(Sáng kiến kinh nghiệm) một hướng biến đổi để chứng minh và phát triển bất đẳng thức từ bất đẳng thức bunhiacôpski trong bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10

Phần A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng Nhƣng thơng qua tập chứng minh Bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ sâu sắc giải biện luận phƣơng trình , bất phƣơng trình , mối liên hệ yếu tố tam giác tìm GTLN GTNN biểu thức Trong trình giải tập , lực suy nghĩ , sáng tạo học sinh đƣợc phát triển đa dạng phong phú tập Bất đẳng thức có cách giải khơng theo qui tắc khn mẫu Nó địi hỏi ngƣời đọc phải có cách suy nghĩ lơgíc sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách lơgíc có hệ thống Cũng tốn Bất đẳng thức khơng có cách giải mẫu , khơng theo phƣơng pháp định nên học sinh lúng túng giải toán Bất đẳng thức , học sinh thƣờng không theo hƣớng Do hầu hết học sinh khơng biết làm tốn Bất đẳng thức khơng biết vận dụng Bất đẳng thức để giải loại tập khác Để giúp học sinh giải đƣợc phần khó khăn gặp tốn chứng minh Bất đẳng thức tìm GTLN GTNN biểu thức, tơi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “một hướng biến đổi để chứng minh phát triển Bất Đẳng Thức từ Bất đẳng thức Bunhiacôpski bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10”, với hy vọng sau học sinh sử dụng phƣơng pháp giải đƣợc số toán chứng minh Bất đẳng thức số tốn tìm GTLN GTNN biểu thức theo dạng toán Bất đẳng thức chuyên đề Mặc dù cố gắng song đề tài khó tránh khỏi thiếu sót, mong hội đồng chun mơn góp ý Cẩm Vân , Ngày 12 tháng 08 năm 2019 Trịnh Hồng Dũng Phần B NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÍ LUẬN: 1.Định nghĩa bất đẳng thức: Cho số thực a b Các mệnh đề “a > b” , “ a đƣợc gọi bất đẳng thức 2.Các tính chất: a b b c a + + a b c d ”, “a < b”, “ a a a c b a b c d c b d a b c ac bd n n 2 n ( a b1 a 2b2 ” ac > bc ac < bc + a b n N a b + a b a b + a b a b 4.Kết thường dùng: + a b c ab bc ca 5.Bất đẳng thức cô – si: Cho n số khơng âm: a1,a2…an ta có: a a a n a Dấu “=” xảy khi: a1=a2=…=an 6.Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai n số (a1,a2, a3, , an) ( b1, b2, b3, , bn) ta có : b c + Nếu c > a > b + Nếu c < a > b +a b a c b c 3.Các hệ quả: + b a nbn ) ( a1 Dấu “ =’’ xẩy a2 a1 a2 b1 b2 a n ) ( b1 b2 2 n a a n bn ) an bn II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Giả sử ta có tốn sau: Bài toán 1: Với a,b, c a CMR: b b c c c a a a b b c Ta biết toán có nhiều cách giải: *Cách 1: Dùng phương pháp hàm số * Cách Cộng vào hai vế lượng dùng bất đẳng thức cô – si + Nếu theo cách cố cho học sinh kiến thức hàm số, theo cách không áp dụng cho học sinh khối lớp 8,9 chưa đủ kiến thức để giải + Nếu theo cách cố cho học sinh kiến thức Bất đẳng thức Cô-Si, lời giải thiếu tự nhiên, theo cách phải cộng vào lượng, Chỉ có học sinh giỏi thấy lượng Qua khảo sát học sinh phần bất đẳng thức số lớp trường năm học 2017-2018 thu mẫu thống kê sau: Lớp 8A 9A Bồi dƣỡng HSG Năm học Kết 0/38 1/30 1/3 Nếu ta hƣớng dẫn học sinh giải toán theo hƣớng khác tốn trở nên đơn giản lời giải tự nhiên hơn.Sau tơi trình bày biện pháp để thực điều III.CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Ta biết BĐT Bunhacôpxki áp dụng cho số thực: a1,a2,…,an b1,b2,… ,bn nhƣ sau: (a b a b a b ) (a a a ) ( b b b ) (1) 1 2 n n 2 Dấu “=” xảy : Với b1 , b , , b n n a1 a2 b1 b2 2 n an bn Áp dụng BĐT (1) ta có: ( a1 a2 a1 an ) a2 b1 b1 a1 a2 b1 b2 b2 an b2 bn bn an b1 bn b2 bn Từ suy BĐT: a1 a2 b1 an b2 ( a1 bn b1 a2 an ) b2 bn Dấu “=” xảy khi: Nếu đặt a1 a2 c1 c2 an cn b1 a c1 ( a1 a 1c1 , b2 a2 a2c2 a2c2 an ) (2) a1 a2 b1 b2 , , b n an bn ancn từ BĐT (2) ta có BĐT: (3) Dấu “=” xảy khi: c1=c2=…=cn ancn Lời giải tốn 1: a Áp dụng BĐT (2), ta có: b b c c c a a (a b 2(a b c) b c) a b c (*) (đpcm) Tiếp tục tìm hiểu số toán sau: Bài toán 2: Cho a,b,c ba số thực dƣơng CMR: (a b) (b c c) (c a) a 4(a b c) b Phân tích: + VT tốn tổng phân thức, phân thức tử thức bình phương biểu thức + Dấu BĐT toán chiều với dấu BĐT (2) Áp dụng BĐT (2) ta đƣợc : (a b) (b c c) (c a) a 4(a b c) a b c b 4(a b c) (đpcm) Như dùng BĐT(2) lời giải tự nhiên,ít sử dụng đến kiến thức toán học làm cho học sinh dễ hiểu Bài toán 3: CMR với a,b,c ba số thực dƣơng, ta có: a b b c c c a a 3(ab b bc 2(a ca ) b c) Phân tích: + VT toán tổng phân thức, phân thức tử thức bình phương biểu thức + Dấu BĐT toán chiều với dấu BĐT (2) + Tổng biểu thức mẫu VT biểu thức mẫu VP Áp dụng BĐT (2) ta đƣợc: a b b c c c a Mà ta biết (a a a b a Nên suy ra: 2(a b c b b b c c) b c) ab bc c c a b c 2ab 2(a b 2bc 2ca c) ca a a 3(ab b bc 2(a b ca ) (đpcm) c) Tương tự toán 3, cho thêm giả thiết: abc = ta có tốn sau: Bài tốn 4: Cho a,b,c số thực dƣơng abc = a CMR: b b c c c a a b Lời giải: a Ta có b b c c c a a (a b b 2(a c) b (a c) b c) 3 abc 2 (đpcm) Tương tự toán 3, cho thêm giả thiết: a+b+c = ta có tốn sau: Bài tốn 5: Cho a,b,c số thực dƣơng có tổng Tìm GTNN biểu thức: a P= b b c c c a a b Lời giải: a b b c c c a (a a b b 2(a c) b = (a b c) c) = Vậy minP = 2 Bài toán 6: Cho a,b,c số thực dƣơng, CMR: a b 3 c ab b c bc ca a Lời giải: Đối với tốn khác , phải biến đổi chút dùng BĐT (2) a b b 3 c c = a a b ab 4 c bc (a ca b ab 2 c ) bc ( ab bc ab ca ca ) bc ca = ab bc ca (đpcm) Bài toán 7: Cho a,b,c số thực dƣơng, CMR: a b a 2 b b c b c c 2 a c a b c a Tương tự toán với toán , phải biến đổi chút dùng BĐT (2) Lời giải: a Ta có: b a 4(a c) b b b b 4(a c b c c b a c a c a a a b b a b b b c c b c c c a a c a (đpcm) c) Bài toán 8: Cho số a, b, c, p, q >0 CMR: a b pb qc pc c qa pa qb p q Lời giải: Ta có: a pb b qc 3(ab (p pc bc q )( a b c qa pa ca ) bc ca ) a qb apb b aqc bpc c bqa cpa cqb (đpcm) p q Nhận xét: Qua toán trên, ta thấy: Nếu gán a1,a2,a3 b1,b2,b3 BĐT (2) biến số biến đổi thông qua vài bất đẳng thức ta tốn khác Vậy hướng để sáng tác BĐT Chẳng hạn, gán a1 a b , a2 b c , a3 c a b1 c a , b2 a b , b3 b c vào BĐT(2) ta tốn sau: Bài tốn 9: Cho số a,b,c > CMR: a b b (c a) c c (a b) a (b c) (a b c) Lời giải: a Ta có: b b (c (a = b 2(a c) b (a b a (b c) b b b) a c 2(a c b ) ( (a b a a c) 2(a c) b ) c b c) (đpcm) c) c) Nếu gán c (a = c a) ( a a1 b , a2 b c , a3 c b1 a b (a c ), b2 c (b a ), b3 a (b vào c) BĐT(2) ta toán sau: Bài toán 10: Cho số thực a,b,c >0 CMR: a b b (a c c) c (a b) a (b c) (ab bc ca ) Lời giải: a Ta có: b b (c ( a b b = = ( ab bc ( = ca ) ca ) bc Nếu gán ) a bc ( ab c (a c c ( ab a) b ab = a (b c bc b (c (a ( ca bc ( ab c) ) ca ) b b 2 c ) c ) b) a (b ) ( ca bc a c(a bc ( ab c a) ab ca ) bc a b b) ( ab c a ( ( ab bc ab ca ) c) ( ab ca ) bc bc ca ) (đpcm) , a d b a ( b c d ), b b ( c b c(d a b ), b d (a b c ) vào BĐT(2) ta toán sau: Bài toán 11: Cho số thực a,b,c,d >0 CMR: 2 a ,a2 ) ca ca ) a1 b ,a3 c d a) a b b c d c c d a d a d b a b a b a a b 2b 3c b 2c c 3a c 2a c c Bài toán 12: Cho số thực a,b,c >0 cho 2 d a b c =1 CMR: 3b Nhận xét: Như theo cách ta sáng tác BĐT khó hơn, nhiều biến giải toán giá trị nhỏ biểu thức Bài toán 13: Cho số a,b,c > 0CMR: a b b c c c a a b Lời giải: a BĐT b b c c c a (a a b b c )( Mà ( b c c Từ suy a c (a b c )( c 2(a c a a c c) c ) (*) b b ) a b c a ) a c (đpcm) Những khó khăn học sinh: + Tại phải cộng vào vế cho phân tích thế.(địi hỏi học sinh phải tư duy, bước biến đổi linh hoạt) + Phải CM BĐT (*) suy kết Nếu dùng BĐT (3) kết nào? a Ta có: b b Mà a c b c c a Vậy b c a a ab bc b c (a b 2(ab a 3(ab a c) bc a b ca ) c 2ab 2(ab 2bc bc 2ca ca ) ca c c b b bc ab ca ) bc ca (đpcm) Bài toán 14: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR a b b c a c c a b a b c Ta có a b b c a c a (a a (b c a) a 2ab 2bc b b b (c b c c a c) a b (a b) 2ab 2ca c c(a b 2bc 2ca (ab bc c) ca ) 2(ab 3(ab bc bc ab b c) ca ) (a ca ) bc 2 b 2 c ) (đpcm) ca Nhƣ dùng BĐT(3) lời giải tự nhiên,ngắn gọn dễ hiểu Nhận xét: Từ BĐT (3) cách gán a1 ,a2 ,a3 c1 ,c2 ,c3 biểu thức ta toán Chẳng hạn: - Nếu gán: a1 = a, a2 = b, a3 = c c b c ( c a ) , c a c ( a b ) , c a b ( b c ) ta tốn sau: Bài tốn 15: Cho số a,b,c > CMR a b c (c b a) ca (a c b) a b (b 27 c) 2(a b c) Nếu gán a1 , a2 a b , a3 c1 c a (b c ), c b (c a ), c3 c (a , b) a,b,c >0 abc = ta có toán sau: Bài toán 16: Cho số a, b, c >0 abc = Tìm GTNN biểu thức P a (b 1 c) b (c a) c (a c) - Nếu gán: a b c , a a c , a a b c a b (a,b,c >0) ta toán: Bài toán 17: Cho số a , b, c > CMR: bc 2 a c ab b a ac a b 2 b c bc c a ca a c , c2 2 b a b c , c3 c a c b ab abc c b Từ toán 17, ta thêm giả thiết: abc = ta có toán sau: Bài toán 18: Cho số a, b, c > abc = Tìm GTNN biểu thức bc P ac a b a c ab b a b c c a c b Nếu gán a a , a b , a c c b a , c c b , c a,b,c >0 a+b+c = ta có tốn sau: Bài toán 19: Cho số a, b, c >0 a + b + c = CMR: a b b a c c b a c , a c Bài toán 20: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: a T= 2b 2c b a 2c 2a c b 2a 2b c Làm tƣơng tự, ta có đƣợc BĐT khác hay IV HIỆU