TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN-CAO HỌC KHÓA 14 TIỂU LUẬN Đề tài: SỬ DỤNG CHIẾN LƯỢC “THIẾT LẬP BẢNG DỮ LIỆU MỘT CÁCH CÓ HỆ THỐNG” ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ HIỆU QUẢ VÀ TỐI ƯU Giảng viê
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN-CAO HỌC KHÓA 14
TIỂU LUẬN
Đề tài:
SỬ DỤNG CHIẾN LƯỢC
“THIẾT LẬP BẢNG DỮ LIỆU MỘT CÁCH CÓ HỆ THỐNG”
ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ HIỆU QUẢ VÀ TỐI ƯU
Giảng viên hướng dẫn: TS Trần Vui Học viên thực hiện: Nguyễn Đăng Minh Phúc
Trang 2LỜI NÓI ĐẦU
Người ta nói rằng, giáo dục cần phải trang bị cho học sinh những điều cần
thiết sau: tri thức, trí tuệ, kỹ năng, phẩm chất đạo đức, ứng phó tình huống mới Trong các nhiệm vụ này, trang bị trí tuệ đóng vai trò quan trọng hơn cả, bởi vì tri
thức thì phát triển không ngừng, không ai có thể học hết được nên chỉ trang bị những gì cơ bản và cần thiết nhất; kỹ năng cũng có mức độ vì học sinh còn có thể vào nhiều ngành nghề khác nhau; phẩm chất đạo đức là nhiệm vụ chung của xã hội; tình huống mới thì xuất hiện hằng ngày, hàng giờ Như vậy việc trang bị trí tuệ hay là tư duy (cách nghĩ, cách giải quyết vấn đề) là quan trọng nhất
Đứng trước một vấn đề chúng ta cần phải định hướng, thâm nhập, hiểu vấn đề; tìm ra được một “chiến lược” phù hợp để giải quyết nó sao cho hiệu quả và tối
ưu nhất Nhà giáo dục sẽ trang bị cho học sinh những chiến lược giải quyết vấn đề, để rồi tùy tình huống cụ thể mà học sinh vận dụng một cách hợp lý nhất Có nhiều chiến lược để giải quyết vấn đề như: “làm ngược”, “sử dụng hình vẽ”, “nhìn vấn đề theo một cách khác”, “giải quyết một vấn đề tương tự đơn giản hơn” “Thiết lập bảng dữ liệu một cách có hệ thống” cũng là một chiến lược hiệu quả khi ta phải đối mặt với một vấn đề có nhiều dữ liệu khá “hỗn loạn”, chưa tìm thấy mối quan hệ giữa chúng, chưa nắm được tất cả các trường hợp có thể xảy ra, chưa tìm ra được quy luật Chiến lược này có lẽ dễ áp dụng vì nó không quá trừu tượng, và nhiều khi tỏ
ra hiệu quả hơn rất nhiều so với các cách giải quyết khác
Trong khuôn khổ tiểu luận, tôi trình bày một số tình huống thực tiễn mà chúng ta đã từng dùng chiến lược này, sau đó là các ví dụ (vấn đề) trong toán học sử dụng chiến lược đó để giải quyết Tiểu luận cũng sử dụng phần mềm “The Geometer’s Sketchpad” (GSP) nhằm mục đích minh họa cho giải quyết vấn đề, cũng như là một công cụ đắc lực để giải quyết vấn đề Kèm theo với tiểu luận là đĩa CD chứa phần mềm The Geometer’s Sketchpad và một số file chứa các vấn đề trình bày trong tiểu luận
Chân thành cám ơn thầy giáo TS Trần Vui đã giúp đỡ rất nhiều về định hướng đề tài, tài liệu, nhận xét; cám ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành tiểu luận này
Huế, tháng 11 năm 2006
Học viên Nguyễn Đăng Minh Phúc
Trang 3CHIẾN LƯỢC “THIẾT LẬP BẢNG DỮ LIỆU MỘT CÁCH CÓ HỆ THỐNG” TRONG CÁC TÌNH HUỐNG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ HẰNG NGÀY
Trong cuộc sống hằng ngày chúng ta đã từng sử dụng chiến lược này để giải quyết các vấn đề gặp phải Chẳng hạn người ta mời chúng ta đến dạy ở một thành phố cách nơi chúng ta 650 km Để đi đến đó, chúng ta cần chọn ra phương tiện tốt nhất (theo nghĩa phù hợp với chúng ta) trong số danh sách các phương tiện có thể (như là tàu hỏa, máy bay, xe khách, xe máy ) và rồi chọn một thứ hiệu quả nhất dựa trên các tiêu chí đặt ra (như giá cả, tiện lợi, thời gian ) Hoặc khi ta phải đối mặt cùng một lúc nhiều vấn đề, chúng ta có thể sắp xếp chúng theo thời gian, độ quan trọng, độ khó để rồi thực hiện dần dần Hằng ngày chúng ta cần sắp xếp lịch làm việc, bố trí nhà cửa phù hợp với thẩm mĩ và tiện dụng Công việc, vấn đề có được giải quyết hiệu quả, tối ưu hay không phụ thuộc vào cách thiết lập bảng dữ liệu có hệ thống hay không
ÁP DỤNG CHIẾN LƯỢC
“THIẾT LẬP BẢNG DỮ LIỆU MỘT CÁCH CÓ HỆ THỐNG”
TRONG VIỆC GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ TOÁN HỌC
Vấn đề 1:
Tìm số trung vị của nhóm 15 số sau:
72, 43, 98, 57, 87, 89, 67, 23, 56, 89, 91, 88, 72, 75, 66
Giải:
Cách sắp xếp 15 số như trên thật khó tìm ra được số trung vị, chúng ta sẽ sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần (hoặc giảm dần) như sau:
23, 43, 56, 57, 66, 67, 72, 72, 75, 87, 88, 88, 89, 91, 98
Vậy số trung vị sẽ là 72
Sử dụng phần mềm GSP, chúng ta cần xây dựng một công cụ (tool) để sắp xếp một dãy số theo thứ tự tăng dần Cơ bản là cần phải so sánh được hai số với nhau Công cụ đầu tiên sẽ giải quyết vấn đề: cho hai số bất kì, tạo hai số mới, giá trị một số là số nhỏ hơn và giá trị số kia là số lớn hơn
Giả sử hai số ban đầu là a và b Ta tính tạo hai số mới “Max” và “Min”: Max = {sgn[sgn(a - b) + 1]}*a+ {1- sgn[sgn(a - b) + 1]}*b
Min = {1- sgn[sgn(a - b) + 1]}*a + {sgn[sgn(a - b) + 1]}*b
Một cách khác:
Max = [abs(a - b) + a + b]/2 Min = [-abs(a - b) + a + b]/2 Vào Custom tool để tạo một công cụ mới để so sánh hai số
Hình vẽ sau minh họa hai cách tính trên trong GSP:
Trang 4Với n số, ta xây dựng công cụ sắp thứ tự chúng Trước hết ta sắp thứ tự (n - 1) số, số thứ n ta so sánh lần lượt với (n - 1) số vừa sắp xếp (thuật toán “nổi bọt”) Chẳng hạn, với 3 số a, b,c ta so sánh a, b với một trong hai cách nêu trên (ta được Max, Min), với c, ta so sánh nó với Min (được Max’, Min’) rồi lấy Max’ so sánh với Max(được Max’’, Min’’) Như vậy thứ tự của 3 số cần sắp xếp sẽ là : Max’’, Min’’, Min’
Từ đây ta xây dựng được công cụ sắp xếp 3 số, kèm theo đó là công cụ “nổi bọt” của một số (c) so với hai số (Max và Min) Tiếp tục quá trình theo quy nạp, ta sắp xếp được n số dựa vào việc sắp xếp (n - 1) số
Vấn đề 2:
Thả 4 đồng xu 2 mặt (sấp - ngửa) xuống mặt bàn rồi quan sát Xác suất để có
ít nhất hai mặt cùng ngửa là bao nhiêu ?
Giải:
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp tính xác suất để giải bài toán này Tuy nhiên “dữ liệu” của bài toán là khá nhỏ nên có thể liệt kê ra tất cả các trường hợp có thể một cách có hệ thống, sau đó ta đánh dấu vào các trường hợp thõa mãn điều kiện đề bài Toàn bộ các trường hợp có thể xảy ra được liệt kê ở bảng sau (với S là sấp, N là ngửa và dòng thứ i) có i S):
0) NNNN
1) NNNS NNSN NSNN SNNN
2) NNSS NSSN SSNN SNSN NSNS SNNS
3) NSSS SSSN SSNS SNSS
4) SSSS
Có 11 trường hợp thỏa mãn đề bài trong 16 trường hợp Vậy xác suất là 11/16
Sử dụng phần mềm GSP, với hàm random() (hàm ngẫu nhiên) ta có thể giải bài toán này với cách tính xác suất theo thống kê Ta tính số lần gieo đồng xu, tính số lần thành công rồi tính tỉ số giữa chúng Tỉ số này khi số lần gieo lớn sẽ tiến tới
Trang 5Vấn đề 3:
Tom mời 17 người bạn của mình đến nhà để dự dạ tiệc Cậu ta đưa mỗi vị khách một tấm card viết một con số từ 2 đến 18, giữ tấm card số 1 cho mình Khi cậu ta xếp 18 người thành từng cặp, cậu ta nói rằng mỗi cặp sẽ có một cặp số trên card mà tổng là một số chính phương Hỏi Tom cùng cặp với ai ?
Giải:
Phương pháp truyền thống để giải là ước chừng Học sinh có thể viết tất cả các số từ 1 đến 18 rồi nối chúng lại cho đến khi điều kiện của bài toán được thõa mãn Phương pháp này có dẫn đến thành công hay không ? Có lẽ là có Tuy nhiên, sẽ tốn nhiều thời gian
Thay vào đó, chúng ta hãy sắp xếp các trường hợp có thể một cách có hệ thống Chúng ta sẽ đếm tất cả các trường hợp và lập một bảng gồm tất cả các cặp có thể từ 1 đến 18, sao cho tổng của mỗi cặp là một số chính phương:
1&3, 1&8, 1&15 10&6, 10&15 2&7, 2&14 11&5, 11&14 3&1, 3&6, 3&13 12&4, 12&13 4&5, 4&12 13&3, 13&12 5&4, 5&11 14&2, 14&11 6&3, 6&10 15&1, 15&10 7&2, 7&9, 7&18 16&9
8&1, 8&17 17&8 9&7, 9&16 18&7 Chú ý rằng có 3 cặp đã được xác định (16&9, 17&8, 18&7) bởi vì 16, 17, 18 không thể kết hợp với những số khác để được một số chính phương Loại bỏ một trong hai trường hợp giống nhau (như 1&3, 3&1) và các trường hợp có chứa sáu số
16, 17, 18, 9, 8, 7 ở trên ta được:
Trang 63&1, 3&6, 3&13 12&4, 12&13 4&5, 4&12 13&3, 13&12
7&2, 7&9, 7&18 16&9
Từ dòng 2 cột bên trái ta được 2&14, từ dòng 5 cột trái và dòng 2 cột phải ta được 5&11 Từ dòng 4 cột trái ta được 4&12 Như thế 3&13, 6&10, 1&15 sẽ là các cặp tiếp còn lại Vậy Tom sẽ cùng cặp với người có số 15
Vấn đề 4:
Cho một đa giác 12 mặt đều nội tiếp trong đường tròn đơn vị Một điểm P nằm trên đường tròn Tìm tổng tất cả các khoảng cách từ P đến mỗi đỉnh của đa giác
Giải:
Ban đầu học sinh có thể nhận xét rằng, mỗi cung là 300
rồi thử tính khoảng cách từ điểm P đến 2 đỉnh gần nhau
Nhưng do điểm P nằm bất kỳ trên đường tròn nên học sinh trở
nên lúng túng Chúng ta sẽ giải quyết vấn đề bằng chiến lược
“thiết lập bảng dữ liệu một cách có hệ thống” Dữ liệu ở đây
chính là các khoảng cách từ điểm P đến các đỉnh của đa giác
Vì đa giác là đều và có 12 đỉnh nên mỗi đỉnh sẽ có đỉnh đối
diện và chúng cùng thẳng hàng với tâm của đường tròn Ta xét đỉnh A và đỉnh đối diện là đỉnh G Lúc đó PAG là vuông tại P do AG là đường kính Theo định lý Pitago, PA2 + PG2 = AG2 = 22 = 4 Làm tương tự cho các cặp đỉnh khác Do có 6 cặp đỉnh nên tổng các khoảng cách là 6.4 = 24 Vậy đáp số là 24
Vấn đề 5:
Các hệ số của phương trình bậc hai x2 + bx + c = 0 được xác định bởi tung một con xúc sắc 6 mặt cân đối 2 lần Lần thứ nhất là b và lần thứ hai là c Tính xác suất để phương trình có nghiệm thực
Giải:
Vì mỗi con xúc sắc có 6 mặt nên có 6.6 = 36 cặp số (b, c) Chúng ta sẽ “sắp xếp dữ liệu” (36 trường hợp) “một cách có hệ thống” để tìm ra các cặp phù hợp Cụ thể, ta sắp như sau:
Trang 7Để phương trình có nghiệm thực thì b2 - 4c 0 Như thế cột thứ nhất không thỏa mãn Cột thứ hai chỉ có cặp (2,1) thỏa mãn, cột thứ ba có cặp (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) không thỏa mãn Cột thứ tư có cặp (4,5), (4,6) không thỏa mãn Có 19 cặp thỏa mãn nên xác suất là 19/36
Vấn đề 6:
Với một con súc sắc chuẩn, tổng của hai mặt đối diện là 7 Hỏi có bao nhiêu tổng khác nhau của các chấm trên 3 mặt kề nhau của súc sắc ?
Giải:
Hầu hết học sinh sẽ vẽ (hoặc tìm) một con súc sắc chuẩn rồi đếm một cách có hệ thống các chấm trên 3 mặt kề nhau để tìm ra câu trả lời Một cách khác là liệt
kê tất cả các tổng có thể của bất kỳ 3 mặt kề nhau nào mà không cần biết chúng có kề nhau hay không
Chúng ta sẽ “thiết lập bảng dữ liệu một cách có hệ thống”
Do tổng của hai mặt đối diện là 7 nên chúng sẽ là các cặp (1,6),
(2,5) và (3,4) Xét 3 mặt kề nhau bất kỳ, lúc đó chúng sẽ có cùng
chung đỉnh Vì súc sắc có 8 đỉnh nên sẽ có 8 bộ gồm 3 mặt kề
nhau Chúng ta sẽ tính tổng của từng bộ một Để chắc chắn xét đủ
tất cả các trường hợp, ta đánh dấu từng đỉnh một khi chúng đã xét xong:
{1,2,3}, tổng = 6 {1,5,3}, tổng = 9 {6,2,3}, tổng = 11 {1,2,4}, tổng = 7 {1,5,4}, tổng = 10 {6,2,4}, tổng = 12 {6,5,3}, tổng = 14 {6,5,4}, tổng = 15
Vậy ta có 8 tổng khác nhau
(Có thể xem thêm file “SucSac.gsp” trong đĩa CD kèm theo tiểu luận này)
Vấn đề 7:
Bốn cặp vợ chồng cùng đi picnic Tên của 4 người vợ là Hương, Lan, Nguyệt, Thảo, tên 4 người chồng là Huy, Sơn, Tuấn, Vũ Ai cưới ai ? Hãy sử dụng các manh mối sau để xác định
(a) Huy là anh trai của Thảo
(b) Thảo và Tuấn đã một lần đính hôn, nhưng đã “tan vỡ” khi Thảo gặp người chồng hiện tại của cô bây giờ
(c) Nguyệt có một người chị, nhưng chồng chị ấy chỉ là một đứa trẻ
(d) Hương đã cưới Vũ
Giải:
Học sinh thường bắt đầu bằng cách dự đoán ai cặp với ai rồi kiểm tra các manh mối có thỏa mãn hay không Tuy nhiên, cách này chỉ có hiệu quả khi mà học sinh dự đoán đúng, và thường thường phải qua một vài phép thử sai
Chúng ta hãy “thiết lập bảng dữ liệu một cách có hệ thống” bằng cách lập bảng,
Trang 8Hương Lan Nguyệt Thảo Huy
Sơn Tuấn Vũ
