Toán học Đại số sơ cấp45280

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM HOÀNG HUY SƠN ĐẠI SỐ SƠ CẤP AN GIANG, THÁNG 02 NĂM 2009 DeThiMau.vn LỜI NÓI ĐẦU Tài liệu “Đại số sơ cấp” viết nhằm phục vụ sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán Nội dung tài liệu đề cập đến vấn đề: Hàm số đồ thị; Phương trình hệ phương trình; Bất đẳng thức bất phương trình Một số nội dung đề cập tài liệu, sinh viên học sơ lược chương trình Tốn phổ thơng Tuy nhiên, để trở thành thầy giáo dạy tốt mơn Tốn trường, địi hỏi sinh viên phải nắm vững lý thuyết hoàn thiện phương pháp giải toán sơ cấp Xuất phát từ u cầu trên, chúng tơi cố gắng trình bày tương đối có hệ thống sở lý thuyết khái niệm: Hàm số; Phương trình; Bất đẳng thức; Bất phương trình; Hệ phương trình Các nội dung chiếm phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng như: Phương trình, bất phương trình vơ tỉ; Phương trình, bất phương trình mũ logarit; Phương trình lượng giác, chúng tơi trình bày thành chương riêng để sinh viên dễ nghiên cứu Tài liệu trình bày thành chương: Chương 1: Hàm số; Chương 2: Phương trình – Hệ phương trình; Chương 3: Bất đẳng thức – Bất phương trình; Chương 4: Phương trình, bất phương trình vơ tỉ; Chương 5: Phương trình, bất phương trình mũ logarit; Chương 6: Phương trình lượng giác Một yêu cầu quan trọng giải tốn là: Việc trình bày giải phải chặt chẽ logic Để rèn cho sinh viên kỹ đó, chúng tơi cố gắng đưa vào tài liệu nhiều ví dụ thực hành giải tốn Các ví dụ chiếm khối lượng đáng kể tài liệu, giúp sinh viên tự nghiên cứu tài liệu trước đến lớp Điều phù hợp với phương thức đào tạo theo hệ thống tín trường Đại học An Giang từ năm học 2009 – 2010 Cuối chương có hệ thống tập lựa chọn, nhiều số lượng, đủ mức độ từ dễ đến khó (đối với số khó, chúng tơi có hướng dẫn cách giải), yêu cầu sinh viên tự giải để rèn kỹ tìm lời giải tốn Với khối lượng quy định đơn vị học trình, tài liệu khơng thể đề cập hết tất dạng toán hay gặp nội dung phương trình, bất phương trình hệ phương trình số tài liệu khác Chúng mong muốn sinh viên tự tổng kết đúc rút cho kỹ giải tốn thơng qua tự giải tập tài liệu Cuối cùng, mong nhận ý kiến đóng góp q báu cho nội dung hình thức trình bày tài liệu bạn đồng nghiệp Bộ mơn Tốn Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm bạn sinh viên để tài liệu hồn chỉnh tốt An Giang, tháng 02 năm 2009 Tác giả DeThiMau.vn MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU CHƯƠNG I HÀM SỐ §1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa hàm số Đồ thị hàm số Hàm số đơn điệu Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số tuần hoàn Hàm số hợp 10 Hàm số ngược 11 Hàm số sơ cấp 13 §2 MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 18 Trục đối xứng, tâm đối xứng đồ thị 18 Phép đối xứng qua trục tọa độ 21 Phép tịnh tiến song song trục tung 21 Phép tịnh tiến song song trục hồnh 21 Một số ví dụ 22 Đồ thị số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 23 §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 28 Định nghĩa 28 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 28 Một số ví dụ 29 BÀI TẬP CHƯƠNG I 37 CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH 42 §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 42 Phương trình 42 Hệ phương trình – Tuyển phương trình 45 §2 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN 46 Phương trình bậc ẩn 46 Phương trình bậc hai ẩn 50 Một số phương trình bậc bốn đưa phương trình bậc hai ẩn 55 §3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 59 Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai 59 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai 61 Hệ phương trình đối xứng 63 Giải số hệ khác 71 BÀI TẬP CHƯƠNG II 78 CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH 85 §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC 85 Định nghĩa 85 Tính chất bất đẳng thức 85 Một số bất đẳng thức quan trọng 86 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức 86 §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH 96 Định nghĩa 96 Sự tương đương bất phương trình 97 Ứng dụng giá trị lớn giá trị nhỏ vào việc giải phương trình bất DeThiMau.vn phương trình §3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN Bất phương trình bậc ẩn Bất phương trình bậc hai ẩn BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ §1 PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Định nghĩa định lý Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ §2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Định nghĩa định lý Các phương pháp giải bất phương trình vơ tỉ BÀI TẬP CHƯƠNG IV CHƯƠNG V PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT §1 NHẮC LẠI KHÁI NIỆM LOGARIT Định nghĩa Các tính chất logarit §2 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Định nghĩa Một số phương pháp giải phương trình mũ Một số phương pháp giải bất phương trình mũ §3 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Định nghĩa Một số phương pháp giải phương trình logarit Một số phương pháp giải bất phương trình logarit BÀI TẬP CHƯƠNG V CHƯƠNG VI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 CÁC CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Cơng thức cộng Công thức nhân Công thức biến đổi tích thành tổng Cơng thức biến đổi tổng thành tích §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sin x = a Phương trình cos x = a Phương trình tan x = a Phương trình cot x = a §3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao hàm số lượng giác Phương trình bậc sin x cos x Phương trình bậc hai đố i với sin x cos x Phương trình đố i xứng đố i với sin x cos x §4 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Sử dụng cơng thức hạ bậc, góc nhân đơi, góc nhân ba Dạng phân thức Dạng chứa tan x cot x Một số phương trình giải phương pháp đặc biệt Một số phương trình chứa tham số BÀI TẬP CHƯƠNG VI TÀI LIỆU THAM KHẢO DeThiMau.vn 97 98 98 101 111 116 116 116 117 132 132 133 140 146 146 146 146 147 147 147 158 166 166 166 177 184 192 192 192 192 193 193 194 194 195 195 195 196 196 197 198 200 202 202 208 209 213 214 217 220 BẢNG MỘT SỐ KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT SỬ DỤNG TRONG TÀI LIỆU ℕ : Tập hợp số tự nhiên: {0;1; 2; } ℤ : Tập hợp số nguyên: { ; −2; −1; 0;1; 2; } a  ℚ : Tập hợp số hữu tỉ:  / a, b ∈ ℤ, b ≠  b  ℝ : Tập hợp số thực ℝ* : Tập hợp số thực khác không ℝ + : Tập hợp số thực dương n ∑ : Phép lấy tổng từ đến n { / } : Tập hợp T f : Tập (miền) giá trị hàm số f Max f ( x) : Giá trị lớn hàm số f tập D x∈D Min f ( x) : Giá trị nhỏ hàm số f tập D x∈D ∈: Thuộc ⊆, ⊂: Tập ∅ : Tập hợp rỗng ∀ : Mọi ≠: Khác \: Hiệu hai tập hợp ∪ : Hợp hai tập hợp ∩ : Giao hai tập hợp n ∪ : Phép lấy hợp từ đến n n ∩ : Phép lấy giao từ đến n ∨ : Hoặc (tuyển hai mệnh đề) ⇒: Phép kéo theo, phương trình hệ ⇔: Phép tương đương (khi khi), phương trình tương đương Đpcm: Kết thúc chứng minh, điều phải chứng minh DeThiMau.vn CHƯƠNG I HÀM SỐ §1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ Định nghĩa Giả sử X Y hai tập hợp tùy ý Nếu có quy tắc f cho tương ứng mỗ i x ∈ X với y ∈ Y ta nói f hàm từ X vào Y , kí hiệu f : X →Y x ֏ y = f ( x) Nếu X , Y tập hợp số f gọi hàm số Trong chương xét hàm số thực biến số thực, nghĩa X ⊆ ℝ ; Y ⊆ ℝ X gọi tập xác định (hay miền xác định) hàm số f (Người ta hay dùng kí hiệu tập xác định hàm số D ) Số thực x ∈ X gọ i biến số độc lập (gọi tắt biến số hay đố i số) Số thực y = f ( x ) ∈ Y gọi giá trị hàm số f điểm x Tập hợp tất giá trị f ( x ) x lấy mọ i số thực thuộc tập hợp X gọi tập giá trị (miền giá trị) hàm số f kí hiệu T f , (như T f = { f ( x ) | x ∈ X } = f ( X )) Hiển nhiên T f ⊆ Y Chú ý T f tập hợp thực Y tập Y Trong nhiều trường hợp, người ta cho hàm số f dạng x ֏ f ( x ) y = f ( x ) mà không nêu rõ tập xác định X tập hợp Y chứa tập giá trị f Khi đó, ta hiểu Y = ℝ X tập hợp số thực x ∈ ℝ cho quy tắc cho f ( x ) tồn Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) = x + Theo cách hiểu Y = ℝ; tập xác định f D = ℝ, tập giá trị f T f = { x + 1| x ∈ ℝ} = [1; +∞ ) Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = Khi đó, tập xác định D = ℝ \ {0} , tập giá trị T f = ℝ \ {0} x Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = − x Tập xác định D = [ −1;1] , T f = [ 0;1] Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số x2 − x +1 ; x2 + x + sin x + 2cos x + b y = f ( x ) = sin x + cos x + a y = f ( x ) = Giải x2 − x + a y = Hàm số có tập xác định D = ℝ x + x +1 DeThiMau.vn Giả sử y0 ∈ T f Khi y0 = x2 − x + (1) có nghiệm đố i với x x2 + x +1 (1) ⇔ y0 ( x2 + x + 1) = x − x + ⇔ ( y0 − 1) x + ( y0 + 1) x + y0 − = ( 2) Xét y0 − = ⇔ y0 = ; ( ) ⇔ x = ⇔ x = Vậy ∈ T f Xét y0 − ≠ ⇔ y0 ≠ Khi đó, (2) có nghiệm ( y0 + 1) 2 − ( y0 − 1) ≥ ⇔ −3 y02 + 10 y0 − ≥ ⇔ ≤ y0 ≤ 3 Vậy T f = [ ;3] b Tập xác định hàm số cho D = ℝ Cũng tương tự câu a y0 thuộc tập giá trị sin x + cos x + hàm số cho y0 = (1) có nghiệm đố i với x sin x + cos x + (1) ⇔ y0 ( sin x + cos x + ) = sin x + cos x + ⇔ ( y0 − 1) sin x + ( y0 − ) cos x = − y0 (1) có nghiệm ( y0 − 1) + ( y0 − ) 2 ≥ (1 − y0 ) ⇔ y02 + y0 − ≤ ⇔ −2 ≤ y0 ≤ Vậy T f = [ −2;1] Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số y = f ( x ) = cos 2x + x2 Tập xác định hàm số D = ℝ 2x , xem t hàm số biến x, áp dụng phương pháp trình bày ví dụ 4.a ta + x2 2x với x ∈ ℝ t ∈ [−1;1] Miền giá trị hàm số y = f ( x) = cos tập xác định + x2 D = ℝ miền giá trị hàm số y = cos t với t ∈ [−1;1] Từ hàm số 2x y = f ( x ) = cos có tập giá trị đoạn [ cos1;1] + x2 Đặt t = Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D, ta gọi tập hợp điểm ( x; f ( x ) ) với ∀x ∈ D đồ thị hàm số y = f ( x ) Việc biểu diễn điểm ( x; f ( x ) ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) lên mặt phẳng tọa độ Oxy gọi vẽ đồ thị hàm số Chú ý đường ( ζ ) (đường cong đường thẳng) mặt phẳng tọa độ đồ thị hàm số đó, cắt đường thẳng phương với trục Oy không điểm DeThiMau.vn Hàm số đơn điệu 3.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định tập D, khoảng ( a; b ) tập D Khi ta có Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (hay tăng) khoảng ( a; b ) , với ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (hay giảm) khoảng ( a; b ) , với ∀x1 , x2 ∈ ( a; b ) , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Một hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) ta nói hàm số đơn điệu khoảng 3.2 Một số ví dụ Ví dụ Hàm số y = x3 đồng biến toàn tập xác định ℝ Ví dụ Hàm số y = 3x + nghịch biến khoảng xác định ( −∞; ) ; ( 2; +∞ ) x−2 Dựa vào định nghĩa 3.1, dễ dàng chứng minh tính chất sau 3.3 Tính chất 3.3.1 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = f ( x ) + c (c số) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) 3.3.2 Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = kf ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) k > ; hàm số y = kf ( x ) nghịch biến (đồng biến) khoảng ( a; b ) k < 3.3.3 Nếu hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) hàm số y = f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) 3.3.4 Nếu hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) không âm khoảng ( a; b ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) , hàm số y = f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) Chú ý Đồ thị hàm số đồng biến nghịch biến khoảng ( a; b ) cắt đường thẳng phương với trục Ox nhiều điểm Giả sử hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng ( a; b ) ; hàm số y = g ( x ) nghịch biến khoảng ( a; b ) Khi khoảng (a; b), đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt không điểm Áp dụng Tìm x thỏa mãn x− = − x Để ý hàm số y = f ( x ) = x −2 hàm số đồng biến ℝ , hàm số y = g ( x ) = − x nghịch biến ℝ DeThiMau.vn Dễ thấy x = thỏa mãn phương trình cho Vậy, x = nghiệm phương trình Hàm số chẵn, hàm số lẻ 4.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D Hàm số f gọi hàm số chẵn với mọ i x ∈ D , ta có − x ∈ D f ( − x ) = f ( x ) Hàm số f gọi hàm số lẻ với mọ i x ∈ D , ta có − x ∈ D f ( − x ) = − f ( x ) 4.2 Một số ví dụ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = x + − − x Tập xác định hàm số [ −1;1] nên dễ thấy ∀x, x ∈ [−1;1] ⇒ − x ∈ [−1;1] f ( − x ) = − x − + x = − ( ) + x − − x = − f ( x ) Vậy f hàm số lẻ x2 +1 Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = x +1 Tập xác định D = ℝ \ {−1} Ta có ∈ D −1 ∉ D, nên hàm số cho hàm số chẵn hàm số lẻ Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = x + x + + x − x + Tập xác định D = ℝ, nên ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D Ta có ∀x ∈ D, f ( − x ) = 2 (−x) + (−x) +1 + (−x) − (−x) +1 = x − x + + x + x + = f ( x ) Vậy hàm số cho hàm số chẵn Ví dụ Xét tính chẵn, lẻ hàm số y = f ( x ) = x − x Tập xác định D = ℝ, x ∈ D − x ∈ D Nhưng f (1) = −3 ; f ( −1) = 5, nên f (1) ≠ ± f ( −1) Vậy, f hàm số chẵn hàm số lẻ 4.3 Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D hàm số chẵn có đồ thị ( G ) Với mỗ i điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị ( G ) , ta xét điểm đố i xứng với qua trục tung M ' ( − x0 ; y0 ) Từ định nghĩa hàm số chẵn, ta có − x0 ∈ D f ( − x0 ) = f ( x0 ) Do M ∈ G ⇔ y0 = f ( x0 ) ⇔ y0 = f ( − x0 ) ⇔ M ' ∈ ( G ) Điều chứng tỏ ( G ) có trục đối xứng trục tung DeThiMau.vn Nếu f hàm số lẻ lí luận tương tự, ta ( G ) có tâm đối xứng gốc tọa độ O Hàm số tuần hoàn 5.1 Định nghĩa Hàm số y = f ( x ) có tập xác định D gọi hàm số tuần hoàn tồn số dương T cho với mọ i x ∈ D ta có i ) x + T ∈ D x − T ∈ D ; ii ) f ( x ± T ) = f ( x ) Số nhỏ (nếu có) số T có tính chất gọi chu kỳ hàm số tuần hoàn f ( x) 5.2 Một số ví dụ Ví dụ Các hàm số lượng giác y = cos x ; y = sin x hàm số tuần hồn có chu kỳ T = 2π Các hàm số lượng giác y = tan x ; y = cot x hàm số tuần hồn có chu kỳ T = π Ví dụ Chứng minh hàm số sau hàm số tuần hoàn y = f ( x ) = x4 + x3 ; y = g ( x) = 2x − ; y = h ( x) = x3 x2 − Giải x = + Xét f ( x ) = ⇔ x + x = ⇔   x = −2 Nếu hàm số y = f ( x) = x + x hàm số tuần hồn tồn số T > cho f ( + T ) = f ( ) = 0, suy T > nghiệm f ( x), vô lý Vậy, hàm số f ( x ) hàm số tuần hoàn + Hàm số y = g ( x ) = x − khơng phải hàm số tuần hồn, lập luận giống hàm số f ( x ) x3 có tập xác định D = ℝ \ {−2; 2} Giả sử hàm số h( x) hàm số x2 − tuần hồn tồn số thực dương T cho với ∀x ∈ D ⇒ x ± T ∈ D Do D = ℝ \ {−2; 2} , + Hàm số y = h( x) = nên + T thuộc D suy = (2 + T ) − T ∈ D, vô lý Vậy hàm số h( x) hàm số tuần hồn Chú ý Chúng ta có số dấu hiệu để nhận biết hàm số cho hàm số tuần hồn, chẳng hạn ta có hai dấu hiệu sau + Nếu hàm số có tập xác định dạng D = ℝ \ A, với A tập hợp hữu hạn hàm số khơng phải hàm số tuần hồn + Nếu phương trình f ( x ) = k có nghiệm, số nghiệm số hữu hạn, hàm số 10 DeThiMau.vn y = f ( x ) khơng phải hàm số tuần hồn Ví dụ Cho hàm số π  , x = + k π; k ∈ ℤ 0 y = f ( x) =  π  , x ≠ + k π; k ∈ ℤ 2  + tan x Chứng minh hàm số y = g ( x ) = f ( x ) + f ( ax ) hàm số tuần hoàn, a số hữu tỉ Giải Dễ dàng chứng minh f ( x ) hàm số tuần hoàn Điều kiện đủ Nếu a số hữu tỉ a = p với p, q ∈ ℤ, q > Khi có số dương T = qπ q thỏa g ( x + qπ ) = f ( x + qπ ) + f ( ax + aqπ ) = f ( x ) + f ( ax + pπ ) = f ( x ) + f ( ax ) = g ( x ) Chứng minh tương tự ta g ( x − qπ ) = g ( x ) Chứng tỏ hàm số g ( x ) hàm số tuần hoàn 1 + = Nếu tồn 2 x0 ≠ cho g ( x0 ) = f ( x0 ) + f ( ax0 ) = 1, ≤ f ( x ) ≤ với mọ i x, nên suy f ( x0 ) = f ( ax0 ) = Do tan x0 = tan ( ax0 ) = Điều kiện cần Giả sử a số vô tỉ Ta thấy g ( ) = f ( ) + f ( ) = Vì x0 = mπ ax0 = nπ với m, n ∈ ℤ Do x0 ≠ nên a = ax0 nπ n = = số hữu tỉ x0 mπ m Điều mâu thuẫn với a số vô tỉ Suy phương trình g ( x ) = có nghiệm x = 0, nên g ( x) hàm số tuần hoàn Vậy, g ( x) hàm số tuần hồn a phải số vơ tỉ Hàm số hợp 6.1 Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) xác định tập D1 y = g ( x ) xác định D2 Khi ta gọi hàm số hợp hai hàm số f g kí hiệu g f xác định y = ( g f )( x ) = g  f ( x )  xác định tập D = { x ∈ D1 | f ( x ) ∈ D2 } 6.2 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) = lg x ; y = g ( x ) = x +1 x −1 Xác định hàm số hợp f g g f 11 DeThiMau.vn lg x + Giải Ta có ( g f )( x ) = g  f ( x )  = g [ lg x ] = lg x − Hàm số xác định tập (0; +∞) \{10} (f  x + 1  x +1  = lg g )( x ) = f  g ( x )  = f     x −   x −1  Hàm số xác định tập ( −∞; −1) ∪ (1; +∞ ) Ví dụ cho thấy g f ≠ f g Hàm số ngược 7.1 Định nghĩa Cho hàm số f : X →Y x ֏ y = f ( x) với mỗ i giá trị y ∈ T f = f ( X ), có x ∈ X cho f ( x ) = y, tức phương trình f ( x ) = y với ẩn x có nghiệm nhất, cách cho tương ứng với mỗ i y ∈ f ( X ) phần tử x ∈ X , ta xác định hàm số g : f (X )→ X y ֏ x = g ( y) ( x thỏa mãn f ( x ) = y ) Hàm số g xác định gọ i hàm số ngược hàm số f Theo thông lệ, người ta thường kí hiệu đối số x hàm số y Khi hàm số ngược hàm số y = f ( x ) viết lại y = g ( x ) Giả sử hàm số y = f ( x ) có hàm số ngược, để tìm hàm số ngược hàm số y = f ( x ) ta giải phương trình f ( x ) = y ẩn x, phương trình có nghiệm x = g ( y ) , đổi kí hiệu theo cách viết thông thường ta hàm số ngược y = g ( x ) Chú ý Người ta thường kí hiệu hàm số ngược hàm số y = f ( x ) y = f −1 ( x ) 7.2 Ví dụ Cho hàm số y = x − x tập xác định [1; +∞ ) Tìm hàm số ngược Giải Trên tập xác định [1; +∞) phương trình x − x = y có nghiệm x = + + y Vậy hàm số ngược cần tìm y = + + x Chú ý Từ định nghĩa hàm số ngược, suy rằng: Tập xác định hàm số ngược y = f −1 ( x ) tập giá trị hàm số y = f ( x ) , tập giá trị hàm số ngược tập xác định hàm số 12 DeThiMau.vn y = f ( x ) Dĩ nhiên hàm số y = f ( x ) lại hàm số ngược hàm số y = f −1 ( x ) Vì ta nói hai hàm số y = f ( x ) y = f −1 ( x ) hai hàm số ngược 7.3 Điều kiện đủ để hàm số có hàm số ngược 7.3.1 Định lý Mọi hàm số đồng biến (hay nghịch biến) tập xác định có hàm số ngược Chứng minh Giả sử hàm số y = f ( x ) đồng biến tập xác định D, với mỗ i y ∈ f ( D ) có x ∈ D cho f ( x ) = y Ta chứng minh x Thật vậy, giả sử cịn có x ' ( x ' ≠ x, x < x ' chẳng hạn) cho y = f ( x ') , x < x ' kéo theo f ( x ) < f ( x ' ) hàm số đồng biến, f ( x ) ≠ f ( x ') ; điều mâu thuẫn với f ( x ) = y = f ( x ') Vậy theo định nghĩa, hàm số y = f ( x ) có hàm số ngược Chứng minh tương tự trường hợp hàm số nghịch biến 7.4 Đồ thị hàm số ngược 7.4.1 Định lý Trong hệ trục tọa độ Đề Các vng góc Oxy, đồ thị hai hàm số ngược y = f ( x ) y = f −1 ( x ) đối xứng qua đường phân giác thứ y = x Chứng minh Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D tập giá trị T f = f ( D), hàm số ngược có tập xác định f ( D ) tập giá trị D Gọi M ( a; b ) điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có a ∈ D, b = f ( a ) ∈ f ( D ) Theo định nghĩa hàm số ngược, x = b f −1 ( b ) = a, nên N ( b; a ) thuộc đồ thị hàm số ngược y = f −1 ( x ) Hai điểm M N đối xứng với qua đường phân giác thứ y = x Như mỗ i điểm thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) đối xứng với điể m thuộc đồ thị hàm số y = f −1 ( x ) qua đường phân giác thứ Ngược lại, ta thấy với mỗ i điểm thuộc đồ thị hàm số ngược y = f −1 ( x ) đối xứng với điểm thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) qua đường phân giác thứ Vậy, đồ thị hai hàm số ngược đố i xứng với qua đường phân giác thứ Chú ý Từ tính chất đồ thị hàm số ngược ta suy đồ thị hai hàm số ngược nhau, cắt cắt đường thẳng y = x Từ ta áp dụng để giải phương trình dạng f ( x ) = f −1 ( x ) cách đưa phương trình f ( x ) = x f −1 ( x ) = x Chẳng hạn ta xét ví dụ sau Ví dụ Giải phương trình x + ( − a ) a = 3 3x + ( a − 3) a với a ∈ ( −2; ) Giải Hàm số y = x3 + ( − a ) a ln đồng biến ℝ nên có hàm số ngược 13 DeThiMau.vn y = 3x + ( a − 3) a Hoành độ giao điểm hai đồ thị y = x3 + ( − a ) a y = 3x + ( a − 3) a hồnh độ giao điểm hai đồ thị y = x y = x3 + ( − a ) a Do phương trình cho tương đương với x3 + ( − a ) a = x ⇔ x3 − 3x + ( − a ) a = ⇔ x − a − ( x − a ) = ⇔ ( x − a ) ( x + ax + a − 3) = x = a ⇔ (do a ∈ ( −2; ) nên 12 − 3a > )  x = − a ± 12 − 3a  (Dĩ nhiên hai hàm số y = x3 + ( − a ) a y = 3x + ( a − 3) a không trùng nhau) Bằng phương pháp giải phương trình x + = x − (1) Thật phương trình (1) viết dạng x3 + = 2x −1 x3 + có hàm số ngược y = x − (hai hàm số không trùng nhau), nên −1 ± x3 + = x , từ ta nghiệm x = 1; x = phương trình (1) tương đương với 2 Hàm số y = Chú ý Giải phương trình (1) đặt y = x − suy y + = x Khi đó, phương trình  x + = y (1) viết thành hệ phương trình   y + = x Đây hệ phương trình đối xứng ta nghiên cứu phần sau Các hàm số sơ cấp Ta gọi hàm số sau hàm số sơ cấp 8.1 Hàm hằng: y = a, a ∈ ℝ Hàm y = a có tập xác định D = ℝ, tập giá trị Ty = {a} 8.2 Hàm số lũy thừa: y = f ( x) = x α , α ∈ ℝ Tập xác định hàm số lũy thừa y = x α tùy thuộc vào α, cụ thể ta có: + Nếu α nguyên dương D = ℝ + Nếu α nguyên âm α = D = ℝ* 14 DeThiMau.vn + Nếu α khơng ngun D = ℝ + Miền giá trị hàm số lũy thừa tùy thuộc vào α, chẳng hạn: · α = 2, ta có y = f ( x) = x ; T f = [0; +∞) · α = 3, ta có y = f ( x) = x ; T f = ℝ 1 · α = , ta có y = f ( x) = x ; T f = [0; +∞) − · α = − , ta có y = f ( x) = x ; T f = ℝ + Chú ý Với mọ i α ∈ ℝ, đồ thị hàm số lũy thừa y = x α qua điểm (1;1) 8.3 Hàm số mũ: y = f ( x) = a x , a > 0, a ≠ Hàm số mũ y = a x có tập xác định D = ℝ Miền giá trị hàm số mũ T f = (0; +∞) + Nếu a > 1, hàm số mũ đồng biến tập xác định + Nếu < a < 1, hàm số mũ nghịch biến tập xác định Chú ý Đồ thị hàm số mũ qua điểm (0;1) Đồ thị hàm số mũ sau + Đồ thị hàm số y = a x , a > y a>1 a O x + Đồ thị hàm số y = a x , < a < 0 1, hàm số logarit đồng biến tập xác định + Nếu < a < 1, hàm số logarit nghịch biến tập xác định Chú ý Đồ thị hàm số logarit qua điểm (1; 0) Hàm số y = log a x hàm số y = a x hai hàm số ngược Đồ thị hàm số logarit sau + y = log a x, a > y a>1 O O a a x + y = log a x, < a < y x 0