QỦA CỦA ĐỀ TÀI: Qua nhiều năm giảng dạy thấy, dùng BĐT (2) BĐT (3) đề tài học sinh dễ nhận thấy dạng biểu thức cần biến đổi giải đƣợc số toán bất đẳng thức nhƣ toán GTLN,GTNN biểu thức Một số kết thu đƣợc năm học 2018-2019: Lớp 8A 9A Bồi dƣỡng HSG Năm học Kết 3/30 6/32 3/3 TÓM LẠI : Bất đẳng thức chuyên đề khó, quan trọng lƣợng tập phong phú, nhƣng gặp bất đẳng thức biểu thức phân sử dụng BĐT (2) (3) tỏ hiệu bỏ qua vài bƣớc biến đổi phức tạp, đồng thời dễ nhận thấy đƣợc biểu thức cần biến đổi Phần C KẾT LUẬN Khi nói Tốn học nhắc đến tính tƣ duy,suy luận logic Chính giảng giải toán giáo viên phải theo quy luật học sinh thấy đƣợc hay, đẹp tốn từ kích thích say mê tim tòi, hứng thú cho học sinh, tạo cho em có tính tự học cao Trong q trình tự học, nghiên cứu tìm tịi qua sách báo tơi đúc kết đƣợc cho hƣớng giải tốn Bất đẳng thức, hai năm học qua tơi giảng dạy theo cách thấy hiệu quả, học sinh chủ động tiếp thu kiến thức có nhiều em giải đƣợc toán dạng Mặc khác, ta hƣớng dẫn cho học sinh biết cách sáng tạo bất đẳng thức mới, hay khó Cần nhấn mạnh cho học sinh biết dạng tốn sử dụng đƣợc hai BĐT (2) (3) Với khn khổ đề tài tơi xin trình bày khía cạnh để chứng minh BĐT Rất mong đƣợc hội đồng chun mơn nhà trƣờng góp ý bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, có khả triển khai áp dụng bồi dƣỡng HSG ôn thi vào lớp 10 năm đạt kết tốt Xin chân thành cám ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Cẩm Vân, ngày 12 tháng 08 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung ngƣời khác ( Ký ghi rõ họ tên) Trịnh Hồng Dũng PHỤ LỤC Phần A B Mục I II III IV C Nội dung Đặt vấn đề (Lý chọn đề tài) Giải vấn đề (Nội dung SKKN) Cơ sở lý luận Thực trạng vấn đề Các biện pháp tiến hành Biến đổi bất đẳng thức Bunhiacốpki để tìm bất đẳng thức sở (2) (3) Áp dụng BĐT (2) (3) để giải BĐT có dạng , sáng tác BĐT toán GTNN, GTLN Kiểm nghiệm (hiệu đề tài) Kết luận Phụ lục tài liệu tham khảo Trang 2 2-3 3 4-8 10 Tài liệu tham khảo: - 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp bồi dƣỡng HSG luyện thi vào lớp 10 Của tác giả Nguyễn Đức Đồng - Nguyễn Văn Vĩnh (NHÀ XUẤT BẢN TRẺ) - Các phƣơng pháp kỹ thuật chứng minh Bất Đẳng Thức - Tác giả Trần Phƣơng (NXB THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ) - Sáng tác Bất Đẳng Thức - Tác giả Phạm Kim Hùng ( NXB TRI THỨC) 10 ... học sinh kiến thức Bất đẳng thức Cô-Si, lời giải thi? ??u tự nhiên, theo cách phải cộng vào lượng, Chỉ có học sinh giỏi thấy lượng Qua khảo sát học sinh phần bất đẳng thức số lớp trường năm học. .. vào hai vế lượng dùng bất đẳng thức – si + Nếu theo cách cố cho học sinh kiến thức hàm số, theo cách không áp dụng cho học sinh khối lớp 8,9 chưa đủ kiến thức để giải + Nếu theo cách cố cho học. .. đề tài học sinh dễ nhận thấy dạng biểu thức cần biến đổi giải đƣợc số toán bất đẳng thức nhƣ toán GTLN,GTNN biểu thức Một số kết thu đƣợc năm học 2018-2019: Lớp 8A 9A Bồi dƣỡng HSG Năm học Kết