Giải tích (cơ bản) Bài 17: Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính47165

ĐẠI SỐ CƠ BẢN (ƠN THI THẠC SĨ TỐN HỌC) Bài 17 Giải tập ánh xạ tuyến tính PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng năm 2006 a Cho ánh xạ f : Rn → R, chứng minh f ánh xạ tuyến tính tồn số a1 , a2 , , an ∈ R để f (x1 , x2 , , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + + an xn b Cho ánh xạ f : Rn → Rm Chứng minh f ánh xạ tuyến tính tồn số aij ∈ R để f (x1 , x2 , , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn , , am1 x1 + am2 x2 + + amn xn ) (∗) Giải Ta giải câu b., câu a trường hợp đặc biệt câu b m = Kiểm tra trực tiếp, ta thấy f có dạng (∗) f ánh xạ tuyến tính Ngược lại, f ánh xạ tuyến tính, ta đặt: f (ei ) = (a1i , a2i , , ami ) với i = 1, 2, , n, ei = (0, , 0, 1, 0, , 0) Khi ta có f (x1 , x2 , , xn ) = f (x1 e1 + x2 e2 + + xn en ) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + + xn f (en ) = f (a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn , , am1 x1 + am2 x2 + + amn xn ) Tìm cơng thức ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 biết a f (1, 1, 2) = (1, 0, 0), f (2, 1, 1) = (0, 1, 1), f (2, 2, 3) = (0, −1, 0) b f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1), f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0), f (1, 3, 4) = (1, 0, 2) Giải a Giả sử (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 1, 2) + a2 (2, 1, 1) + a3 (2, 2, 3) (1) Khi f (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 1) + a3 (0, −1, 0) = (a1 , a2 − a3 , a2 ) (2) Do đó, để tính f (x1 , x2 , x3 ), ta cần tính a1 , a2 , a3 qua x1 , x2 , x3 Do công thức (1), a1 , a2 , a3 nghiệm hệ:     2 x1 2 x1  1 x2  −→  −1 −x1 + x2  x3  −3 −1 −2x1 + x3  2 x1  −x1 + x2 −→  −1 0 −1 x1 − 3x2 + x3 DeThiMau.vn Vậy: a3 = −x1 + 3x2 − x3 a2 = x − x a1 = x1 − 2a2 − 2a3 = x1 − 2(x1 − x2 ) − 2(−x1 + 3x2 − x3 ) = x1 − 4x2 + 2x3 Thay vào (2), công thức ánh xạ f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 4x2 + 2x3 , 2x1 − 4x2 + x3 , x1 − x2 ) b Giải tương tự câu a., chi tiết xin dành cho bạn đọc Trong R3 cho sở: u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (u) (v) cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi a Tìm cơng thức f b Tìm ma trận Af /(u) , Af /(u),(v) , Af /(v) , Af /(v),(u) , Af /(ε3 ) Giải a Giả sử (x1 , x2 , x3 ) = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 Khi f (x1 , x2 , x3 ) = = = = (1) f (a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 ) a1 f (u1 ) + a2 f (u2 ) + a3 f (u3 ) a1 (1, −1, 0) + a2 (0, 1, −1) + a3 (1, 0, 1) (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) Vậy f (x1 , x2 , x3 ) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) (2) Ta cần tính a1 , a2 , a3 theo x1 , x2 , x3 , (1), a1 , a2 , a3 nghiệm hệ     1 x1 1 x1   x2  −→  x2 1 x3 0 −x2 + x3 đó: a3 = −x2 + x3 , a2 = x2 , a1 = x1 − a3 = x1 + x2 − x3 Thay vào (2) công thức f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) b • Ma trận Af /(u) Ta có: f (u1 ) = v1 = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 f (u2 ) = v2 = b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 f (u3 ) = v3 = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 Khi Af /(u)   a1 b c =  a2 b c  a3 b c DeThiMau.vn (1) (2) (3) , bi , ci nghiệm phương trình véctơ (1), (2), (3) Mỗi phương trình (1), (2), (3) tương đương với hệ phương trình tuyến tính có ma trận hệ số (chỉ khác cột tự do), đó, ta giải lúc hệ sau:     1 1 1 1  −1  −→  −1  1 0 −1 