Toán học Luận văn Dãy fibonacci, dãy lucas và các ứng dụng45275

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Nhật Cương DÃY FIBONACCI, DÃY LUCAS VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Thái Nguyên - 2012 S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Ngun DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hoàn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Phản biện 1: TS Nguyễn Văn Minh - Trường Đại học Kinh tế Quản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên Phản biện 2: PGS TS Tạ Duy Phượng - Viện Toán học - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày 01 tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất 1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci dãy Lucas 1.1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci 1.1.2 Định nghĩa dãy Lucas 1.2 Số Fibonacci số Lucas với số âm 1.2.1 Số Fibonacci với số âm 1.2.2 Số Lucas với số âm 1.3 Công thức tổng quát số Fibonacci số Lucas 1.3.1 Tỷ số vàng 1.3.2 Công thức tổng quát số Fibonacci số Lucas 1.4 Một số hệ thức dãy Fibonacci dãy Lucas 1.4.1 Các hệ thức tổng hữu hạn 1.4.2 Các hệ thức khác 1.4.3 Một số hệ thức liên hệ số Fibonacci số Lucas Chương Các tính chất số học Lucas 2.1 Các tính chất số học dãy 2.2 Các tính chất số học dãy 2.3 Tính chất số học liên hệ 6 8 10 10 11 12 12 19 25 dãy Fibonacci dãy 32 Fibonacci 32 Lucas 47 dãy Fibonacci với dãy Lucas 49 Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên ứng dụng 51 3.1 Dãy Fibonacci với toán học 51 3.1.1 Dãy Fibonacci tam giác Pascal 51 S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1.2 Dãy Fibonacci hệ nhị phân 3.1.3 Dãy Fibonacci tam giác vuông 3.1.4 Dãy Fibonacci hình học 3.2 Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên 3.3 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” với ứng dụng 3.3.1 Dãy Fibonacci thị trường tài 3.3.2 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” thiết kế 3.3.3 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” kiến trúc 3.3.4 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” nghệ thuật 3.3.5 Các ứng dụng khác Kết luận S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 53 54 57 69 69 72 75 77 79 81 Mở đầu Lý chọn đề tài luận văn Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 –1250), biết đến với tên Leonardo Pisa, hay phổ biến tên Fibonacci, nhà toán học người Ý ông số người xem “nhà toán học tài ba thời Trung Cổ” Fibonacci tiếng giới đại có cơng lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập châu Âu, đặc biệt dãy số đại mang tên ông, dãy Fibonacci Sách Liber Abaci - Sách Toán đố năm 1202 Dãy Fibonacci vẻ đẹp kho tàng Toán học Dãy Fibonacci xuất biến hóa vơ tận tự nhiên, với nhiều tính chất đẹp ứng dụng quan trọng Nói đến dãy Fibonacci khơng thể khơng nói đến dãy Lucas, chúng có mối liên hệ chặt chẽ với Trước Fibonacci, có nhiều học giả nghiên cứu dãy Fibonacci Susantha Goonatilake viết phát triển dãy Fibonacci “một phần từ Pingala (200 BC), sau kết hợp với Virahanka (khoảng 700 AD), Gopala (c.1135 AD) Hemachandra (c.1150)” Sau Fibonacci, cịn có nhiều nhà Khoa học nghiên cứu dãy Fibonacci như: Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), nhiều tính chất dãy mang tên nhà Khoa học Hiện nay, tài liệu tiếng Việt dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng chưa có nhiều cịn tản mạn Cần thiết phải giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng cách đầy đủ hợp Vì