CHỨNG MINH KHÁC NHAU CHO MỘT BĐT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Chứng minh A, B, C ba góc tam giác Chứng minh: ( Theo thứ tự chương trình học Phổ thơng ) Cách (THCS) Dùng tỉ số Diện Tích Kẻ đường cao AD, BE, CF Đặt ; ; Tương tự Cộng (1), (2), (3) ta có (đpcm) Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 2:(THCS) Vận dụng bất đẳng thức :Erdos-Mordell Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Đặt khoảng cách từ M đến BC, CA, AB tương ứng Khi ta có bất đẳng thức Vận dụng giải trên: Gọi O , R tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Ta dễ dàng nhận thấy DeThiMau.vn Do : Tương tự Do ( đpcm).(Erdos-Mordell) Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 3:(THPT) Sử dụng BĐT Trêbưsep Gọi a, b, c ba cạnh tam giác, sử dụng cơng thức hình chiếu ta có: , , , Cộng ba biểu thức ta có: Khơng tính tổng qt giả sử: , ta có: Do : ( Trêbưsep) (đpcm) Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách Phuong pháp vectơ Gọi I r tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác ABC, M, N, P tiếp điểm đường trịn với cạnh AB, AC, BC ,ta có (*) Ta nhận thấy ( Vì góc A bù nhau) Tương tự : Vậy từ (*) suy , (dpcm) DeThiMau.vn Cách 5: Phuong pháp vectơ Lấy A, B, C ba gốc ba véctơ đơn vị sau , , Ta có : Cách 6: Quan hệ bất đẳng thức Schur ( Schur) Cách :Sử dụng tam thức bậc hai Xét Đặt Xét tam thức Có , hệ số ,Nên với x Hay Cách 8: Sử dụng hàm số Ta có Đặt điều kiện , Xét hàm số Lập bảng xét dấu ta có DeThiMau.vn Cách 9: Tổng bình phương Xét (Đúng) Đẳng thức xảy A=B=C Cách 10: BĐT lượng giác Ta có : ( đẳng thức xảy A=B) ( đẳng thức xảy Vậy : Đẳng thức xảy tam giác ABC Cách 11: Đánh Giá BĐT -Tam giác ABC khơng nhọn, Giả sử góc Ta có : (1) (2) Cộng (1) (2) vế theo vế ta có: (3) Suy Nếu A nhọn, (1), (2), (3) thỏa mãn Cách 12 :Hàm lồi Nếu tam giác không nhọn, ! : DeThiMau.vn Xét hàm số f(x) = cosx Ta có f'(x) = -sinx , f''(x)=-cosx