1 −2 – Hệ 1: a3 = 1, a2 = −1, a1 = − a3 = – Hệ 2: b3 = −2, b2 = 1, b1 = −b3 = – Hệ 3: c3 = 1, c2 = 0, c1 = − c3 = Vậy ma trận    Af /(u) =  −1 −2 • Ma trận Af /(u),(v) Ta có f (u1 ) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 f (u2 ) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3 f (u3 ) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 Vậy ma trận Af /(u),(v)  0 =  0  • Ma trận Af /(v) Áp dụng câu a., ta tính f (v1 ), f (v2 ), f (v3 ), sau làm phần trước Cụ thể: f (v1 ) = (1, −1, 2) = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 f (v2 ) = (0, −1, −3) = b1 v1 + b2 v2 + b3 v3 f (v3 ) = (1, 0, 1) = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 , bi , ci nghiệm hệ sau:     1 1 1 1  −1 −1 −1  −→  1 −1  −1 −3  −1 −3 1 1 1 −→  1 −1  0 2 −4 – Hệ 1: a3 = 1, a2 = −a3 = −1, a1 = − a3 = – Hệ 2: b3 = −2, b2 = −1 − b3 = 1, b1 = −b3 = – Hệ 3: c3 = 1, c2 = − c3 = 0, c1 = − c3 = Vậy    Af /(v) =  −1 −2 DeThiMau.vn • Ma trận Af /(v),(u) làm tương tự • Ma trận Af /(ε3 ) theo câu a., công thức f f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) ta có ngay:  0  =  −1 −2  Af /(ε3 ) Cho ánh xạ tuyến tính θ : Rn [x] −→ Rn [x] p(x) −→ p′ (x) Tìm ma trận θ sở: a uo = 1, u1 = x, u2 = x2 , , un = xn b vo = 1, v1 = x − a, v2 = Giải a Ta có (x−a)2 , , 2! = (x−a)n n! θ(uo ) = = 0uo + 0u1 + + 0un θ(u1 ) = = 1uo + 0u1 + + 0un θ(u2 ) = 2x = 0uo + 2u1 + + 0un θ(uk ) = kxk−1 = 0uo + 0u1 + + kuk−1 + + 0un θ(un ) = nxn−1 = 0uo + 0u1 + + nun−1 + 0un Vậy  Af /(u)       =       0 0 0 k 0 0 0              n  b Lời giải tương tự câu a., chi tiết xin dành cho bạn đọc Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 − x3 + x4 ) Tìm sở, số chiều Ker f, Im f DeThiMau.vn Giải • (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Ker f ⇔ f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0, ⇔ (x1 , x2 , x3 , x4 ) nghiệm hệ   x1 − x2 + x3 = 2x1 + x4 = (1)  2x2 + x3 + x4 = Do đó, Ker f không gian nghiệm hệ (1) hệ nghiệm hệ (1) sở Ker f Để giải hệ (1), ta biến đổi ma trận hệ số mở rộng:     −1 0 −1 0  0  −→  −2  1 1   −1 0  −2  −→ 0 0 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x4 Ta có x3 = x2 = 21 (2x3 − x4 ) = − 12 x4 x1 = x2 − x3 = x2 = − 12 x4 Vậy nghiệm tổng quát hệ là:  x1    x2 x3    x4 = −a = −a =0 = 2a hệ nghiệm α1 = (−1, −1, 0, 2), đó, dim Ker f = 1, sở Ker f α1 = (−1, −1, 0, 2) • Để tìm sở Im f , ta tìm ảnh sở tắc R4 Ta có: f (e1 ) = (1, 2, 0), f (e2 ) = (−1, 0, 2), f (e3 ) = (1, 0, −1), f (e4 ) = (0, 1, 1) Im f = f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) Hệ ĐLTT tối đại   −1   f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) sở    2  2     −→   −2 −1  −1  1  1   1   −→   −2 −1  2  1  1   −→   0  0 Vậy sở Im f f (e1 ), f (e4 ), f (e3 ) dim f = DeThiMau.vn Im f Ta có 4 Tìm vectơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận sau:   1 (a)  0  1   −1 −2  (b)  −1 −2     (c)   0  0 0   (d)   0 0  0    −1   (e)   0  0 −2 Giải b) Tìm đa thức đặc trưng: PA (λ) = − λ −1 −1 − λ −2 −2 − λ = (5 − λ)(2 − λ)2 + + − (2 − λ) − 4(5 − λ) − (2 − λ) = −λ3 + 9λ2 − 18λ PA (λ) = ⇔ λ = 0, λ = 3, λ = Vậy A có giá trị riêng λ = 0, λ = 3, λ = • Vectơ riêng ứng  −1  −1 −2 −2 với giá trị riêng λ = −1 −2   −1 −→ −2 các vectơ nghiệm khác khôngcủa hệ: −1 −2   −→ −11 11  0 0 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x3 Ta có: x3 = a, x2 = a, x1 = Nghiệm hệ tất vectơ dạng (0, a, a), a ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = vectơ có dạng (0, a, a), a = 0, dim V0 = Cơ sở V0 α1 = (0, 1, 1) • Vectơ   −1  riêng ứng với giá trị riêng −1   −1 −2 −→ −1 −2 −1  −2 −1  −→ −3 −3  0 0 λ = −2 −1 −1 −2 −1 các vectơ nghiệm khác không  hệ: −2 −1 0  −→  −3 −3  3 0 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x3 DeThiMau.vn Ta có: x3 = b, x2 = −b, x1 = 2x2 + x3 = −b Nghiệm hệ tất vectơ dạng (−b, −b, b), b ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = vectơ có dạng (−b, −b, b), b = 0, dim V3 = Cơ sở V3 α2 = (−1, −1, 1) • Vectơ  −1  −1 riêng ứng −1 −4 −2 −2 −4 với giá trị riêng −1 0  −→  0 λ = −1 −3 −3 −3 −3 các vectơ nghiệm khác không hệ: −1 −1 0  −→  −3 −3  0 0 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x3 Ta có: x3 = c, x2 = −c, x1 = −x2 + x3 = 2c Nghiệm hệ tất vectơ dạng (2c, −c, c), c ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = vectơ có dạng (2c, −c, c), c = 0, dim V6 = Cơ sở V0 α3 = (2, −1, 1) Chéo hóa Tổng hợp trường hợp ta thấy ma trận A có vectơ riêng độc lập tuyến tính Do A chéo hóa Ma trận T cần tìm là:   −1 T =  −1 −1  1  0 T −1 AT =   0  ma trận chéo d) Tìm đa thức đặc trưng PA (λ) = 1−λ 0 0 −λ 0 0 −λ 0 1−λ = λ2 (1 − λ)2 PA (λ) = ⇔ λ = 0, λ = Vậy ma trận A có giá trị riêng λ = 0, λ = • Vectơ riêng ứng với   giá trị ∗riêng λ 0 0 0  0 0   0     0 0  −→  0 0 0 0 = các vectơ nghiệm khác không hệ: 0 ∗   0  0 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc hai tham số x2 , x3 Ta có: x2 = a, x3 = b, x4 = 0, x1 = Nghiệm hệ tất vectơ dạng (0, a, b, 0), a, b ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = vectơ có dạng (0, a, b, 0), a2 + b2 = 0, dim V0 = Cơ sở V0 α1 = (0, 1, 0, 0), α2 = (0, 0, 1, 0) DeThiMau.vn • Vectơ riêng ứng với giá nghiệm khác không hệ:   trị riêng λ = vectơ  0 0 0 0   −1  −1 0 0  0   −→     0 −1 0  −1 0  0 0 0 0 Hệ có vơ số nghiệm phụ thuộc tham số x4 Ta có: x4 = c, x3 = 0, x2 = 0, x1 = Nghiệm hệ tất vectơ dạng (0, 0, 0, c), c ∈ R Do đó, vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = vectơ có dạng (0, 0, 0, c), c = 0, dim V1 = Cơ sở V1 α3 = (0, 0, 0, 1) Chéo hóa Tổng hợp trường hợp ta thấy ma trận A có vectơ riêng độc lập tuyến tính A ma trận cấp nên A khơng chéo hóa Trong R3 cho sở: u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi: f (u1 ) = (0, 5, 3) f (u2 ) = (2, 4, 3) f (u3 ) = (0, 3, 2) Tìm sở để ma trận f sở ma trận chéo Giải Đầu tiên ta tìm ma trận f sở R3 Vì èề cho f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ) nên dễ tìm ma trận f sở (u) Bạn đọc dễ dàng tìm được:   1 Af /(u) =  1  1 Bước tiếp theo, ta tìm giá trị riêng vectơ riêng giá trị riêng vectơ riêng f   Các giá trị riêng, vectơ riêng ma trận A = 1 Kết tóm tắt sau: ma trận A = Af /(u) Từ tìm  1 , ta tìm phần lý thuyết • A có hai giá trị riêng λ = −1 λ = • Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = −1 vectơ (−a − b, a, b), a2 + b2 = Trường hợp A có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1) • Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = vectơ (c, c, 0), c = Trường hợp A có vectơ riêng độc lập tuyến tính α3 = (1, 1, 1) Từ suy ra: • f có hai giá trị riêng λ = −1 λ = • Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = −1 vectơ dạng (−a − b)u1 + au2 + bu3 = (−2a, a + 2b, b), a2 + b2 = Trường hợp f có hai vectơ riêng độc lập tuyến tính là: β1 = −1.u1 + 1.u2 + 0.u3 = (−2, 1, 0) β2 = −1.u1 + 0.u2 + 1.u3 = (0, 2, 1) DeThiMau.vn • Các vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ = vectơ dạng c.u1 + c.u2 + c.u3 = (c, 6c, 4c), c = Trường