.vn f, g ∈ M ... hệ tích phân Riemann tích phân Lebesgue Nếu A ⊂ R tập (L)−đo tích phân theo độ đo Lebesgue ký hiệu b f (x)dx (L) (L) f (x)dx A = [a, b] a A Định lý 1) Nếu f khả tích Riemann [a, b] f khả tích theo. .. âm ∞ khả tích A = An Khi n=1 ∞ f dµ f dµ = n=1 A A n 3.6 Một số điều kiện khả tích: • Nếu f đo A f khả tích A |f | khả tích A • Nếu f đo được, g khả tích A |f (x)| ≤ g(x) ∀x ∈ A f khả tích A •... khả tích A cho g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) ∀x ∈ A Chứng minh f khả tích A Giải Ta có f + ≤ h+ , f − ≤ g − f + dµ ≤ ⇒ A ( g ≤ f ≤ h) f− ≤ h+ dµ, A A g − dµ A f ± dµ < ∞ Suy f khả tích (Bài Các tích phân