Đề thi Dự trữ khối B Môn Toán Đề I44203

Đề thi Dự trữ khối B-năm 2007 Đề I Câu I: Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(–1, –13) Câu II: 3x  5x   x  Giải phương trình: sin    cos    cos  4 2 4 Tìm m để phương trình: x   x  m có nghiệm Câu III: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(–3,5,–5); B(5,–3,7); mặt phẳng (P): x + y + z = Tìm giao điểm I đường thẳng AB với mặt phẳng (P) Tìm điểm M  (P) cho MA2 + MB2 nhỏ Câu IV: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = y  x1  x  x2  y  x e  2007  y 1  Chứng minh hệ  có nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > ey  2007  x  x2  Câu Va (cho chương trình THPT khơng phân ban): A 2x  C3y  22 Tìm x, y  N thỏa mãn hệ  A y  Cx  66 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 8x + 6y + 21 = đường thẳng d: x  y   Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A  d Câu Vb (cho chương trình THPT phân ban): Giải phương trình log3 x  1  log 2x  1  2 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA vng góc với hình chóp Cho AB = a, SA = a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC  (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK DeThiMau.vn Bài giải Đề thi Dự trữ khối B-năm 2007 Đề I Câu I: Khảo sát y = –2x3 + 6x2 – (Bạn đọc tự làm) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(–1, –13) Ta có y' = –6x2 + 12x Gọi M0(x0, y0) tiếp điểm thuộc (C)  y  2x 30  6x 20  Phương trình tiếp tuyến với (C) M0: y – y0 = f '(x0)(x – x0)  y   6x 20  12x x  x   2x 30  6x 20    Vì tiếp tuyến qua A(–1, –13) nên  13  2x30  6x 20    6x 20  12x 20   x     13  2x30  6x   6x 20  6x30  12x  12x 20  x30  3x    x  1vx  2 Ta có y(1)  1v y(2)  35 M(1, –1) phương trình tiếp tuyến với (C) qua A y + = 6(x – 1)  y = 6x – M(–2, 35) phương trình tiếp tuyến với (C) qua A y – 35 = –48(x + 2)  y = –48x – 61 Câu II: 3x  5x   x  Giải phương trình: sin    cos    cos (1)  4 2 4 3x  5x     x (1)  sin    sin     cos  4 2 2 3x  5x    3 x   sin    sin    cos  4  2    3x   3x   cos  x   sin     cos 4  2   3x 3x   2 cos x   cos  cos 4 2  3x    v cos  x     4  3x   3    k v x     k2 2 4  2  x k v x   k2 v x    k2 3  cos Tìm m để phương trình: x   x  m có nghiệm Xét hàm số f x   x   x (điều kiện: x  0) 1 x   , x >  f ' x      x2  x      DeThiMau.vn Vì x x  1  x x6  x  x x Ta có f giảm  0;   lim f(x)  nên ta có x    f(x)  1, x   0;   Vậy, phương trình (1) có nghiệm  m  miền giá trị f đoạn  0;    < m  Câu III: Đường thẳng AB có VTCP a  8,8,12   42,2,3 x  3  2t  Phương trình đường thẳng AB: y   2t z  5  3t  Điểm I (–3+2t; 5- 2t; –5+3t)  AB  (P) (–3 + 2t) + (5 – 2t) + (–5 + 3t) =  t = Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) I(–1, 3, –2) Tìm M  (P) để MA2 + MB2 nhỏ Gọi H trung điểm đoạn AB Tam giác MAB có trung tuyến MH nên: MA  MB2  2MH  AB2 Do MA2 + MB2 nhỏ  MH2 nhỏ Ta để thấy H(1, 1, 1), M  (P) MH nhỏ  MH  (P) để ý mặt phẳng (P): x + y + z = có PVT OH  1,1,1 O  (P)  M  (0, 0, 0) Vậy, với M(0, 0, 0) MA2 + MB2 nhỏ (khi đó, ta có min(MA2 + MB2) = OA2 + OB2 = (9 + 25 + 25) + (25 + + 49) = 142) Câu IV: Tọa độ giao điểm đường y  x1  x  y = A(0, 0); B(1, 0) Khi  x   x(1 – x)   x2  x1  x  0 x2  Do diện tích hình phẳng giới hạn đường cho 1 x 1  x  x2  x x 1   S  dx   dx    1   dx x 1 x 1 x 1 0 0 y Sx0   x 1 dx x2  Đặt: x = tgt  dx = (tg2t + 1)dt  Đổi cận x   t  ; x   t  S  x 1 dx  x2     tgt  1dt  t  lncos t 04   ln  Vậy S  1    ln DeThiMau.vn Đặt: f(t) = et, g  t   t t2 1 1 ;g/ (t)  (t  1)  0,  t  Ta có f tăng nghiêm cách g giảm nghiêm cách khoảng Xác định f x   gy   2007 Hệ phương trình (1)   f y   gx   2007  f(x) + g(y) = f(y) + g(x) () Nếu x > y  f(x) > f(y)  g(y) < g(x) ( do() )  y > x ( g giảm nghiêm cách )  vô lý Tương tự y > x dẫn đến vô lý x  x  2007  e  Do đó, (1)  (2)  x2  x  y Xét: hx   ex  x  2007 (x > ) x2  Nếu x < –1 h(x) < e–1 – 2007 <  hệ vô nghiệm  x 2 Khi x >  h' x   e x   e  x  x2   h ''  x   ex     x  1 2x  ex    3x x  1 0 lim hx    , lim h  x    x 1 x  Vậy h(x) liên tục có đồ thị đường cong lõm (1, +) Do để chứng minh (2) có nghiệm dương ta cần chứng minh tồn x0 > mà h(x0) <  2007  Chọn x0 =  h    e2  Suy ra: h(x) = có nghiệm x1 > 1, x2 > Câu Va: Với điều kiện: x  2, y  3, ta có:  A 2x  C3y  22 xx  1  yy  1y    22   A y  Cx  66 yy  1y    xx  1  66  6x  6x  y3  3y  2y  132  2  y  3y  2y   x  x  132 (1) (2)   6x 2 6x  y  3y  2y  132 11x  11x  132  (2)  2(1)    x  hay x  3 (loaïi) x    y  y  2y  12   x  y5  y3  3y  2y  60   DeThiMau.vn y D A –3 –5 x I B C Đường trịn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = Tọa độ I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – = Vậy I  d Vậy AI đường chéo hình vng ngoại tiếp đường trịn, có bán kính R = , x = x= tiếp tuyến (C ) nên Hoặc A giao điểm đường (d) x =  A(2, –1) Hoặc A giao điểm đường (d) x =  A(6, –5) Khi A(2, –1)  B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1) Khi A(6, –5)  B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5) Câu Vb: Giải phương trình: log3 x  1  log 2x  1   log3 x   log3  2x  1   log3 x   log3  2x  1   log3 x   2x  1  log3  x   2x  1   x 1  x 1 hay  2 2x  3x   2x  3x   0(vn) x2  (Bạn đọc tự vẽ hình) +BC vng góc với (SAB)  BC vng góc với AH mà AH vng với SB  AH vng góc với (SBC)  AH vng góc SC (1) + Tương tự AK vng góc SC (2) (1) (2)  SC vng góc với (AHK ) SB2  AB2  SA  3a2  SB = a a 2a 2a  SH=  SK= 3 (do tam giác SAB SAD vuông A) AH.SB = SA.AB  AH= HK SH 2a   HK  BD SB Gọi AM đường cao tam giác cân AHK ta có Ta có HK song song với BD nên 4a2 2a AM  AH  HM   AM= 2 1a 2a3 VOAHK  OA.SAHK  HK.AM  3 2 27 Cách khác: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho A= O (0;0;0), B(a;0;0), C( a;a;0), D(0;a;0), S (0;0; a ) DeThiMau.vn .. .B? ?i giải Đề thi Dự trữ khối B- năm 2007 Đề I Câu I: Khảo sát y = –2x3 + 6x2 – (B? ??n đọc tự làm) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(–1,... SB2  AB2  SA  3a2  SB = a a 2a 2a  SH=  SK= 3 (do tam giác SAB SAD vuông A) AH.SB = SA.AB  AH= HK SH 2a   HK  BD SB Gọi AM đường cao tam giác cân AHK ta có Ta có HK song song với BD nên... (B? ??n đọc tự vẽ hình) +BC vng góc với (SAB)  BC vng góc với AH mà AH vuông với SB  AH vuông góc với (SBC)  AH vng góc SC (1) + Tương tự AK vng góc SC (2) (1) (2)  SC vng góc với (AHK ) SB2