hợp f có vectơ riêng độc lập tuyến tính là: β3 = 1.u1 + 1.1.u2 + 1.u3 = (1, 6, 4) Kết luận Vì f phép biến đổi tuyến tính R3 (dim R3 = 3) f có vectơ riêng độc lập tuyến tính β1 , β2 , β3 nên β1 , β2 , β3 (β) sở R3 cần tìm ta có:   −1 0 Af /(β) =  −1  0 Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : V → V thỏa mãn ϕ2 = ϕ Chứng minh: (a) Im ϕ + Ker ϕ = V (b) Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} Giải a) Tất nhiên Im ϕ + Ker ϕ ⊂ V , ta cần chứng minh: V ⊂ Im ϕ + Ker ϕ Với α ∈ V , ta có: α = ϕ(α) + (α − ϕ(α)) Tất nhiên ϕ(α) ∈ Im ϕ, ϕ(α − ϕ(α)) = ϕ(α) − ϕ2 (α) = ϕ(α) − ϕ(α) = Do đó, α − ϕ(α) ∈ Ker ϕ ⇒ α ∈ Im ϕ + Ker ϕ, Im ϕ + Ker ϕ = V b) Giả sử β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ Khi tồn α ∈ V để ϕ(α) = β Theo giả thiết ϕ2 = ϕ nên ta có: β = ϕ(α) = ϕ2 (α) = ϕ(ϕ(α)) = ϕ(β) = (vì β ∈ Ker ϕ) Vậy β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ β = Do đó, Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} Cho f : V → V ánh xạ tuyến tính, L không gian vectơ V Chứng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L (b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f Giải Để giải tập tập 10, ta cần nhớ kết sau (đã chứng minh phần lý thuyết): Nếu ϕ : V → U ánh xạ tuyến tính ta có: dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V a) Xét ánh xạ f¯ : L → V , f¯ = f |L , tức f¯(α) = f (α) với α ∈ L Ta có Im f¯ = f¯(L) = f (L), Ker f¯ = L ∩ Ker f Áp dụng kết với ϕ = f¯, ta có: dim Im f¯ + dim Ker f¯ = dim L Do đó, dim f (L) = dim Im f¯ ≤ dim L dim f (L) = dim L − dim Ker f¯ ≥ dim L − dim Ker f b) Đặt L′ = f −1 (L) Khi f (L′ ) = L Áp dụng a) với không gian vectơ L′ , ta có: dim L′ − dim Ker f ≤ dim f (L′ ) ≤ dim L′ tức dim f −1 (L) − dim Ker f ≤ dim L ≤ dim f −1 (L) DeThiMau.vn Do đó: dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f 10 Cho ϕ : V → W , ψ : W → U ánh xạ tuyến tính Chứng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank kϕ + rank − dim W Giải a) Áp dụng câu a) cho ánh xạ tuyến tính ψ : W → U với L = Im ϕ = ϕ(V ) ⊂ W , ta có: dim ϕ(V ) ≥ dim ψ(ϕ(V )) = dim(ψϕ)(V ) = dim Im(ψϕ) Vậy ta có: rank(ψϕ) ≤ rank ϕ (1) Mặt khác, ta có: ϕ(V ) ⊂ W nên ψ(ϕ(V )) ⊂ ψ(W ), dim ψϕ(V ) ≤ dim ψ(W ), tức là: rank ψϕ ≤ rank ψ (2) Từ (1) (2) ta có điều cần chứng minh ¯ b) Xét ánh xạ ψ¯ : Im ϕ → U , ψ¯ = ψ|Im ϕ , tức ψ(α) = ψ(α) với α ∈ Im ϕ ¯ ¯ ¯ Khi đó, Ker ψ = Ker ψ ∩ Im ϕ Im ψ = ψ(Im ϕ) = ψ(Im ϕ) = (ψϕ)(V ) = Im ψϕ, tức là: dim Im(ψϕ) + dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) = dim Im ϕ Do vậy, rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) c) Ta có: dim Ker ψ + dim Im ψ = dim W nên dim Ker ψ = dim W − rank ψ Bởi vậy, theo câu b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) ≥ rank ϕ − dim Ker ψ = rank ϕ − (dim W − rank ψ) = rank ϕ + rank ψ − dim W 1 Đánh máy: LÂM HỮU PHƯỚC, TRẦN ĐỨC THUẬN Ngày: 09/03/2006 10 DeThiMau.vn ... {0} Cho f : V → V ánh xạ tuyến tính, L khơng gian vectơ V Chứng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L (b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f Giải Để giải tập tập 10, ta cần nhớ... W → U ánh xạ tuyến tính Chứng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank kϕ + rank − dim W Giải a) Áp dụng câu a) cho ánh xạ tuyến. .. ta cần nhớ kết sau (đã chứng minh phần lý thuyết): Nếu ϕ : V → U ánh xạ tuyến tính ta có: dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V a) Xét ánh xạ f¯ : L → V , f¯ = f |L , tức f¯(α) = f (α) với α ∈ L Ta có Im