Đề thi Dự trữ khối A Môn Toán Đề II46218

Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007 Đề II m (Cm) x2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m = Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị điểm A, B cho đường thẳng AB qua gốc tọa độ Câu I: Cho hàm số y  x  m  Câu II: Giải phương trình: cos2 x  sin x cos x   3(sin x  cos x) x  x3y  x2 y2  Giải phương trình  x3y  x2  xy  Câu III: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) đường thẳng (d) 6x  3y  2z   6x  3y  2z  24  Chứng minh đường thẳng AB OC chéo Viết phương trình đường thẳng  // (d) cắt đường AB, OC Câu IV: Trong mặt phẳng Oxy cho hình phẳng (H) giới hạn đường 4y  x y = x Tính thể tích vật thể trịn quay (H) quanh trục Ox trọn vòng Cho x, y, z biến số dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức:  x y z  P  4(x3  y3 )  4(x3  z3 )  4(z3  x3 )       y z2 x    Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban): Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) biết phương trình cạnh AB, AC theo thứ tự 4x + y + 14 = 0; 2x  5y   Tìm tọa độ đỉnh A, B, C Trên cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD cho 1, 2, n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm cho 439 Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban): 1 Giải phương trình log4 (x  1)    log2 x  log2x 1  Cho hình chóp SABC có góc SBC, ABC  60o , ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC) DeThiMau.vn Bài giải Đề thi Dự trữ khối A-năm 2007 Đề II Câu I: Khảo sát vẽ đồ thị (bạn đọc tự làm) Tìm m: m m (x  2)2  m  y '  1  Ta có: y  x  m  x2 (x  2)2 (x  2)2 Đồ thị h/s có cực trị  y' = có nghiệm phân biệt  (x  2)2  m = có nghiệm phân biệt   m > Gọi A (x1, y1) ; B (x2, y2) điểm cực trị  x   m  y1   m  m y'     x2   m  y2   m  m P/trình đường thẳng AB : x  (2  m ) m  y  (2  m  m ) m (m  0)  2x  y  + m = AB qua gốc O (0, 0)   + m =  m = Cách khác: y x2  (m  2)x  m u m  ; y '  1 x2 v (x  2)2 y' = có nghiệm phân biệt  m > Khi m > 0, pt đường thẳng qua cực trị y u/  2x  m  v/ Do đó, ycbt  m  =0  m  Câu II: Giải phương trình: cos2 x  sin x cos x   3(sin x  cos x) (1) (1)   cos 2x  sin 2x  3(sin x  cos x) 1  1  3 sin 2x    sin x  cos x     cos 2x  2  2  2           cos  2x    cos  x   3 6         cos  2x    3cos  x   3 6        cos2  x    3cos  x   6 6        cos  x    v cos  x    (loaïi) 6 6     2  x    k  x   k , k  Z DeThiMau.vn x  x3y  x2 y2  Giải hệ:  (I) x3y  x2  xy  (x2  xy)2  x3y  (I)   (x2  xy)  x3y  Đặt u =  x2 + xy, v = x3y  u2  v  v   u  u  u  (I) thành     v  v   u  v   u  u  Do hệ cho tương đương: x2  xy  x2  xy  y  x y      x  x  1(vn) x y  x3y  x  x  1   y  y  1 Câu III:  Ta có VTCP đường thẳng AB (2,4,0) hay a  (1,2,0)  Ta có VTCP đường thẳng OC (2,4,6) hay b  (1,2,3)   Ta có OA  (2,0,0) phương với c  (1,0,0)    Ta có a, b  c    AB OC chéo Đường thẳng d có VTCP    12,  0, 36  hay u   1, 0, 3 Ta có a, u    6,3,    Phương trình mặt phẳng () qua A, có PVT a, u  ( chứa AB) 6(x – 2) + 3(y – 0) + (z - 0) =  6x + 3y + 2z – 12 = ()   Ta có  b, u    3, 3,1 Phương trình mặt phẳng () qua O có PVT (3, - 3, 1) ( chứa OC) 3x - 3y + z = () Vậy phương trình đường thẳng  song song với d cắt AB, BC 6x  3y  2z  12   3x  3y  z  Câu IV: Tọa độ giao điểm hai đường nghiệm hệ  x2 x  x  y  v   y  y  y  x  4  x3 x5   x4  128  (đvtt) V    x  dx      16   80  15 0  DeThiMau.vn y A y=x x Với x, y, z > ta có 4(x3 + y3)  (x + y)3 () Dấu = xảy  x = y Thật ()  4(x + y)(x2 – xy + y2)  (x + y)3  4(x2 – xy + y2)  (x + y)2 x, y >  3(x2 + y2 – 2xy)   (x – y)2  (đúng) Tương tự ta có 4(y3 + z3)  (y + z)3 Dấu = xảy  y = z 4(z3 + x3)  (z + x)3 Dấu = xảy  z = x Do       xyz Dấu = xảy  x = y = z x  y3  y3  z3  z3  x   x  y  z   xyz  x y z  Ta lại có 2     z x  y   Vậy P  6 xyz    12 Dấu = xảy  xyz   x=y=z=1 Vậy minP = 12 Đạt x = y = z = Câu Va:  xyz   x  y  z  Tọa độ A nghiệm hệ 4x  y  14   x  4  A(–4, 2) 2x  5y   y2 Vì G(–2, 0) trọng tâm ABC nên x B  x C  2 3x G  x A  x B  x C (1)      y  y  y  y y y G A B C B C   Vì B(xB, yB)  AB  yB = –4xB – 14 (2) 2x C(xC, yC)  AC  y C   C  ( 3) 5 Thế (2) (3) vào (1) ta có x B  x C  2 x B  3  y B  2    2x C  4x B  14    2 x C   y C  Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) Nếu n  n +  Do số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + điểm khơng vượt qua C38  56  439 (loại) Vậy n  Vì tam giác tạo thành ứng với tổ hợp chập n + phần tử Nhưng cạnh CD có đỉnh, cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là: DeThiMau.vn n  4n  5n  6   n  2n  1n  439 C3n   C33  C3n  6  (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540  n2 + 4n – 140 =  n  2  144  loaïi n  3 v n  2  144  10 Đáp số: n = 10 Câu Vb: Giải phương trình: log4 (x  1)   log2x 1  log2 x  (1) Điều kiện x >1 (1)  log x  1  log 2x  1  log x      x  1 2x  1   log4    x > x2    2x  x   x > x2  2x2 – 3x – = x > 1 x  2 Gọi M trung điểm BC SM  BC,  AM  BC  SMA  SBC, ABC  60o a Suy SMA có cạnh Do SSMA  SM.AM sin 60o 2 S N A C 60 M 3a 3a   16 B 1 a2 a3 Ta có VSABC  2VSBAM  .BM.SSAM  a  16 16 Gọi N trung điểm đoạn SA Ta có CN  SA  CN   SSCA a 13 (vì SCN vng N) 1 a a 13 a2 39  AS.CN   2 16 a3 1 a2 39 3a Ta có VSABC   SSCA d B, SAC  d B, SAC  d  B,SAC   a3  16 3 16 a 39 13 DeThiMau.vn ... có CN  SA  CN   SSCA a 13 (vì SCN vng N) 1 a a 13 a2 39  AS.CN   2 16 a3 1 a2 39 3a Ta có VSABC   SSCA d B, SAC  d B, SAC  d  B,SAC   a3  16 3 16 a 39 13 DeThiMau.vn ...  AM  BC  SMA  SBC, ABC  60o a Suy SMA có cạnh Do SSMA  SM.AM sin 60o 2 S N A C 60 M 3a 3a   16 B 1 ? ?a2 a3 Ta có VSABC  2VSBAM  .BM.SSAM  a  16 16 Gọi N trung điểm đoạn SA Ta...  Ta có VTCP đường thẳng AB (2,4,0) hay a  (1,2,0)  Ta có VTCP đường thẳng OC (2,4,6) hay b  (1,2,3)   Ta có OA  (2,0,0) phương với c  (1,0,0)    Ta có ? ?a, b  c    AB