Thông tin tài liệu
UBND huyện Kinh môn Phòng giáo dục đào tạo đề thi chọn học sinh giỏi huyện Môn Toán lớp Năm học 2013 - 2014 ( Thời gian làm 150 phút ) Câu ( 2.0 điểm) Rút gän c¸c biĨu thøc sau : 1) M 2) Q 3 10 3 10 x 4( x 1) x 4( x 1) 1 , víi x 1; x x 1 x 4( x 1) C©u ( 2.0 điểm) 1) Giải phương trình : x x x x 2) Cho M a 2 a Tìm số hữu tỉ a để M số nguyên Câu ( 2.0 điểm) 1) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mÃn x x( x y ) y x 2) Cho a, b số nguyªn tháa m·n 2a 3ab 2b chia hÕt cho Chøng minh r»ng a b chia hÕt cho C©u ( 3.0 ®iĨm) Cho tam giác ABC vng A ( AC > AB) đường cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đường vng góc với BC D cắt AC E 1) Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn thẳng BE theo m =AB 2) Gọi M trung điểm của đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM 3) Tia AM cắt BC G Chứng minh : GB HD BC AH HC C©u ( 1.0 điểm) Cho a,b,c số thực dương Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: M a b c b c 2a c a 2b a b 2c DeThiMau.vn CU PHN 1(2im) 1(1im) Hướng dẫn chấm môn toán NI DUNG 3 M M 10 3 5 1 ĐIỂM 3 10 3 5 1 3 3 5 1 1 (3 )(3 1) (3 )(3 1) (3 1)(3 1) 24 44 11 M 11 1(1điểm) Q 0,5 0,25 0,25 x 4( x 1) x 4( x 1) 1 , víi x 1; x x 1 x 4( x 1) Q ( x 1) x ( x 1) x x x 1 x 4x Q Q x 1 1 x 2 x 1 1 2 x2 x 1 x 1 1 x 1 1 x x2 0,25 x 1 1 x 1 x 1 1 x 2 2 x x 1 x 1 x 1 1 x 1 1 x 2 x2 x 1 x 1 0,25 *Nếu < x ta có Q 2(2điểm) 1(1điểm) x 4 0,25 x x x ĐKXĐ : x R x x x x 4x x 0,25 x x x x 4x 7 x x x 7 x 0 x 7 4 0 x x (1) x (2) 0,25 - Phương trình (1) vơ nghiệm - Phương trình (2) có nghiệm x 3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x 3 DeThiMau.vn 0,25 0,25 0,25 2(1điểm) M Đặt a 2 a 5 a 2 a 5 (ĐKXĐ : a ) 0,25 n ( n số nguyên ) Ta có a n 5n Nếu n = 8 vô lý 0,25 Do n nguyên nên n = a = ( thỏa mãn) Vậy a = 0,25 5n Nếu n a n2 5n Do a 0 n2 n2 3(1điểm) 1(1điểm) 0,25 x x( x y ) y x (1) Vì x > nên ( 1) x x( x y ) y x x x xy y x (1 x)( x y ) 0,25 Do x, y số nguyên ta có bảng sau 1-x x-2y x -1 y -1 -1 0,25 -1 -2 2 -2 -1 0,25 Mà x, y > nên có cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn (2; 2) (3; 2) 0,25 2(1điểm) Ta có : 2a 3ab 2b 2(a b 2ab) ab 2a b ab Do 7ab ( với a, b nguyên) 2a b 2 (2, 7) = Từ ta có a b (a b)(a b) Vậy a b chia hÕt cho 4(3điểm) A E M B 1(1điểm) C H Xét CDE G CAB có DeThiMau.vn D chung CDE 900 C CAB 0,25 0,25 0,25 0,25 Nên CDE đồng dạng CAB CD CE CD CA CA CB CE CB chung CD CA Xét BEC ADC có C CE CB BEC đồng dạng ADC (c.g.c) BEC ADC ( Hai góc tương ứng) Ta có HD = HA (gt) AHD vuông cân H HDA 450 ADC 1350 BEC 1350 AEB 450 ABE vuông A AB = BE.sin AEB m = BE BE = 0,25 0,25 0,25 0,25 m 2(1điểm) Ta có tam giác ABE vng cân A có AM đường trung tuyến đồng thời đường cao ta có : BM.BE = AB2 0,25 ABC vng A , đường cao AH 0,25 ta có : BH.BC = AB2 BM.BE = BH.BC BH BE BM BC chung Xét BHM BEC có B Nên BHM đồng dạng BEC (c.g.c) BH BE BM BC BHM BEC 1350 AHM 450 3(1điểm) 0,25 Tam giác ABE vuông cân A có AM đường trung tuyến nên AM đường phân giác nên AG phân giác BAC GB AB GC AC AB ED mà ABC đồng dạng DEC AC DC ED AH HD DE song song AH song song với AH DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC AH HC BC AH HC Theo tính chất đường phân giác ta có: 5(1điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 * Ta chứng minh với hai số dương x, y ta ln có 1 1 ( ) (*) Dấu xảy x = y x y x y 0,25 * Áp dụng đẳng thức Cơsi : Ta có a 1 a ( ) b c 2a b c 2a a a b c 2a b c 2a Ấp dụng bất đẳng thức (*) DeThiMau.vn 0,25 1 1 ( ) b c 2a ( a b) ( a c ) a b a c a a a a a a ( ) ( 1) b c 2a a b a c b c 2a a b a c 0,25 Tương tự: b 1 b b c 1 c c 1 ; 1 c a 2b b c a b a b 2c b c c a 1 a a b b c c M 3 4 ab ac ab bc ac bc Giá trị lớn M a = b = c (Nếu học sinh giải cách làm khác cho điểm tối đa ) DeThiMau.vn 0,25 ... 3 4 ab ac ab bc ac bc Giá trị lớn M a = b = c (Nếu học sinh giải cách làm khác cho điểm tối đa ) DeThiMau.vn 0,25 ...CU PHN 1(2im) 1(1im) Hướng dẫn chấm môn toán NI DUNG 3 M M 10 3 5 1 ĐIỂM 3 10 3 5 1 3 3 5 1 1 (3 ... (a b)(a b) Vậy a b chia hÕt cho 4(3điểm) A E M B 1(1điểm) C H Xét CDE G CAB có DeThiMau.vn D chung CDE 900 C CAB 0,25 0,25 0,25 0,25 Nên CDE đồng dạng CAB CD CE
Ngày đăng: 31/03/2022, 12:44
Xem thêm:
