Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thị Xã Séc ĐỀ THI OLYMPIC ĐBSCL Môn: TOÁN – Khối 12 Bài 1: Cho số nguyên n > số thực p > Tìm giá trị lớn của: n 1 xi xi 1 xi chạy khắp giá trị thực không âm cho i 1 n x i 1 i p Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc oxy cho n véctơ : OA1 , OA2 ,, OAn , thoûa OA1 OA2 OAn Chứng minh chọn k véctơ có tính chất : OAi OAi OAi k Bài 3: Dãy số (un ) , (n =1, 2, 3, ) xác định un (1) k 1 , với n=1, 2, 3, k k 1 n Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn Bài 4: Giải phương trình sau : T 4T 6T 4T Bài 5: Cho tam giác ABC, O điểm tùy ý tam giác Đặt : OA = x; OB = y; OC = z Goïi u, v, w tương ứng đường phân giác góc BOC, COA, AOB củøa tam giác BOC, COA, AOB Chứng minh : x y z 2(u v w) DeThiMau.vn Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thị Xã Séc ĐÁP ÁN Bài 1: Đặt : S = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn ; p = x1 + x2 + … + xn Giả sử : xk = Max { x1, x2 , … , xn} S = n 1 xi xi1 = i 1 k xi xi 1 + n 1 k 1 n 1 i k i 1 i k xi xi 1 xk xi + xk xi 1 xk(p – xk) i 1 p2 ,(Côsi) p2 xk = xk+1 = p/2 xi = 0, i = 1,…n, i k vaø i k + Vaäy : Max S = Bài 2: Gọi (xi,yi) tọa độ véctơ OAi , i = 1,…,n Ta coù: OAi xi2 y i2 xi y i , (1) Daáu ‘’=’’ xaõy xi = hay yi = n n i 1 i 1 Từ gthiết ta coù: OA1 OA2 OAn xi y i n n i 1 i 1 xi y i x x xi Theo nguyeân lý Đirichlê tồn i xi x xi i i yi yi yi yi Goïi OAi1 , OAi , , OAik véctơ có hoành độ xi1, xi2, …, xik > Ta coù: OAi1 OAi OAik xi1 xi xik 2 yi1 yi yik 2 xi1 xik x xi Baøi 3: 2m k Ta vieát : u2 m k m k 2m m = 2k k k k k m k Mặt khác, ta có nhận xét : với x (0,1) ln( x 1) x 1 k m ln(1 x) , (1) Thaät vaäy: x x f '( x) 1 x 1 x nghịch biến (0,1) f ( x) f (0) x + Xeùt g ( x) ln(1 x) x g '( x) 1 x x nghịch biến (0,1) g ( x) g (0) + Xeùt f ( x) ln( x 1) Từ (2) (3) suy (1) chứng minh DeThiMau.vn 0, x (0,1) , suy f(x) ln( x 1) x , (2) 0, x (0,1) , suy g(x) x ln(1 x) , (3) i Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thị Xã Séc p dụng (1) với x m2 ) m m 1 k m , ( k = 1, 2, 3, ) , ta : m ) ln(m 2) ln(m 1) ln(m 1) ln m m m 1 3) ln(m 2) ln(m 2) ln(m 1) Tương tự: ln(m m2 ln(m 4) ln(m 3) ln(m 3) ln(m 2) m3 ln( ln( ln(2m 1) ln(2m) ln(2m 1) ln(m 1) 2m m ln(2m) ln(2m 1) k m ln(2m) ln m k 1 ln(2 ) u2 m m 1 ln lim u2 m ln m neân lim u2 m 1 lim u2 m m m 2m Mặt khác u2 m 1 u2 m Suy lim un ln n Vaäy : lim un ln , n (n=1, 2, 3, ) Bài 4: Phương trình 4T (1 T ) T 6T (*) Nhận thấy phương trình (*) không nhận T 2 hay T 1 làm nghiệm 4T (1 T ) 1 T Do dó nê n (**) (*) T 6T T 6T Đặt T tg , ; \ arctg 2 , 4 2 2tg 2. tg 2 4tg (1 tg ) 2tg 2 1 (**) 1 1 2 tg 2 tg 6tg 2tg tg tg 4 4 k , (k Z ) 16 k , (k Z ) So điều kiện : ; , suy k k 16 4 2 Vì k Z neân suy k 2,1,0,1 7 7 Nếu k 2 T tg tg 16 16 3 5 Tương tự : k 1,0,1 T tg , tg , tg 16 16 16 DeThiMau.vn Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thị Xã Séc 3 5 7 , tg , tg , tg Vậy nghiệm phương trình laø tg 16 16 16 16 Baøi 5: Đầu tiên , ta chứng minh bổ đề sau: q2 r “ Nếu p, q, r , ta có: p Thật : p q r 2 2 qr cos pr cos cos2 p sin sin r p cos q cos 2 + p sin q sin q cos r p cos p q 2 r 2 pq cos q cos2 2 qr cos pr cos r2 2qr cos pq cos( q cos pq cos , (đpcm) Trở lại toán đầu : Đặt : AOB = 2 ; AOC = 2 ; BOC = 2 + + = Theo coâng thức tính đường phân giác tam giác , ta coù : yz cos xz cos xy cos u ,v ,w y z x z x y Áp dụng bổ đề với p x , q y,r z ta coù : u( y z) v( x z ) w( x y ) x y z yz xz xy yz xz xy y z x y z x Hay x y z u v w xy xz yz ( theo baát đẳng thức Cauchy ) DeThiMau.vn ” ) pr cos 2r ( p cos ) 2r ( q cos ) 2( p cos )( q cos ) p sin 2( p sin )( q sin ) qr cos pr cos pq cos 2(u v w) , (ñpcm) + ... 16 DeThiMau.vn Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thị Xã Séc 3 5 7 , tg , tg , tg Vậy nghiệm phương trình tg 16 16 16 16 Bài 5: Đầu tiên , ta chứng minh bổ đề sau:... ln( x 1) Từ (2) (3) suy (1) chứng minh DeThiMau.vn 0, x (0,1) , suy f(x) ln( x 1) x , (2) 0, x (0,1) , suy g(x) x ln(1 x) , (3) i Sở Giáo Dục & Đào Tạo Đồng Tháp Trường THPT Thị Xã Séc p dụng... toán đầu : Đặt : AOB = 2 ; AOC = 2 ; BOC = 2 + + = Theo công thức tính đường phân giác tam giác , ta coù : yz cos xz cos xy cos u ,v ,w y z x z x y Áp dụng bổ đề