Đề thi Dự trữ khối B-năm 2007 Đề I Câu I: Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(–1, –13) Câu II: 3x 5x x Giải phương trình: sin cos cos 4 2 4 Tìm m để phương trình: x x m có nghiệm Câu III: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); mặt phẳng (P): x + y + z = Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Tìm điểm M (P) cho MA2 + MB2 nhỏ Câu IV: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = y x1 x x2 y x e 2007 y 1 Chứng minh hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > ey 2007 x x2 Câu Va (cho chương trình THPT khơng phân ban): A 2x C3y 22 Tìm x, y N thỏa mãn hệ A y Cx 66 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = đường thẳng d: x y Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A d Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban): Giải phương trình log3 x 1 log 2x 1 2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK DeThiMau.vn Bài giải Đề thi Dự trữ khối B-năm 2007 Đề I Câu I: Khảo sát y = –2x3 + 6x2 – (Bạn đọc tự làm) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(–1, –13) Ta có y' = –6x2 + 12x Gọi M0(x0, y0) tiếp điểm thuộc (C) y 2x 30 6x 20 Phương trình tiếp tuyến với (C) M0: y – y0 = f '(x0)(x – x0) y 6x 20 12x x x 2x 30 6x 20 Vì tiếp tuyến qua A(–1, –13) nên 13 2x30 6x 20 6x 20 12x 20 x 13 2x30 6x 6x 20 6x30 12x 12x 20 x30 3x x 1vx 2 Ta có y(1) 1v y(2) 35 M(1, –1) phương trình tiếp tuyến với (C) qua A y + = 6(x – 1) y = 6x – M(–2, 35) phương trình tiếp tuyến với (C) qua A y – 35 = –48(x + 2) y = –48x – 61 Câu II: 3x 5x x Giải phương trình: sin cos cos (1) 4 2 4 3x 5x x (1) sin sin cos 4 2 2 3x 5x 3 x sin sin cos 4 2 3x 3x cos x sin cos 4 2 3x 3x 2 cos x cos cos 4 2 3x v cos x 4 3x 3 k v x k2 2 4 2 x k v x k2 v x k2 3 cos Tìm m để phương trình: x x m có nghiệm Xét hàm số f x x x (điều kiện: x 0) 1 x , x > f ' x x2 x DeThiMau.vn Vì x x 1 x x6 x x x Ta có f giảm 0; lim f(x) nên ta có x f(x) 1, x 0; Vậy, phương trình (1) có nghiệm m miền giá trị f đoạn 0; < m Câu III: Đường thẳng AB có VTCP a 8,8,12 42,2,3 x 3 2t Phương trình đường thẳng AB: y 2t z 5 3t Điểm I (–3+2t; 5- 2t; –5+3t) AB (P) (–3 + 2t) + (5 – 2t) + (–5 + 3t) = t = Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) I(–1, 3, –2) Tìm M (P) để MA2 + MB2 nhỏ Gọi H trung điểm đoạn AB Tam giác MAB có trung tuyến MH nên: MA MB2 2MH AB2 Do MA2 + MB2 nhỏ MH2 nhỏ Ta để thấy H(1, 1, 1), M (P) MH nhỏ MH (P) để ý mặt phẳng (P): x + y + z = có PVT OH 1,1,1 O (P) M (0, 0, 0) Vậy, với M(0, 0, 0) MA2 + MB2 nhỏ (khi đó, ta có min(MA2 + MB2) = OA2 + OB2 = (9 + 25 + 25) + (25 + + 49) = 142) Câu IV: Tọa độ giao điểm đường y x1 x y = A(0, 0); B(1, 0) Khi x x(1 – x) x2 x1 x 0 x2 Do diện tích hình phẳng giới hạn đường cho 1 x 1 x x2 x x 1 S dx dx 1 dx x 1 x 1 x 1 0 0 y Sx0 x 1 dx x2 Đặt: x = tgt dx = (tg2t + 1)dt Đổi cận x t ; x t S x 1 dx x2 tgt 1dt t lncos t 04 ln Vậy S 1 ln DeThiMau.vn Đặt: f(t) = et, g t t t2 1 1 ;g/ (t) (t 1) 0, t Ta có f tăng nghiêm cách g giảm nghiêm cách khoảng Xác định f x gy 2007 Hệ phương trình (1) f y gx 2007 f(x) + g(y) = f(y) + g(x) () Nếu x > y f(x) > f(y) g(y) < g(x) ( do() ) y > x ( g giảm nghiêm cách ) vô lý Tương tự y > x dẫn đến vô lý x x 2007 e Do đó, (1) (2) x2 x y Xét: hx ex x 2007 (x > ) x2 Nếu x < –1 h(x) < e–1 – 2007 < hệ vô nghiệm x 2 Khi x > h' x e x e x x2 h '' x ex x 1 2x ex 3x x 1 0 lim hx , lim h x x 1 x Vậy h(x) liên tục có đồ thị đường cong lõm (1, +) Do để chứng minh (2) có nghiệm dương ta cần chứng minh tồn x0 > mà h(x0) < 2007 Chọn x0 = h e2 Suy ra: h(x) = có nghiệm x1 > 1, x2 > Câu Va: Với điều kiện: x 2, y 3, ta có: A 2x C3y 22 xx 1 yy 1y 22 A y Cx 66 yy 1y xx 1 66 6x 6x y3 3y 2y 132 2 y 3y 2y x x 132 (1) (2) 6x 2 6x y 3y 2y 132 11x 11x 132 (2) 2(1) x hay x 3 (loaïi) x y y 2y 12 x y5 y3 3y 2y 60 DeThiMau.vn y D A –3 –5 x I B C Đường trịn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = Tọa độ I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – = Vậy I d Vậy AI đường chéo hình vng ngoại tiếp đường trịn, có bán kính R = , x = x= tiếp tuyến (C ) nên Hoặc A giao điểm đường (d) x = A(2, –1) Hoặc A giao điểm đường (d) x = A(6, –5) Khi A(2, –1) B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) Khi A(6, –5) B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) Câu Vb: Giải phương trình: log3 x 1 log 2x 1 log3 x log3 2x 1 log3 x log3 2x 1 log3 x 2x 1 log3 x 2x 1 x 1 x 1 hay 2 2x 3x 2x 3x 0(vn) x2 (Bạn đọc tự vẽ hình) +BC vng góc với (SAB) BC vng góc với AH mà AH vng với SB AH vng góc với (SBC) AH vng góc SC (1) + Tương tự AK vng góc SC (2) (1) (2) SC vng góc với (AHK ) SB2 AB2 SA 3a2 SB = a a 2a 2a SH= SK= 3 (do tam giác SAB SAD vuông A) AH.SB = SA.AB AH= HK SH 2a HK BD SB Gọi AM đường cao tam giác cân AHK ta có Ta có HK song song với BD nên 4a2 2a AM AH HM AM= 2 1a 2a3 VOAHK OA.SAHK HK.AM 3 2 27 Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0; a ) DeThiMau.vn .. .B? ?i giải Đề thi Dự trữ khối B- năm 2007 Đề I Câu I: Khảo sát y = –2x3 + 6x2 – (B? ??n đọc tự làm) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(–1,... SB2 AB2 SA 3a2 SB = a a 2a 2a SH= SK= 3 (do tam giác SAB SAD vuông A) AH.SB = SA.AB AH= HK SH 2a HK BD SB Gọi AM đường cao tam giác cân AHK ta có Ta có HK song song với BD nên... (B? ??n đọc tự vẽ hình) +BC vng góc với (SAB) BC vng góc với AH mà AH vuông với SB AH vuông góc với (SBC) AH vng góc SC (1) + Tương tự AK vng góc SC (2) (1) (2) SC vng góc với (AHK ) SB2