Manh mối thứ tư cho ta biết rằng Vũ và Hương là vợ chồng Ta điền “YES” vào ô đó và điền “X” vào tất cả các ô ở dòng và cột đó:
Hương Lan Nguyệt Thảo
Tuấn X
Manh mối thứ nhất chỉ ra rằng Huy không thể cưới Thảo, ta đánh dấu “X” vào ô đó Từ manh mối (b), Thảo và Tuấn đã “chia tay” sau khi đính hôn, như vây Thảo là vợ của Sơn Một chữ “YES” ở ô Thảo-Sơn được đánh dấu còn dấu “X” sẽ để
ở ô Thảo-Tuấn
Hương Lan Nguyệt Thảo
Ô Sơn-Thảo là “YES” nên ô Sơn-Lan và ô Sơn-Nguyệt là “X” Từ (c) và do Tuấn đã từng đính hôn với Thảo nên “đứa trẻ” ở đây phải là Huy Do đó Lan-Huy là
“YES” và Nguyệt-Tuấn cũng vậy
Hương Lan Nguyệt Thảo
Tóm lại ta có 4 cặp: Huy-Lan, Sơn-Thảo, Tuấn-Nguyệt, Vũ-Hương
Trang 9KẾT LUẬN
Thông qua việc giải quyết các vấn đề trên, chúng ta thấy rằng chiến lược “sắp xếp dữ liệu một cách có hệ thống” tỏ ra rất có hiệu quả khi giải quyết các vấn đề, bài toán liên quan đến xác suất thống kê Cốt lõi của chiến lược chính là “sự sắp xếp” các dữ liệu “có hệ thống”, tức là vét cạn hết các trường hợp một cách có tổ chức, có trật tự, có thuật toán Các vấn đề khác cũng có thể sử dụng chiến lược trên khi mà vấn đề đó cần chúng ta xét đến nhiều trường hợp khác nhau, nhiều dẫn xuất, hoặc dữ kiện của đề dẫn đến một sự “hỗn loạn”, khó định hướng
Sử dụng phần mềm GSP, ta có thể tính được các xác suất thông qua các phép thử ngẫu nhiên rời rạc, điển hình là phép thử súc sắc, tung đồng xu và chọn quân bài túlơkhơ Hàm random() được sử dụng triệt để cho mục đích này Trong khoa học thực nghiệm, tiến hành phép thử càng nhiều thì kết quả càng chính xác Điều này cũng đúng khi tiến hành phép thử “ảo” trên máy tính Tuy nhiên lợi thế của máy tính là nó có thể thử một số lượng rất lớn các phép thử mà không tốn nhiều thời gian và công sức
Chiến lược “thiết lập bảng dữ liệu một cách có hệ thống” có tính thực tiễn rất cao, có mặt khắp nơi trong cuộc sống hằng ngày Tiểu luận này có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên PTTH, sinh viên sư phạm, các học sinh yêu thích toán Trong thời gian tới, tôi sẽ bổ sung thêm nhiều vấn đề, bài tập để làm phong phú và
đa dạng cho tiểu luận, tăng tính phổ dụng của chiến lược trong giải quyết vấn dề cũng như giúp hình thành tư duy cho học sinh, đặc biệt là tư duy xác suất thống kê
Trang 10TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Problem-solving strategies for efficient and elegant solutions
A Resource for the Mathematics Teacher
Alfred S Posamentier & Stephen Krulik
Corwin Press, INC, 1998
2 Radical Constructivism in Mathematics Education
Edited by Ernst Von Glasersfeld
Kluwer Academic Publishers, 1991
3 Dạy và học có hiệu quả môn toán theo những xu hướng mới
TS Trần Vui
Đại học Sư phạm Huế, 2006
4 Thiết kế các mô hình tích cực với The geometer’s Sketchpad
TS Trần Vui (chủ biên), Lê Quang Hùng
Huế, 2006
5 Sách giáo khoa 10 và 11 ban khoa học tự nhiên
(Nhiều tác giả)
Nhà xuất bản Giáo dục, 2006