vậy, việc tìm hiểu sâu giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn ứng dụng cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học hiểu biết người Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng” tiến hành vào cuối năm 2011 chủ yếu dựa tài liệu tham khảo Mục đích đề tài luận văn Học tập giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas với tính chất bản, tính chất số học tính chất liên hệ chúng Đặc biệt, giúp người nắm ứng dụng quan trọng xuất đa dạng dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên Bố cục luận văn Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng” gồm có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất Trong chương này, trình bày định nghĩa dãy Fibonacci dãy Lucas, số Fibonacci số Lucas với số âm, công thức tổng quát số Fibonacci số Lucas Một số hệ thức dãy Fibonacci, dãy Lucas hệ thức liên hệ số Fibonacci số Lucas Khác với nhiều tài liệu tham khảo, luận văn giới thiệu cách chứng minh đơn giản tính chất tổng hữu hạn dãy Fibonacci dãy Lucas Trong đó, số Fibonacci số Lucas với số âm, chứng minh tính chất dãy Lucas tìm tịi, suy nghĩ tác giả Chương Các tính chất số học số Fibonacci số Lucas Trong chương này, trình bày số tính chất số học dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất số học liên hệ dãy Fibonacci dãy Lucas Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên ứng dụng Trong chương này, trình bày mối liên hệ dãy Fibonacci với toán học, xuất dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên số ứng dụng quan trọng dãy Fibonacci S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội Từ đáy lịng mình, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Em xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K4 Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên động viên, giúp đỡ q trình học tập làm luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Sơn Nam - Huyện Sơn Dương- Tỉnh Tuyên Quang tạo điều kiện cho mặt để tham gia học tập hồn thành khóa học Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong dạy đóng góp ý kiến Thầy Cơ độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 08 tháng năm 2012 Tác giả Vũ Nhật Cương S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất Các kí hiệu Các số Fibonacci: Fn , n = 0, 1, 2, 3, 4, Các số Lucas: Ln , n = 0, 1, 2, 3, 4, Tỷ số vàng: ϕ Phần nguyên số a: ⌊a⌋ 1.1 1.1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci dãy Lucas Định nghĩa dãy Fibonacci Ở phương Tây, dãy Fibonacci xuất sách Liber Abaci (năm 1202) viết Leonardo Pisa - biết đến với tên Fibonacci, dãy số mô tả trước tốn học Ấn Độ Fibonacci xem xét phát triển đàn thỏ lý tưởng hóa, giả định rằng: Để cặp thỏ sinh, đực, cánh đồng, đến tháng tuổi thỏ giao phối tới hai tháng tuổi, thỏ sinh thêm cặp thỏ khác, thỏ không chết việc giao phối cặp tạo cặp (một đực, cái) tháng từ tháng thứ hai trở Câu đố mà Fibonacci đặt là: Trong năm có cặp thỏ? • Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, có cặp • Vào cuối tháng thứ hai, thỏ tạo cặp mới, có + = (cặp) thỏ cánh đồng • Vào cuối tháng thứ ba, thỏ ban đầu lại tạo cặp thỏ nữa, biến số lượng thỏ cánh đồng lúc + = (cặp) • Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ ban đầu sinh thêm cặp mới, thỏ sinh cách hai tháng cho cặp đầu tiên, tổng S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn số lúc + = (cặp) Vào cuối tháng thứ n, số lượng cặp thỏ số lượng cặp (bằng số lượng cặp tháng (n − 2)) cộng