Đề thi chọn học sinh giỏi huyện môn: Toán học28367

Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Tốn PHỊNG GD-ĐT NINH HÒA KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC: 2012-2013 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (3đ) Chứng minh đẳng thức: Bài 2: (4đ) Cho biểu thức Q    29  12 = cotg450 x   x  1  x   x  1    1    x 1  x   x  1 a) Tìm điều kiện x để Q có nghĩa b) Rút gọn biểu thức Q y x 1  x y  xy 2 x  yz y  xz Bài 4: (3,75đ) Chứng minh  x 1  yz  y 1  xz  với x  y, yz  1, xz  1, x  0, y  0, z  1 x  y  z    x y z Bài 5: (3,75đ) Cho tam giác ABC vuông cân A, M trung điểm cạnh BC Từ đỉnh M vẽ góc 450 cho cạnh góc cắt AB, AC E, F Chứng minh rằng: S MEF  S ABC Bài 6: (2đ) Từ điểm A đường tròn (O ; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B C tiếp điểm) Gọi M điểm đường thẳng qua trung điểm AB AC Kẻ tiếp tuyến MK đường tròn (O) Chứng minh MK = MA Bài 3: (3,5đ) Tìm giá trị lớn biểu thức M  HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Nội dung – Yêu cầu Bài   29  12  2a 2b  3 2   62  5  3 1đ 0,5đ  1  0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ =1 = cotg450 Q có nghĩa  x  x  Q x   x  1  x   x  1    1    x 1  x   x  1 Gv: Nguyễn Văn Tú Điểm DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán Q Q  x  1  x 1 1   x  1  x2  x    x 1 1    x  2  x 1 1 x 1 1 x   x 1 0,75đ  x2 x 1 x 1 1  x 1 1 x   x2 x 1 * Nếu < x < ta có:  x 1  x 1 1 x  Q  2 x x 1 Q 1 x * Nếu x > ta có: x 1 1  x 1 1 x  Q  x2 x 1 Q x 1 Q 0,75đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25 0,25đ Với điều kiện x  1, y  ta có: y4 x 1  x y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, 1 x 1 x  Ta có: x   1 x  1  2 x 1 (vì x dương)   x 1 4 y4 y  y  4    Và: y   2 y4   (vì y dương) y M= 0,75đ 0,5đ 0,75đ 0,5đ y4 1    y 4 Vậy giá trị lớn M  x = 2, y = Suy ra: M = 0,25đ x 1  x 0,5đ x  yz y  xz  x 1  yz  y 1  xz    x  yz   y  xyz    y  xz   x  xyz  Gv: Nguyễn Văn Tú 0,25đ DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán  x y  x3 yz  y z  xy z  xy  xy z  x z  x yz    x y  xy    x3 yz  xy z    x z  y z    x yz  xy z    xy  x  y   xyz  x  y 2  zx y   xyz  x  y   0,5đ 0,5đ   x  y   xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz    xy  xyz  x  y   z  x  y   xyz  (vì x  y  x  y  ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ  xy  xz  yz  xyz  x  y   xyz 0,5đ xy  xz  yz xyz  x  y   xyz  xyz xyz 1     x yz x y z  (vì xyz  ) 0,5đ B M P E A N F K Q C Kẻ MP  AB P, MQ  AC Q Kẻ Ex // AC, EC cắt MQ K cắt MF N Do  EMF = 450 nên tia ME, MF nằm hai tia MP MQ  S MEN  S MEK  S MPEK S FEN  S QEK  SQAEK ( S FEN  S QEK có chiều cao đáy EN bé đáy EK) 1 Suy ra: S MEN  S FEN  S APMQ  S MEF  S APMQ (*) 2 Chứng minh được: S MAP  S MAB S MAQ  S MAC  S APMQ  S ABC (**) Từ (*) (**) ta có: S MEF  S ABC Gv: Nguyễn Văn Tú DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán B P O I A Q K C M Gọi P,Q trung điểm AB,AC Giao điểm OA PQ I AB AC hai tiếp tuyến nên AB = AC AO tia phân giác  BAC   PAQ cân A AO  PQ Áp dụng Pitago ta có: MK2 = MO2 – R2 (  MKO vuông K) MK2 = (MI2 + OI2) – R2 (  MOI vuông I) MK2 = (MI2 + OI2) – (OP2 – PB2) (  BOP vuông B) MK2 = (MI2 + OI2) – [(OI2 + PI2) – PA2] (  IOP vuông I PA = PB) MK2 = MI2 + OI2 – OI2 + (PA2 – PI2) MK2 = MI2 + AI2 (  IAP vuông I) MK2 = MA2 (  IAM vuông I)  MK = MA PHÒNG GD&ĐT PHÚ GIÁO TRƯỜNG THCS AN BÌNH 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN (Thời gian : 120 phút)   x 3  Bài 1(1,5đ): Cho biểu thức Q      1    x  x  x  27   x  a/ Rút gọn Q b/ Tính giá trị Q x   2010 Bài 2(1đ): Rút gọn biểu thức M     Bài 3(1đ): Chứng minh với a,b,c ta có a  b  c  ab  bc  ac Bài 4(2đ):a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 b/ Cho x +2y = T ìm giá trị lớn B=xy Bài 5(2đ): Giải phương trình 2 x2   x2  x   b/ x   x   Bài 6(2,5đ): Cho hình vng cạnh a Đường trịn tâm O, bán kính a cắt OB M D điểm đối xứng 2 O qua C Đường thẳng Dx vng góc với CD Gv: Nguyễn Văn Tú DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán · D cắt CM E CA cắt Dx F Đặt   MDC · Tính độ dài DM, CE theo a  a/ Chứng minh AM phân giác FCB b/ Tính độ dài CM theo a Suy giá trị sin  Nội dung Bài 1(1,5đ) 2(1đ) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM a.(1đ)   x 3      1 A =   x x  x  x  27    ĐKXĐ: x  0; x    x  x   3   =     3x  x  x  ( x  )( x  x  3)     x  x   ( x  3)    =    3x  ( x  )( x  x  3)    x b (0,5 đ) Thay x = +2010 vào A ta có: 1 A   x 3  2010  2010 Biểu chấm 0.25 0.25 0.25 0.25 0,5 Rút gọn biểu thức M     M  4  4 0.25 0.25 8 82 M  2 M M 1   2  1   0.25 0.25 1 7 1  2 M Gv: Nguyễn Văn Tú DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán 3(1đ) a  b  c  ab  bc  ac 0.25  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ac 2  a  2ab  b  b  2bc  c  a  2ac  c    a  b  b  c    a  c   4(2đ) 0.25 0.5 a/ Cho a + b = 2.T ìm giá trị nhỏ A = a2 + b2 ab  2b  2a A  a2    a  A  2a  4a   A A  2a  2a  2a    2 2 2 A2 Amin  x  2y   x  8 2y B  y 8  y   y  y  y   2 y.2   2   8 2y  2  b/     2  8  Bmax  5(2đ) a / x2   x2  x   0.5  0.25  x  3   x 3  x 3    x  3  x     x   x    ptvn nghiệm pt x=3 b / x2   x2   0.25 x2    x2  4  0.25 t   t  t   t2  t    t  x  2 0.25 0.5 x Gv: Nguyễn Văn Tú DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán 6(2.5đ) E 0.5 F A D B M O O C ·  900 a/vì M thuộc đường trịn tâm O đuờng kính CD nên CMD · · Mà CA  OB (đuờng chéo hình vng ) nên MCA  MCB ( góc có cạnh vng góc) · ·  MCA  MCB Do MC tia phân giác ·ACB Ta thấy   ECF · · · ACM    MDC · DMC vng M có MDC   CD=2a nên DM cos    DM  DC.cos  DC DEC vng D có DM đường cao nên CE.CM=CD2 (1) Mà CM  CD sin   CM  2a sin  CD 2a Từ (1) ta có CE   CM sin  b/ gọi I tâm hình vng OABC ta có  2 IM  OM  OI  IM  a 1     a2 2a 2 2  CM  IM  IC  CM  2  4    0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25  MIC vuông I  a 2   CM  a sin Phòng GD- ĐT vĩnh t­êng Tr­êng THCS vò di ========== CM 2  CD Đề thi khảo sát học sinh giỏi Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ®Ị ) Bµi (1,5 ®iÓm) Gv: Nguyễn Văn Tú DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Tốn Rót gän c¸c biĨu thøc sau : 1 1 a)A = + + + 1 5 9  13 2001  b) B = x3 - 3x + 2000 víi x = 32 + 2005 + 2005  2009 32 Bài (2,0 điểm) Giải phương trình sau: a) 3x2 + 4x + 10 = 14 x  b) 4  x  x  16  x   x  y  y    y c) x4 - 2y4 – x2y2 – 4x2 -7y2 - = 0; (với x ; y nguyờn) Bài 3: (2,0 điểm) ab a) Chứng minh r»ng víi hai sè thùc bÊt k× a, b ta lu«n cã:    ab   Dấu đẳng thức xảy ? b) Cho ba số thực a, b, c không âm cho a  b  c  Chøng minh: b c 16abc Dấu đẳng thức xảy ? c) Với giá trị cđa gãc nhän  th× biĨu thøc P  sin cos có giá trị bé ? Cho biết giá trị bé Bài 4: (1,5 điểm) Một đoàn học sinh cắm trại ô tô Nếu ô tô chở 22 người thừa người Nếu bớt ô tô phân phối tất học sinh lên ô tô lại Hỏi có học sinh cắm trại có ô tô ? Biết ô tô chở không 30 người Bài ( 3,0 điểm ) 1)Cho hình thoi ABCD cạnh a , gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD ABC 1 a) Chøng minh :   R r a 8R3r b) Chøng minh : S ABCD  2 ; ( KÝ hiÖu S ABCD diện tích tứ giác ABCD ) (R  r ) BC ·  1080 Chøng minh : 2) Cho tam giác ABC cân A có BAC số vô tỉ AC =============================================== Phòng GD- ĐT vĩnh tường Hd chấm Đề thi khảo sát học sinh giỏi (10 - 2010) Trường THCS vũ di Môn: Toán - Bài Gv: Nguyn Vn Tỳ Cho điểm Sơ lược lời giải DeThiMau.vn Trng THCS Thanh M Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Tốn Bµi 1.b (1,5 đ) a áp dụng công thức (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), với a= 3  2 , b= 3  2 biến đổi => x3 = + 3x Suy B = 2006 1 9 13  2005  2001 2009  2005 Cã A = + + + + + 1 95 13  2005  2001 2009  2005 Rót gọn, A = Bài 2a (2,0đ) Gii, xỏc nh điều kiện: x   2 ;x  2  x  x   x   2 x   =  ( x  2)  ( x   7)   x  2  x        x   x  (Thỏa mãn)   x  2  x    c Bài 3a (2,0đ) 0,75 2009 b 0,75 0,25 4  x  (1)  (2)  x  16  Điều kiện :  (3) 4 x    x2  y  y   (4)  Từ (2)  (x2 – 4)(x2 + 4)   x   kết hợp với (1) (3) suy x = Thay vào (4): y2 – 2y +  ; Đúng với giá trị y Thay x = vào phương trình giải đúng, tìm y = 1,5 Vậy nghiệm phương trình: (x = 2; y = 1,5) Biến đổi đưa pt dạng: (x2 – 2y2 – 5)(x2 + y2 +1) =  x2 – 2y – =  x2 = 2y2 +  x lẻ ฀฀t x = 2k + ; ( k  Z )  4k2 + 4k +1 = 2y2 +  2y2 = 4k2 + 4k –  y2 = 2(k2 + k – 1)  y ch฀n ฀฀t y = 2n; (n  Z )  4n2 = 2(k2 + k – 1)  2n2 + = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k k + hai số nguyên liên tiếp)  (*) vô nghiệm  pt cho vô nghiệm Ta cã: 0,25 0,25 0.5 0,25 0,25 0,25 a  2ab  b a  2ab  b  ab  ab   ab    4   a  b   0, a, b  R 0,25  ab VËy:    ab, a, b  R   a  b   4ab, a, b R Dấu đẳng thức xảy a b Theo kết câu 3.a, ta cã: 2  a  b  c    a   b  c    4a  b  c  Gv: Nguyễn Văn Tú Trường THCS Thanh Mỹ b DeThiMau.vn 0,25 0,25 Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán mà a b c (giả thiÕt) nªn:  4a  b  c   b  c  4a  b  c (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) Nhưng: b c 4bc (không âm) Suy ra: b c 16abc a  b  c 1 DÊu đẳng thức xảy khi: bc , a  bc 0,25 0,25 Ta cã: c P  sin   cos    sin     co s   3 P   sin   cos   sin   sin  cos   cos   P   sin   cos    3sin  cos    3sin  cos  0,25 ¸p dơng kết câu 3.1, ta có: sin  cos    4sin  cos    4sin  cos   sin  cos   Suy ra: P   3sin  cos    Do ®ã: Pmin   Bài (1,5đ) Bài (3,0đ)  4 0,25 vµ chØ khi: sin   cos   sin   cos (vì góc nhọn) sin   tg     450 cos 0,25 + Gọi số ô tô lúc đầu x ( x nguyên x 2) 0,25 Số học sinh cắm trại là: 22x + 0,25 + Theo giả thiết: Nếu số xe x số học sinh phân phối cho tất xe, xe chở số học sinh y (y số nguyên < y  30) 22 x  23 + Do ®ã ta có phương trình: x y 22 x   y   22  x x 0,25 + Vì x y số nguyên dương, nên x phải ước số 23 Mà 23 nguyên tố, nên: x    x  hc x   23  x  24 0,25  NÕu x  th× y  22  23 45 30 (trái giả thiết) Nếu x  24 th× y  22   23 < 30 (thỏa điều kiện toán) 0,25 + Vậy số ô tô là: 24 tổng số học sinh cắm trại là: 22 24  23  23  529 häc sinh 0,25 Tø giác ABCD hình thoi nên AC 0,25 B đường trung trực đoạn thẳng BD,BD E đường trung trùc cđa AC.Do vËy nÕu gäi M M,I,K lµ giao điểm đường trung trực O C đoạn thẳng AB với AB,AC,BD ta A I có I,K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADB,ABC K Từ ta có KB = r IB = R.LÊy mét D ®iĨm E ®èi xøng víi ®iĨm I qua M , Ta có BEAI hình thoi ( có hai đường chéo Gv: Nguyn Vn Tỳ 10 DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo ỏn BDHSG Toỏn 1a EI AB vuông góc với cắt trung điểm đường ) · · · · ·  ·ABO  900 Ta cã BAI  EBA mµ BAI  ABO  90  EBA ·  900 ,®­êng cao BM.Theo hệ thức tam giác vuông ta có Xét EBK cã EBK 0,25 0,25 1   2 BE BK BM a 1 Nên (Đpcm) R r a XÐt AOB vµ AMI cã ·AOB  ·AMI  90 vµ µ A chung AOB : AMI Mµ BK = r , BE = BI = R; BM = 1b  0,25 0,25 AO AM AM AB AB   AO   AB AI AI 2R Chứng minh tương tự ta BO BM AB AB  BK 2r AB 4 Rr Mà theo định lí Pi ta go tam giác vuông AOB ta có 1 4R r  AB  OA2  OB  AB     AB  2 r  R r R Ta cã S ABCD  AO.OB  Tõ ®ã ta cã : S ABCD 0,25 0,25 0,25 8R3r  2 (R  r ) 0,25 B A x C D · , tia Cx cắt đường thẳng AB D.Khi Kẻ tia Cx cho CA tia phân giác BCx à ®ã Ta cã DCA  ·ACB  360  DCA cân C , BCD cân B AB AC DC Theo tính chất đường phân giác tam gi¸c BCD ta cã CB AB BC CA    ; BC  BD CD AD CA BD  CA BC CA    BC ( BC  CA)  CA2  BC  BC.CA  CA2  CA BC  CA 2 0,25  BC   BC   BC         1     CA   CA   CA  0,25 BC BC  BC ( Vì 0) Vậy số vô tØ  CA CA AC 0,25 PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN -Gv: Nguyễn Văn Tú KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ Mỹ CHÍNH THỨC Trường THCS Thanh 11 DeThiMau.vn Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán Bài 1(4đ) a) Tính tổng: 2 2     15 35 63 399 a c b) Cho a, b, c, d số dương  Hãy trục thức mẫu biểu thức sau: b d a b c d P Bài 2: (4đ) a) (2đ) Biết a,b số thoả mãn a > b > a.b = a  b2 2 Chứng minh : a b b) (2đ) Tìm tất số tự nhiên abc có chữ số cho : abc  n  với n số nguyên lớn  cba   n   Bài 3: (4đ) a) (2đ) Phân tích thành nhân tử: M = x   x  x  x  với x  b) (2đ) Giải phương trình x  26  x  x   Bài 4: (2.đ) Cho đường thẳng (d) có phương trình: x(m  2)  (m  3) y  m  a) (0,5đ) Xác định m để đường thẳng (d) qua điểm P(-1;1) b) (1,5đ) Chứng minh m thay đổi đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài 5: (2 đ) Cho  ABC điểm M nằm  ABC cho AM2 = BM2 + CM2 Tính số đo góc BMC ? Bài 6: (4,0 đ) Cho nửa đường trịn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm A di động trện nửa đường tròn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a) Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 b) Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R HẾT -Bài 1(4đ, điểm) a) 2 2 P      15 35 63 399 Gv: Nguyễn Văn Tú ĐÁP ÁN 12 DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán  2 2     3.5 5.7 7.9 19.21 1 1 1 1          5 7 19 21 1   21  b) 1  a  b  c  d ( a  d )  ( b  c)  ( a  d )  ( b  c) ( a  d )  ( b  c )  ( a  d )  ( b  c )     a d  b c a  d  ad  (b  c  bc ) a d  b c  a  d  ad  b  c  bc (0,5 điểm)   Bài 2: a d  b c a  d bc (0,5 điểm) (0,5 điểm) a c      ad  bc  ad  bc  (0.5 điểm) b d   ( điểm ) a  b  a  b   2ab  a  b   2 * Vì a.b = nên (1đ)    a  b  a b a b a b a b * Do a > b > nên áp dụng BĐT Cô Si cho số dương 2 Ta có :  a  b    a  b  a b a b 2 a b Vậy 2 ( 1đ ) a b 1) ( đđiểm ) abc  100a  10b  c  n  Viết  cba  100c  10b  a  n  4n  Từ (1) (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – => 4n – M99 (3) ( 0,75 đ ) 2 Mặt khác : 100  n   999  101  n  1000  11  n  31 (4) ( 0,75đđ )  39  4n   119 Từ (3) (4) => 4n – = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc  675 ( 0,5 đ ) Bài 3(4đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 13 DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán a) (2 điểm) M = x   x  x  x  với x   x  1(  x  x  1) (0,25đ) 25 (0,5đ)   x  1( x   x    ) 4  1 25    x   x      (0,5đ) 2       x 1 x 1    x 1  x 1  x 1  x 1    (0,5đ) (0,25đ) b) (2đ) Giải phương trình x  26  x  x   (1) Ta nhận thấy x = nghiệm PT (1) (0,75đ) Với  x  thì: x  26  x  x   12  26     Nên PT vô nghiệm với  x  Với x >1 Thì: x  26  x  x   12  26     Nên PT vô nghiệm với x >1 Vậy PT (1) có nghiệm x = (0,5đ) (0,5đ) (0,25đ) Bài 4: (2 điểm) a) Vì đường thẳng (d) qua P(-1;1) nên (m  2).(1)  (m  3).1  m   5  m   m  (0,5 điểm) b) Gọi  x0 ; y0  tọa độ điểm cố định mà (d) qua Ta có: (m  2) x0  (m  3) y0  m  m (0,5đ)  ( x0  y0  1)m   x0  y0    m  x0  y0    x0  1   2 x0  y0    y0  Vậy điểm cố định mà (d) qua (-1;2) (1đ) Bài 5: Vẽ tam giác CMN  BCN  ACM  BN  AM (1 điểm) mà AM  BM  CM  BN  BM  MN  BMN vuông M · · ·  BMC  BMN  NMC  900  600  1500 (1 điểm) Bài 6: (4,0 đ) a) Chứng minh: AB EB + AC EH = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật (1,0 đ) Gv: Nguyễn Văn Tú 14 DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán AB EB = HB2 AC EH = AC AD = AH2 => ĐPCM (1 điểm) AD  AE DE AH b) S(ADHE)= AD.AE  (0,75 đ)   2 A E 2 AH AO R   2 2 R Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE Hay A điểm cung AB  S(ADHE)  UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT (0,75 đ) D (0,5 đ) C H O KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: 2x  x  x2   x  với x   Bài 2: (2.5 điểm) Giải phương trình: a x  x  x  x   2 b x  3x   x   x   x  x  Bài 3: (2.0 điểm) a Chứng minh phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) M Trên cung nhỏ MC (O) lấy Gv: Nguyễn Văn Tú 15 DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ B Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán điểm D AD cắt (O) điểm thứ hai E I trung điểm DE Đường thẳng qua D vng góc với BO cắt BC H cắt BE K a Chứng minh bốn điểm B, O, I, C thuộc đường tròn b Chứng minh  ICB =  IDK c Chứng minh H trung điểm DK Bài 5: ( 1.0 điểm) Cho A(n) = n2(n4 - 1) Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với số tự nhiên n UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC - VỊNG II Bài 1: (2.0 điểm) a) Chứng minh bất đẳng thức: 1 Với a; b số dương   a b ab b) Cho x; y hai số dương x  y  Tìm giá trị nhỏ P ; xy M  xy x  y Bài 2: (2.0 điểm)  x  y  11 Giải hệ phương trình:   x  xy  y   Bài 3: (2.0 điểm) Hình chữ nhật ABCD có M, N trung điểm cạnh AB, CD Trên tia đối tia CB lấy điểm P DB cắt PN Q cắt MN O Đường thẳng qua O song song vơi AB cắt QM H a Chứng minh HM = HN b Chứng minh MN phân giác góc QMP Bài 4: (3.0 điểm) Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB EF dây cung di động nửa đường tròn cho E thuộc cung AF EF = R AF cắt BE H AE cắt BF C CH cắt AB I a Tính góc CIF b Chứng minh AE.AC + BF BC không đổi EF di động nửa đường trịn c Tìm vị trí EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn Tính diện tích Bài 5: (1.0 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 16 DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Tốn Tìm ba số ngun tố mà tích chúng năm lần tổng chúng KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHỊNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I Bài 1: (1.5 điểm) Thực tính: 2x  x  x2   x   với x   x   x   ( x  2)( x  2)  ( x  2)( x  2)  x  Thay x   vào được: 23 ( x   x  2) x  2( x   x  2)  (  2)2  3  x2  3 0,75 0,75 Bài 2: (2.5 điểm) Giải phương trình: a x  x  x  x   2 x  5x   x  5x   0,50 Đặt y  x  x  (y  0) được: y2 - y - = Giải phương trình được: y1 = -1 (loại); y2 = Với y = giải x  x   x1 = 0; x2 = -5 Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm Ghi chú: Có thể đặt y = x2 + 5x Lúc cần đặt điều kiện bình phương hai vế b 0,25 0,25 0,25 x  3x   x   x   x  x  ( x  1)( x  2)  x   x   ( x  1)( x  3) 0,25 x  1( x   x  )  x   x   0,50 ( x   x  )( x   1)  0,25 x   x   vô nghiệm; x    x = Thử lại (hoặc đối chiếu với điều kiện) kết luận nghiệm 0,25 Bài 3: (2.0 điểm) a.Chứng minh Phương trình (n+1)x2 + 2x - n(n+2)(n+3) = ln có nghiệm hữu tỉ với số n nguyên n =-1: Phương trình có nghiệm Với n  -1  n+10 Gv: Nguyễn Văn Tú 17 DeThiMau.vn 0,50 Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán ’= 1+ n(n+2)(n+3)(n+1) = 1+ (n2 + 3n)(n2+3n+2) = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + =(n2 + 3n + 1)2 ’ nên phương trình ln có nghiệm ’ phương, hệ số số nguyên nên nghiệm phương trình số hữu tỉ b Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2009x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2010x + = Tính giá trị biểu thức: (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) Giải: Chứng tỏ hai phương trình có nghiệm Có: x1x2 = x3x4 = x1+x2 = -2009 x3 + x4 = -2010 Biến đổi kết hợp thay: x1x2 = 1; x3x4 = (x1+x3)(x2 + x3)(x1-x4)(x2-x4) = (x1x2 + x2x3 - x1x4 -x3x4 )(x1x2+x1x3-x2x4-x3x4) = (x2x3 - x1x4 )(x1x3-x2x4 ) = x1x2x32 - x3x4x22 - x3x4x12+x1x2x42 = x32 - x22 - x12 + x42 = (x3 + x4 )2 - 2x3x4 -( x2+ x1)2 + 2x1x2 = (x3 + x4 )2 -( x2+ x1)2 Thay x1+x2 = -2009; x3 + x4 = -2010 : 20102 - 20092 =2010+2009 =4019 Ghi chú: Có thể nhân theo nhóm [(x1+x3)(x2 + x3)].[(x1-x4)(x2-x4)] Bài 4: ( 3.0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 B K M A O H D I E C OB  BA; OC  CA ( AB, AC tiếp tuyến) OI  IA (I trung điểm dây DE)  B, O, I, C thuộc đường trịn đường kính AO ICB = IAB ( Cùng chắn cung IB đường trịn đường kính AO) (1) DK // AB (Cùng vng góc với BO)   IDK = IAB Từ (1) (2) được:  ICB =  IDK  ICB =  IDK hay  ICH =  IDH  Tứ giác DCIH nội tiếp  HID =  HCD  HCD =  BED (Cùng chắn cung DB (O))  HID =  BED  IH // EB  IH đường trung bình DEK  H trung điểm DK (Mỗi bước cho 0,25 điểm) Gv: Nguyễn Văn Tú 18 DeThiMau.vn 0,75 1.0 (2) 1,25 Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán Bài 5: ( 1.0 điểm) Chứng minh A(n) = n2(n4 - 1) chia hết cho 60 với số tự nhiên n - A(n) = n.n(n2 - 1)( n2 + 1) = n.n(n - 1)(n+1)( n2 + 1) Do n(n - 1)(n+1) chia hết A(n) chia hết cho với n - A(n) = n2(n4 - 1) = n(n5 - n) Do n5 - n chia hết cho theo phecma nên A(n) chia hết cho với n - Nếu n chẵn  n2 chia hết cho  A(n) chia hết cho Nếu n lẻ  (n-1)(n+1) tích hai số chẵn nên chia hết cho  A(n) chia hết cho với n - Ba số 3,4,5 đôi nguyên tố nên A(n) chia hết cho 3.4.5 hay A(n) chia hết cho 60 0,25 0,25 0,25 0,25 (Mỗi bước cho 0,25 điểm) UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II Bài 1: (2.0 điểm) a Chứng minh bất đẳng thức: 1   Với a; b số dương a b ab b Cho x; y hai số dương x  y  Tìm giá trị nhỏ P ; xy M  xy x  y 1 ab 2      a  b   4ab  a  b   a b ab ab ab x y 4 P    2 xy xy 2( x  y ) 2.1 P đạt giá trị nhỏ tại: x = y = 1 hoặc: xy  x  y  xy  ( x  y )  xy   4 2 xy xy 4.3 4.3 M  =        12  14 2 xy x  y xy x  y xy x  xy  y xy ( x  y ) 1 đạt GTNN x = y = xy 3 1  đạt GTNN x = y = Nên M đạt GTNN x = y = 2 xy x  y 2 Gv: Nguyễn Văn Tú 19 DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ 0,50 0,50 0,25 0,50 0,25 Năm học: 2012-2013 Giáo án BDHSG Toán Bài 2: (2.0 điểm)  x  y  11 Giải hệ phương trình:   x  xy  y    S  P  11 - Đặt S = x + y; P = xy được:  S  P   0,25 -  S  S  (17  )  0,25 0,25 0,25 - Giải phương trình S1   ; S  5  - S1   P1  ; S  5  P2   - Với S1   ; P1  có x, y hai nghiệm phương trình: 0,25 X  (3  ) X   - Giải phương trình X  3; X  0,25 - Với S  5  P2   có x, y hai nghiệm phương trình: 0,25 X  (5  ) X    Phương trình vơ nghiệm  x  x  - Hệ có hai nghiệm:  ;  y   y  0,25 Bài 3: (2.0 điểm) -Chứng tỏ MBND hình bình hành  O trung điểm MN - OH // AB  OH  MN - HMN cân H (Trung tuyến vừa đường cao)  HM = HN HQ OQ - OH // BM được:  HM OB OQ NQ - ON // BP được:  OB NP HQ NQ    NH//PM HM NP   HNM =  NMP   HMN =  NMP  MN phân giác góc QMP A M B 0,75 H O Q C 1,25 D N P Mỗi bước cho 0,25 điểm Bài 5: (1.0 điểm) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng Giải: Gọi a,b,c ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số ngun tố abc chia hết có số Gv: Nguyễn Văn Tú 20 DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ 0,25 ... GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN -Gv: Nguyễn Văn Tú KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ Mỹ CHÍNH THỨC Trường THCS Thanh 11 DeThiMau.vn Năm học: 2012-2013... CD Đề thi khảo sát học sinh giỏi Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kĨ thêi gian giao ®Ị ) Bài (1,5 điểm) Gv: Nguyn Vn Tỳ DeThiMau.vn Trường THCS Thanh Mỹ Năm học: ... S(ADHE)  UBND HUYỆN QUẾ SƠN PHÒNG GD&ĐT (0,75 đ) D (0,5 đ) C H O KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC