Toán học Đại số hóa lượng giác45021

ĐẠI SỐ HĨA LƯỢNG GIÁC Mai Quốc Tuấn, Đỗ Hồng Duy, Phạm Phương Tùng, Nguyễn Thanh Nhã lớp 10T1, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long Sau giải tốn, thường lịng với minh làm được, liệu cách học có hiệu chưa? Tại khơng nhìn tốn với nhiều khía cạnh khác nhau? Tất vẻ đẹp toán bộc lộ Bài viết xin giới thiệu bạn cách nhìn tốn lượng giác góc nhìn đại số phương pháp đại số hóa lượng giác Vậy, đại số hóa lượng giác gì??? Chúng ta tìm hiểu phương pháp thú vị Những bổ đề liên quan 1 t2  2t 2t Bổ đề 1.1 cos   ; sin   ; tan   với t  tan 2 1 t 1 t 1 t A B B C C A Bổ đề 1.2 Với tam giác ABC ta ln có tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 B C  tan tan   180   B  C    cot  B  C   A 2  Chứng minh Ta có tan  tan     B C 2  2  tan  B  C  tan  tan     2 2 2 A B B C C A Suy tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 Bổ đề 1.3 Với số thực a, b, c , ta ln có  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Ta hệ ab  bc  ca   a  b  b  c  c  a   a  b  c  abc  a   a  b  a  c  Một số toán minh họa 2.1 Phương pháp đại số hóa giải phương trình lượng giác Bài tốn 2.1.1 Giải phương trình  sin x   cos x     3   3   x  khơng nghiệm phương trình 1 t2 x 2t  sin x   cos x  Đặt t  tan , suy sin x  cos x  (theo bổ đề 1.1) Khi đó, 1 t2 1 t2 phương trình cho tương đương với 2t 1 t2 1      t2  1 t  1  2 1 t 1 t x     tan  tan x x     tan  tan tan  tan t     6      tan  tan   x   1  tan x   tan 7  tan x  tan 5 t    tan     12 12   1   tan tan     x   x   k 2    k   k  ฀   x  5  k 2  x  5  k  12  Lời giải Nhận thấy b  c       nên cos       DeThiMau.vn      Bài toán 2.1.2 [Đại học Huế Khối D 2000] Giải phương trình sin x cos x  2sin x  cos x   t 1  Lời giải Đặt t  sin x  cos x  cos  x      2;  Suy sin x cos x  Khi phương trình 4  cho tương đương với t 1  2t   t  4t    t       cos  x     cos  x    4 4       x  k 2  x     k 2   k  ฀   x    k 2    x    k 2   4 97 Bài tốn 2.1.3 [Vơ địch New York 1973] Giải phương trình sin x  cos8 x  128 Lời giải Ta có 4 97 97 97 4   cos x    cos x  sin x  cos x     cos x  1   cos x  1      128 2     128 97 81 4  2t  12t   Đặt t  cos x , ta  t  1   t  1  8   k  cos x  t  cos 2 x     cos x   x    k 2  x    k  ฀  12 4 8  cos x  Bài tốn 2.1.4 Giải phương trình 1    tan x   cos x  cos x Lời giải Đặt u   v  tan x , suy phương trình cho trở thành 3u  4v3  cos x cos x cos x  cos x Ta có u  v    tan x    cos x cos x cos x 4  u     4u 3 u   12u   3u  4v3  Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta  3 v    3v 4 v   12v  u   v   tan x  1  x    k  k  ฀  Đẳng thức xảy   v  2.2 Phương pháp đại số hóa giải hệ phương trình lượng giác  sin x  sin y  Bài tốn 2.2.1 Cho hệ phương trình  sin x  sin y   u  sin x Lời giài Đặt   u  1, v  1 Khi đó, hệ phương trình cho có dạng v  sin y     DeThiMau.vn   3    u  v  u  v  u  v     5 2 u  v   u  v   2uv  uv     4 Suy u , v nghiệm phương trình  sin x    sin y  t    t  t    2t  3t       t  2  sin x     sin y       x   k 2    y   l 2          y  5  l 2    , k, l  ฀     x    k 2      x  5  k 2       y    l 2   2cot x  sin y 3 9 Bài tốn 2.2.2 Giải hệ phương trình  sin y cot x 9  81  2cot x sin y u  9sin y 9  Lời giải Hệ phương trình cho tương đương với  sin y Đặt   u  0, v   , ta hệ 2cot x 2cot x 2 9  v  9 uv  3 phương trình  Khi đó, u v nghiệm phương trình u  v    x   l        x   l   y    k 2  cot x  sin y    u        t  2t       2cot x  k, l  ฀     y   k 2     1 sin y   v  1 9    x   l     5    y   k 2    y  5  k 2    tan x  tan y  tan z  m Bài toán 2.2.3 Giải hệ phương trình sau  3  tan x  tan y  tan z  m a  b  c  m Lời giải Đặt a  tan x, b  tan y, c  tan z , hệ phương trình cho trở thành  3 a  b  c  m Ta xét trường hợp  i  Khi m  , suy nghiệm hệ phương trình a  b  c  Từ đó, ta DeThiMau.vn  x  p  tan x  tan y  tan z    y  h ,  z  k   ii  Khi m  , ta có a  b3  c3  m3   a  b3  c   m6 p , h, k  ฀  * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào vế phải phương trình * , ta     a  b  c  a  b  c  **   a  b  c    a  b  c    a b  b c  c a  *** m6  a  b3  c Ta có m  a  b  c  m 2 2 2 4 4 4 2 2 2  a  m   tan x  m   x  arctan m  p     b    tan y    y  h    c    tan z    z  k     a 2b   a    tan x    x  p  2      Từ ** *** , ta suy b c    b  m    tan y  m    y  arctan m  h c a   c    tan z    z  k      a    tan x    x  p    b0  tan y    y  h         c  m   tan z  m   z  arctan m  k Vậy, với m hệ phương trình cho ln có nghiệm dạng  x  arctan m  p ; y  h ; z  k  ,  x  p ; y  arctan m  h ; z  k  ,  x  p ; y  h ; z  arctan m  k  , với p, h, k  ฀ 2.3 Phương pháp đại số hóa giải bất phương trình Bài tốn 2.3.1 Giải bất phương trình cos x  3cos x   Lời giải Phương trình cho tương đương với cos x  3cos   Đặt t  cos x  t  1 , bất phương t  1!  1 11 trình có dạng 2t  3t      t   cos x    k 2  x   k 2 , k  ฀ t  2 6  Bài tốn 2.3.2 Giải bất phương trình sin x  cos x  tan x Lời giải Điều kiện cos x   x  Đặt t  tan x , suy sin x    k , k  ฀ 1 t2 2t cos x  Khi phương trình có dạng 1 t2 1 t2 2t 1 t2   t  t  t  t     t  1 t  2t     t  1 t  1  2 1 t 1 t      tan x  1  tan    x    k  t  1   4  ,k ฀       t   tan x   tan    k  x   k   4  DeThiMau.vn  Bài toán 2.3.3 Giải phương trình  cos x  sin x   sin x   1 t2 Khi đó, phương trình có dạng     t  3t    1  t   cos x  sin x  1  cos  x    1  cos  x     4 4   3  3    k 2  x    k 2    k 2  x   k 2 , k  ฀ 4 2.4 Phương pháp đại số hóa chứng minh bất đẳng thức Bài toán 2.4.1 Cho tam giác ABC tùy ý không vuông Chứng minh tan A tan B tan C    tan B  tan C tan C  tan A tan A  tan B (Đây bất đẳng thức Nesbitt lượng giác) x yz   tan A  tan B  tan C    tan B  tan C  x   tan A  y  z  x   Lời giải Đặt  tan C  tan A  y      x z y  tan A  tan B  z   tan B     x yz  tan C   yzx xz y x yz 1 y x z x z y            Khi đó, suy VT  2x 2y 2z 2 x y x z y z    Lời giải Đặt t  cos x  sin x t  , suy sin x cos x  y x z x z y 3 Áp dụng bất đẳng thức AM  GM cho sáu số dương, ta VT    6     2 x y x z y z 2 tan A tan B tan C Do    tan B  tan C tan C  tan A tan A  tan B 1 Bài toán 2.4.2 Cho tam giác ABC Chứng minh   2 sin A sin B sin C A B C Lời giải Đặt a  tan , b  tan , c  tan , ta ab  bc  ca  Bất phương trình cho trở thành 2 2 2 1 a 1 b 1 c 1 1     abc     abc 4 a b c a b c abc Áp dụng bất đẳng thức AM  GM , ta dễ dàng chứng minh abc  a  b  c  Từ đó, suy 3 abc  abc Vậy bất đẳng thức cho Bài tốn 2.4.3 Cho tam giác ABC Chứng minh Lời giải Đặt a  tan A sin  B sin  C sin 6 A B C , b  tan , c  tan , ta ab  bc  ca  Bất phương trình cho trở thành 2 DeThiMau.vn  a  b  c  a   a  b  b  c   b  c  c  a  a2  b2  c2    6   6 a b c a b c  a  b  b  c  c  a   3 a  b  c  abc  3 3     Ta có VT  3   abc abc 3  Vậy bất đẳng thức cho Bài toán 2.4.4 Cho tam giác ABC Chứng minh sin A  sin B  sin C  Lời giải Đặt a  tan 3 A B C , b  tan , c  tan , ta ab  bc  ca  Bất phương trình cho trở thành 2 a b c 3 a b c 3        2 1 a 1 b 1 c  a  b  c  a   a  b  b  c   b  c  c  a   a  b  c   b  c  a   c  a  b     a  b  b  c  c  a     a  b  b  c  c  a   Áp dụng bất đẳng thức AM  GM , ta dễ dàng chứng minh   a  b  b  c  c  a   a  b  c  abc   3 Vậy bất đẳng thức cho Bài toán 2.4.5 Cho tam giác ABC Chứng minh cos A  cos B  cos C  A B C Lời giải Đặt a  tan , b  tan , c  tan , ta ab  bc  ca  Bất phương trình cho trở thành 2 2 2 1 a 1 b 1 c  a2  b2  c2        2 1 a 1 b 1 c  a  b  a  c   a  b  b  c   b  c  c  a          a  b  b  c  c  a    a  b  c    a  b  c   b  c  a   c  a  b     a  b  b  c  c  a    a  b  c    a  b  c   3abc   a  b  c  3abc    a  b  c   9abc  )  a  b  c  9abc (ln a  b  c  abc  3 Bài tập ứng dụng Bài 3.1 (Phương pháp đại số hóa giải phương trình lượng giác) a) Giải phương trình sin x   cos x    a  b  c    b2  c  a    c2  a  b     b) Giải phương trình 1  sin x cos x  sin x  cos x   c) Giải phương trình cos x  1 10  sin x   cos x sin x DeThiMau.vn e) Giải phương trình  sin x  cos3 x  sin x f) Giải phương trình sin x  cos x  4sin x  d) Giải phương trình sin x  cos3 x  Bài 3.2 (Phương pháp đại số hóa giải hệ phương trình lượng giác)  tan x  tan y   a) Giải hệ phương trình  x y  tan  tan  sin x   tan y b) Giải hệ phương trình   tan y   sin x  tan x  sin y  2a c) Giải biện luận hệ phương trình   tan x sin y  a  Bài 3.3 (Phương pháp đại số hóa giải bất phương trình)   a) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  0;   4 5 sin x  cos x  m  sin x  cos x    sin x  cos x  sin x cos x b) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x m cos x  m  m  m cos x  m  Bài 3.4 (Phương pháp đại số hóa chứng minh bất đẳng thức) 25 a) Chứng minh   cos x  cos x  sin x  12 sin a     b) Chứng minh a   ;  cos a  sin a  cos a  4 2 a tan a  tan a 1 d) Chứng minh với ABC ta có    sin A sin B sin C e) Cho tam giác ABC tùy ý với sin A  sin B  sin C  Chứng minh  sin A  sin B  sin C  sin B  sin C  sin A sin C  sin A  sin B   sin A sin B sin C c) Cho a góc nhọn Chứng minh tan  ฀ _ Tài liệu tham khảo [1] Trần Phương, “Phương trình lượng giác” [2] Lê Hồng Đức, “Phương pháp giải toán lượng giác” [3] Nguyễn Đức Đồng-Nguyễn Văn Vĩnh, “23 phương pháp chuyên đề bất đẳng thức toán cực trị lượng giác” [4] Các sách tác giả Titu Andreescu DeThiMau.vn ... Phương, “Phương trình lượng giác” [2] Lê Hồng Đức, “Phương pháp giải toán lượng giác” [3] Nguyễn Đức Đồng-Nguyễn Văn Vĩnh, “23 phương pháp chuyên đề bất đẳng thức toán cực trị lượng giác” [4] Các... đại số hóa chứng minh bất đẳng thức Bài tốn 2.4.1 Cho tam giác ABC tùy ý khơng vuông Chứng minh tan A tan B tan C    tan B  tan C tan C  tan A tan A  tan B (Đây bất đẳng thức Nesbitt lượng. ..  a  b  c  9abc (ln a  b  c  abc  3 Bài tập ứng dụng Bài 3.1 (Phương pháp đại số hóa giải phương trình lượng giác) a) Giải phương trình sin x   cos x    a  b  c    b2  c 