Giải tích (cơ bản) Lý thuyết chuỗi40909

GIẢI TÍCH (CƠ BẢN) Tài liệu ơn thi cao học năm 2005 Phiên chỉnh sửa PGS TS Lê Hồn Hóa Ngày 10 tháng 11 năm 2004 LÝ THUYẾT CHUỖI Chuỗi số 1.1 Định nghĩa Định nghĩa Cho (an )n dãy số (có thể thực hay phức), chuỗi tương ứng ký hiệu ∞ an k Với k ∈ N, đặt sk = an tổng riêng phần thứ k Khi k thay đổi N, có dãy tổng riêng phần (sk )k Nếu lim sk tồn hữu hạn, ta nói chuỗi k→∞ S= ∞ ∞ an hội tụ đặt S = lim sk tổng chuỗi, k→∞ an Nếu lim sk không tồn lim sk = +∞ hay lim sk = −∞, ta nói chuỗi k→∞ k→∞ k→∞ ∞ an phân kỳ Tính chất Tính hội tụ tổng chuỗi không thay đổi thay đổi thứ tự số hữu hạn số hạng Chuỗi ∞ an an hội tụ phân kỳ n≥n0 Điều kiện cần: chuỗi ∞ an hội tụ lim an = k→∞ 1 DeThiMau.vn 1.2 Chuỗi khơng âm ∞ Là chuỗi có dạng Tính ∞chất Cho chuỗi ∞ an , an ≥ an , an ≥ Khi dãy tổng riêng phần (sk )k dãy tăng (sk )k bị chặn an hội tụ Dấu hiệu so sánh ∞ Giả sử ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 Khi đó, kỳ ∞ ∞ bn hội tụ an hội tụ, ∞ an phân bn phân kỳ Giả sử lim n→∞ an = k Khi đó: bn (a) Nếu < k < ∞ ∞ (b) Nếu k = an , ∞ bn hội tụ phân kỳ ∞ bn hội tụ ∞ (c) Nếu k = ∞ ∞ an hội tụ 1 ∞ an hội tụ, bn hội tụ, ∞ ∞ an phân kỳ bn phân kỳ ∞ ∞ bn phân kỳ an phân kỳ Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ f giảm Với n ∈ N, đặt an = f (n) Khi đó: ∞ f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi Tích phân suy rộng ∞ an hội tụ Chuỗi bản: • • ∞ ∞ hội tụ s > 1, phân kỳ s ≤ ns n t , |t| < 1, hội tụ tổng S = ∞ tn = 1−t Dấu hiệu D’Alembert (tỉ số) Cho chuỗi số dương ∞ 1 Nếu k < ∞ an+1 = k Khi đó: n→∞ an an , an > Giả sử lim an hội tụ DeThiMau.vn Nếu k > ∞ an phân kỳ Nếu k = 1, chưa kết luận hội tụ an+1 ≥ 1, ∀n ≥ n0 chuỗi Ghi Nếu có an ∞ an phân kỳ Dấu hiệu Cauchy (căn số) ∞ Cho chuỗi không âm an , an ≥ Giả sử lim k→∞ √ n an = k Khi đó: Nếu k < chuỗi hội tụ Nếu k > chuỗi phân kỳ Nếu k = 1, chưa kết luận hội tụ 1.3 Chuỗi đan dấu ∞ Có dạng (−1)n an Dấu hiệu Leibnitz Cho chuỗi đan dấu ∞ ∞ (−1)n an , an ≥ (−1)n an , an ≥ Giả sử (an )n dãy giảm lim an = chuỗi k→∞ hội tụ Gọi S tổng chuỗi Khi đó: |S| ≤ a1 1.4 Chuỗi ∞ Có dạng an với an âm hay dương Xét chuỗi không âm chuỗi ∞ ∞ ∞ |an | Nếu chuỗi an hội tụ tuyệt đối Nếu chuỗi ∞ ∞ ∞ |an | hội tụ chuỗi an hội tụ chuỗi ∞ an hội tụ ta nói |an | phân kỳ, ta nói chuỗi an bán hội tụ Tính chất ∞ Nếu chuỗi an hội tụ tuyệt đối chuỗi có cách thay đổi thứ tự số hạng hội tụ tổng chuỗi không thay đổi Ghi Nếu dấu hiệu D’Alembert Cauchy mà chuỗi chuỗi ∞ ∞ an hội tụ (phân kỳ) DeThiMau.vn |an | hội tụ (phân kỳ) Định lí Cho (an )n dãy giảm, an ≥ 0, lim an = Cho (bn )n dãy (không cần n→∞ n dương) Giả sử có số C > cho với n ∈ N, ∞ Khi đó, chuỗi an bn hội tụ tổng S = ∞ 1 bk ≤ C an bn thỏa mãn |S| ≤ Ca1 Thí dụ Xét hội tụ chuỗi ∞ 1 Đặt f : [2, ∞) → R, f (x) = f liên tục, f (x) ≥ f giảm Khi α α n ln n x ln x đó, f (n) = , n ≥ n lnα n ∞ Xét tích phân suy rộng ∞ dx = x lnα x dt (đổi biến t = ln x) tα ln Tích phân hội tụ α > 1, phân kỳ α ≤ Vậy chuỗi ∞ hội tụ α > 1, phân kỳ α ≤ n lnα n 2 ∞ √ ( n a − 1)α với a > √ Đặt an = ( n a − 1)α = e n ln a − Chuỗi ∞ α bn = lnα a an lim =1 α n→∞ bn n lnα a hội tụ α > 1, phân kỳ α ≤ nα Vậy chuỗi cho hội tụ α > 1, phân kỳ α ≤ ∞ ln n − ln sin Đặt an = ln n2/5 n5 − ln sin n2/5  sin  = − ln   n2/5   n2/5 sin t t2 t3 + o(t3 ) nên = − + o(t2 ) t 1 ln(1 + t) an Đặt bn = 4/5 , dùng lim = 1, ta có lim = t→0 n→∞ bn n t Do sin t = t − Do chuỗi ∞ ∞ sin n4/5 phân kỳ nên chuỗi cho phân kỳ 1 − ln + n n DeThiMau.vn Đặt an = sin 1 − ln + n n Dùng khai triển Taylor: t3 t2 sin t = t − + o(t3 ), ln(1 + t) = t − + o(t2 ) 2 t Suy ra: sin t − ln(1 + t) = + o(t2 ) an Đặt bn = , ta có lim =1 n→∞ bn 2n ∞ Do chuỗi hội tụ nên chuỗi cho hội tụ 2n2 ∞ n+1 − ln n n n+1 − ln n n t2 an Do t − ln(1 + t) = + o(t2 ), đặt bn = , ta có: lim =1 n→∞ bn 2n Đặt an = Do chuỗi ∞ hội tụ nên chuỗi cho hội tụ 2n2 ∞ Xét hội tụ chuỗi dương an thỏa điều kiện: √ n an ≤ 1− nα Ta có: < an ≤ 1− nα Xét lim n2 − nα ∀n ≥ n0 , n→∞ Ta có ln n 1− α n với α ∈ (0, 1) n , ∀n ≥ n0 n n = ln n − n ln − ln n α = 0, lim n ln − n→∞ n1−α n→∞ nα Do lim lim n2 − n→∞ nα nα = −1 nên n =0 Dẫn đến lim n2 an = Do chuỗi n→∞ ∞ 1 hội tụ nên n2 (a) Xét hội tụ chuỗi ∞ an hội tụ ∞ an thỏa điều kiện: DeThiMau.vn = n1−α ln n − nα ln − α 1−α n n an+1 ≤ an > 0, an n n+1 (b) Xét hội tụ chuỗi α với α > ∞ un với: un = 1.3 .(2n − 1) 2.4 .2n.(2n + 2) , ta có nα α an+1 n bn+1 ≤ = 1− = an n+1 bn n+1 an a1 an+1 ≤ ≤ ··· ≤ = a1 , ∀n Suy bn+1 bn b1 (a) Đặt bn = Vậy an ≤ a1 bn , ∀n Do α > 1, chuỗi ∞ α , ∀n hội tụ nên chuỗi nα ∞ an hội tụ 2n + un+1 = =1− ≤ 1− (∗) (b) Ta có un 2n + 2(n + 2) n+2 ∞ Tương tự (7a) với bn = ta có chuỗi un hội tụ (n + 1)3/2 Ta chứng minh: với t ∈ [0, 1], α > 1, (1 − t)α ≥ − αt Đặt ϕ(t) = (1 − t)α − (1 − αt), ta có: ϕ′ (t) = −α(1 − t)α−1 + α ≥ Do ϕ(0) = nên ϕ(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0, 1] hay (1 − t)α ≥ − αt Cho α ∈ (0, 2π), s > Xét hội tụ hai chuỗi ∞ ∞ cos nα , ns sin nα ns Trước tiên chứng minh: có M > cho n n cos kα ≤ M, sin kα ≤ M, ∀n Do eikα = cos kα + i sin kα, ∀k ∈ N, ta có: n eikα = − ei(n+1)α (1 − cos(n + 1)α) − i sin(n + 1)α = iα 1−e (1 − cos α) − i sin α = [(1 − cos(n + 1)α) − i sin(n + 1)α][(1 − cos α) + i sin α] (1 − cos α)2 + sin2 α Đồng phần thực ảo n cos kα = [1 − cos(n + 1)α](1 − cos α) + sin α sin(n + 1)α ≤ 2 (1 − cos α) + sin α (1 − cos α)2 + sin2 α DeThiMau.vn n sin kα = [1 − cos(n + 1)α] sin α + (1 − cos α) sin(n + 1)α ≤ 2 (1 − cos α) + sin α (1 − cos α)2 + sin2 α Vậy điều khẳng định chứng minh Do hai chuỗi cho có dạng ∞ an bn với bn = cos nα, bn = sin nα an = 1 , ns (an )n dãy giảm, lim an = có số C ≥ thỏa mãn: n→∞ n n cos kα ≤ C, Vậy chuỗi ∞ cos nα , ns ∞ 1 sin kα ≤ C, ∀n ∞ lnα n ns sin nα hội tụ ns Cho α > 0, s > Xét hội tụ chuỗi đan dấu (−1)n α ln t ts α−1 α ln t Ta có ϕ′ (t) = s+1 (α − s ln t) ≤ ln t ≥ t s α/s Vậy ϕ hàm giảm t ≥ e Xét hàm ϕ(t) = Với n0 ∈ N cho n0 ≥ eα/s , chuỗi đan dấu (−1)n n≥n0 lnα n có dãy ns lnα n lim =0 n→∞ ns Theo dấu hiệu Leibnitz, chuội cho hội tụ Bài tập Tính tổng riêng tổng (nếu có) chuỗi sau (a) (b) (c) ∞ ∞ ∞ 1 −1 HD: an = 4n2 3n2 + 3n + n3 (n + 1)3 arctg n2 +n+1 HD: an = 1 = −1 4n2 1 − 2n − 2n + 1 − n (n + 1)3 HD: arctg a − arctg b = arctg Xét hội tụ chuỗi sau DeThiMau.vn a−b + ab lnα n ns dãy giảm, (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 √ n(n + 1) √ n+1− n−1 n3/4 √ ( n2 + − n)α nα n n+1 n HD: lim n→∞ ln + nα √ ln n n+1 n−1 − cos n =e HD: ln(1 + t) ∼ t nα n4/3 arctg n+1 n HD: − cos t ∼ t2 n2 ln n n3/2 2n + 3n 4n + n2 Dùng tiêu chuẩn tỉ số số xét hội tụ chuỗi (a) (b) (c) (d) ∞ ∞ ∞ ∞ n! 8n n2 1.3.5 .(2n − 1) 22n (n − 1)! 7n (n!)2 n2n n 2n + 3n − 1 2n 1+ n (e) ∞ (f) ∞ n−1 n+1 n n2 n(n−1) Xét hội tụ chuỗi đan dấu: DeThiMau.vn (a) (b) (c) (d) ∞ ∞ ∞ ∞ (e) (f) ∞ ∞ (−1)n n+1 +n+1 n2 nα (−1)n ln + α>0 , 1 (−1)n tg √ sin √ n n (−1)n n + cos √ n √ √ ( n + − n) cos nπ (−1)n+1 HD: cos nπ = (−1)n 1.4.7 .(3n − 2) 3.5.7 .(2n + 1) Xét hội tụ hội tụ tuyệt đối chuỗi (a) (b) (c) (d) ∞ ∞ ∞ ∞ (−1)n+1 (−1)n nα , ln n nα n1/n n (−1) α>0 , n+1 2n2 + cos na , nα α>0 α , α > 0, α>0 a ∈ (0, π) HD (5d) ∞ 1 cos2 na , = nα Với α ≤ 1, chuỗi Suy chuỗi ∞ ∞ ∞ cos 2na + nα phân kỳ, nα ∞ cos 2na hội tụ nα cos na phân kỳ nα Do | cos na| ≥ cos na, ∀n ∈ N nên chuỗi Vậy chuỗi ∞ ∞ | cos na| phân kỳ nα cos na , α ≤ 1, hội tụ không hội tụ tuyệt đối nα DeThiMau.vn Chuỗi hàm số 3.1 Sự hội tụ : Định nghĩa Với n ∈ N, un : I ⊂ R → R, chuỗi hàm tương ứng ký hiệu x ∈ I, có chuỗi số thực ∞ n un Với un (x), x thay đổi I, có vơ số chuỗi số, số có chuỗi số hội tụ chuỗi phân kỳ Đăt D = x ∈ I, ∞ un (x) hội tụ đặt u(x) = ∞ 1 hội tụ chuỗi, ký hiệu : u = ∞ un (x), x ∈ D D gọi miền un Ta nói : – ∞ – ∞ un hội tụ u D ⇔ ∀x ∈ D, ∀ε > 0, ∃k0 : ∀k ≥ k0 =⇒ un hội tụ u D ⇔ ∀ε > 0, ∃k0 ∈ N : ∀k ≥ k0 =⇒ Dấu hiệu Weierstrass: Giả sử : |un (x)| ≤ an , ∀x ∈ D, ∀n ≥ n0 D ∞ un (x) < ε n≥k0 n≥k0 an hội tụ Khi chuỗi un (x) < ε, ∀x ∈ D ∞ un hội tụ Định lí (Weierstrass) 1) Giả sử : ∀n ∈ N, un liên tục D, D ∞ un hội tụ u D Khi u liên tục 2) Giả sử : ∀n ∈ N, un khả vi liên tục [a, b], chuỗi đạo hàm x0 ∈ [a, b] cho chuỗi số ∞ ∞ x Hơn : u′n hội tụ v có un (x0 ) hội tụ ∞ un hội tụ u [a, b] u′n u(t)dt = a 1 Khi có hàm u khả vi liên tục [a, b] cho chuỗi u′ = v = ∞ x ∞ u(t)dt a Chuỗi lũy thừa: Định nghĩa Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng ∞ an (x − x0 )n , x0 tâm chuỗi 10 DeThiMau.vn Định lí Cho chuỗi lũy thừa ∞ √ an+1 an (x − x0 ) Giả sử : lim = ρ lim n |an | = ρ n→∞ n→∞ an n Đặt R = gọi R bán kính hội tụ chuỗi Khi : ρ i Chuỗi ∞ ii Chuỗi ∞ an (x − x0 )n hội tụ hàm u (x0 − R, x0 + R) an (x − x0 )n phân kỳ |x − x0 | > R iii Hàm u khả vi u′ (x) = ∞ x Hơn : ∞ u(t)dt = x0 ∞ nan (x − x0 )n−1 , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R) an (x − x0 )n+1 , ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R) Miền hội tụ chuỗi n+1 an (x − x0 )n (x0 − R, x0 + R) thêm vào điểm đầu x0 − R điểm cuối x0 + R tùy trường hợp Thí dụ : 1) Chuỗi ∞ có miền hội tụ |x| > 1 + x2n 1 Với a > 1, ta có : ≤ , ∀x, |x| ≤ a 2n 1+x + a2n ∞ hội tụ Vậy chuỗi hàm hội a2n tụ miền |x| ≥ a 2) Chuỗi ∞ (−1)n chuỗi hàm đan dấu, có miền hội tụ x > Với a > 1, ε > 0, tính nln x chất chuỗi đan dấu, có k0 ∈ N : k0ln a k0ln a < ε, với k ≥ k0 ta có : n≥k (−1)n ≤ nln x kln a ≤ < ε Vậy chuỗi hội tụ miền x ≥ a 3) Chuỗi ∞ xn , x = 1 + xn Với |x| < 1, có n0 ∈ N cho : ∀n ≥ n0 |x|n < xn n Suy : ≤ 2|x| + xn Vậy miền hội tụ chuỗi (−1, 1) Tuy nhiên chuỗi không hội tụ (−1, 1) Thật xk vậy, với ε = 1, với k ∈ N chọn x ∈ (0, 1) cho: >1 − x2 Khi : xk xn xn = ≤ 1< − x2 n≥k + x n≥k + xn 11 DeThiMau.vn xn an Với < a < 1, ta có : , ∀x, |x| ≤ a, ∀n ∈ N ≤ + xn 1−a ∞ Chuỗi ∞ n a hội tụ Vậy chuỗi xn hội tụ [−a, a] + xn 4) Với s > 0, chuỗi ∞ cos nx , ns ∞ sin nx hội tụ x = k2π, k ∈ Z Thật vậy, với ns k, p ∈ N có số M cho: k+p k dãy ns k+p M , cos nx ≤ − cos x giảm nên chuỗi ∞ cos nx , ns k ∞ S1 = k k ∞ k sin nx ≤ M − cos x sin nx hội tụ, có tổng xs cos nx , S2 = ns ∞ k sin nx ns M M 1 , |S2 | ≤ s s k − cos x k − cos x Với a > ε > bất kỳ, M M ≤ , ∀x ∈ [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a], ∀i ∈ Z, − cos x − cosa M < ε Khi đó, với k ≥ k0 , ta có: chọn k0 ∈ N cho: s k − cos a thỏa mãn: |S1 | ≤ ∞ k Suy ra: chuỗi ∞ Ghi chú: Chuỗi cos nx < ε, ns sin nx , xs ∞ ∞ ∞ k sin nx ε, ∀x ∈ [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a] ns cos nx hội tụ đêu miền [a + 2iπ, 2(i + 1)π − a], i ∈ Z xs sin n2 x hội tụ R chuỗi đạo hàm số hạng n2 không hội tụ Công thức Maclaurin hàm bản: = 1) 1−t ∞ = 2) 1+t ∞ t 3) e = ∞ 0 tn , |t| < (−1)n tn , |t| < tn , ∀t ∈ R n! 12 DeThiMau.vn ∞ cos n2 x 4) sin t = ∞ (−1)n t2n+1 , ∀t ∈ R (2n + 1)! (−1)n t2n , ∀t ∈ R (2n)! 5) cos t = ∞ 6) ln(1 + t) = ∞ tn+1 (−1) , t > −1 n+1 n 7) (1 + t)α = + αt + α(α − 1) (α − n + 1) n α(α − 1) t + + t + , |t| < 2! n! Chuỗi Taylor: Cho hàm f khả vi vô hạn lần lân cận x0 Chuỗi ∞ f (n) (x0 ) (x − x0 )n chuỗi n! Taylor f lân cận x0 Nếu chuỗi Taylor f có bán kính hội tụ R > ∞ f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n , x ∈ (x0 − R, x0 + R) n! Bài Tập Tìm miền hội tụ chuỗi hàm : 1) 2) 3) 4) ∞ ∞ ∞ ∞ nx (−1)n+1 + nx n−1 xnx xn + 2n xn Xét hội tụ chuỗi hàm: 1) 2) 3) 4) ∞ ∞ (−1)n R HD : dùng chuỗi đan dấu x2n + n xn e−nx [0, a] với a > 0 ∞ √ (x2n − x2n+1 ) [0, 1] n 1 , ∀x ∈ [0, 1] HD : ≤ un (x) = √ (x2n − x2n+1 ) ≤ √ n n(2n + 1) ∞ (−1)n x2 R (1 + x2 )n 13 DeThiMau.vn Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa sau : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ xn n (x − 2)n , s > ns (x + 1)n (2n − 1)! xn 3n + 2n √ n (x + 1)n (x − 4)n √ n (−1)n−1 n x n2n n+1 2n + n (x − 2)2n , HD : đặt t = (x − 2)2 (x + 5)2n−1 , HD : xét (x + 5) n2 4n ∞ (x + 5)2n−2 n2 4n (x − 1)n n(ln n)2 ln n (x + 2)n n Tính tổng chuỗi sau : 1) ∞ (−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1) HD: đặt f (x) = ∞ (−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1) Tính tích phân hai vế 2) ∞ n x , x ∈ (−1, 1) n HD: f (x) = ∞ 3) ∞ xn , f (0) = Đạo hàm hai vế n nxn , x ∈ (−1, 1) HD : f (x) = x ∞ nxn−1 = x.S(x) với S(x) = ∞ 1 14 DeThiMau.vn nxn−1 4) ∞ 1+ 3n+1 xn , x ∈ (−1, 1) HD: tách thành tổng hai chuỗi 5) ∞ n(n + 1)xn−2 , x ∈ (−1, 1) HD : đặt S(x) = ∞ n(n + 1)xn−2 , S(0) = 6, xS(x) = ∞ n(n + 1)xn−1 Khai triển Maclaurin hàm số sau : 1) f (x) = sin2 x HD : sin2 x = 12 (1 − cos 2x) x3 + x + x3 − 4x + HD : f (x) = x + − 2) f (x) = 2(x−1) 31 2(x−3) + 3) f (x) = xex , Tính f (19) (0) ∞ ∞ f (k) (0) k x2n+1 = x Đồng hệ số x19 hai vế HD : f (x) = n! k! 0 x , Tính f (17) (0) 4) f (x) = + x4 √ 5) f (x) = + x √ 6) f (x) = ln(x + + x2 ) − 21 HD : f (0), f ′ (x) = (1 + x2 ) , f ′ (x) = α=− x 7) f (x) = sin t dt t 15 DeThiMau.vn x ∞ α(α − 1) (α − n + 1) 2n t dt, với n! ... kỳ ∞ ∞ bn phân kỳ an phân kỳ Tiêu chuẩn tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên tục, f (x) ≥ f giảm Với n ∈ N, đặt an = f (n) Khi đó: ∞ f (x)dx hội tụ ⇔ Chuỗi Tích phân suy rộng ∞ an hội tụ Chuỗi bản:... (x) ≥ f giảm Khi α α n ln n x ln x đó, f (n) = , n ≥ n lnα n ∞ Xét tích phân suy rộng ∞ dx = x lnα x dt (đổi biến t = ln x) tα ln Tích phân hội tụ α > 1, phân kỳ α ≤ Vậy chuỗi ∞ hội tụ α > 1, phân... chuỗi sau : 1) ∞ (−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1) HD: đặt f (x) = ∞ (−1)n 2nx2n−1 , x ∈ (−1, 1) Tính tích phân hai vế 2) ∞ n x , x ∈ (−1, 1) n HD: f (x) = ∞ 3) ∞ xn , f (0) = Đạo hàm hai vế n nxn ,