với số cặp tháng (n − 1) Đây số Fibonacci thứ n Theo hệ, số lượng cặp thỏ dãy số sau biết với tên số Fibonacci Tên gọi “dãy Fibonacci” lần sử dụng vào kỷ 19 nhà toán học Édouard Lucas Định nghĩa 1.1.1 Dãy {Fn } số Fibonacci định nghĩa hệ thức truy hồi sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, với giá trị ban đầu F0 = 0, F1 = Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) 1.1.2 Định nghĩa dãy Lucas Dãy Lucas dãy số đặt tên nhằm vinh danh nhà tốn học Fran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người nghiên cứu dãy Fibonacci dãy thuộc họ Fibonacci mà số dãy tổng hai số liền trước Định nghĩa 1.1.2 Dãy {Ln } số Lucas định nghĩa hệ thức truy hồi sau: Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2, với giá trị ban đầu L0 = 2, L1 = Theo định nghĩa, ta có dãy Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 1.2 1.2.1 Số Fibonacci số Lucas với số âm Số Fibonacci với số âm Từ cơng thức truy hồi (1.1), ta có công thức Fn−2 = Fn − Fn−1 để mở rộng số Fibonacci với số âm Ta có F−1 = F1−2 = F1 − F0 = − = 1, F−2 = F0−2 = F0 − F−1 = − = −1, F−3 = F−1 − F−2 = − (−1) = 2, F−4 = F−2 − F−3 = −1 − = −3, F−5 = F−3 − F−4 = − (−3) = 5, F−6 = F−4 − F−5 = −3 − = −8, F−7 = F−5 − F−6 = − (−8) = 13, S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.2) Bằng phương pháp quy nạp, ta có F−n = (−1)n+1 Fn Thật vậy, với n = ta có F−1 = = (−1)1+1 F1 Giả sử, đẳng thức với n > 1, ta chứng minh đẳng thức với n + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp (1.1), ta có F−(n+1) = F−(n−1) − F−n = (−1)n Fn−1 − (−1)n+1 Fn = (−1)n+2 Fn + (−1)n+2 F(n−1) = (−1)n+2 (Fn + F(n−1) ) = (−1)n+2 Fn+1 Từ đó, suy Bổ đề 1.2.1 (1.3) F−n = (−1)n+1 Fn 1.2.2 Số Lucas với số âm Từ công thức truy hồi (1.2), ta có Ln−2 = Ln − Ln−1 để mở rộng số Lucas với số âm Ta có L−1 = L1−2 = L1 − L0 = − = −1, L−2 = L0−2 = L0 − L−1 = + = 3, L−3 = L−1 − L−2 = −1 − = −4, L−4 = L−2 − L−3 = + = 7, L−5 = L−3 − L−4 = −4 − = −11, L−6 = L−4 − L−5 = + 11 = 18, L−7 = L−5 − L−6 = −11 − 18 = −29, S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Bằng phương pháp quy nạp, ta có L−n = (−1)n Ln Thật vậy, với n = ta có L−1 = −1 = (−1)1 L1 Giả sử, đẳng thức với n > 1, ta chứng minh đẳng thức với n + Thật vậy, theo giả thiết quy nạp (1.2), ta có L−(n+1) = L−(n−1) − L−n = (−1)n−1 Ln−1 − (−1)n Ln = (−1)n+1 Ln + (−1)n+1 L(n−1) = (−1)n+1 (Ln + L(n−1) ) = (−1)n+1 Ln+1 Từ đó, suy Bổ đề 1.2.2 (1.4) L−n = (−1)n Ln 1.3 1.3.1 Công thức tổng quát số Fibonacci số Lucas Tỷ số vàng Tỷ số vàng ϕ ( phi ) định nghĩa tỷ số chia đoạn thẳng thành hai phần (a b) cho tỷ số hai đoạn (a + b) với đoạn lớn (a) tỷ số đoạn lớn (a) đoạn nhỏ (b) ϕ= a+b a = a b Ta quy độ dài đoạn thẳng a + b đơn vị gọi độ dài đoạn lớn x (x > 0), lập tỷ số ta phương trình x = , x 1−x S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 hay x2 + x − = Giải phương trình, ta nghiệm dương √ −1 + x= Do đó, ta có √ 1+ ≈ 1.6180339887 ϕ= = x (1.5) Tỷ số vàng ϕ gọi tỷ lệ vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh có mối liên hệ mật thiết với dãy Fibonacci, dãy Lucas 1.3.2 Công thức tổng quát số Fibonacci số Lucas Cả số Fibonacci Lucas có cơng thức (1.6) an+2 := an + an+1 , n > Có số Fibonacci cách thiết lập a0 = 0, a1 = số Lucas với a0 = 2, a1 = Từ cơng thức (1.6), ta có an+1 an = 1 an an−1 Ta xét A := ⇒ A có giá trị riêng ⇒ 1 an+1 an = 1 n , χA (λ) = λ2 − λ − √ 1+ = ϕ, λ1 = 2√ 1− = − ϕ = −ϕ−1 λ2 = S hóa b i Trung tâm H c li u – a1 a0 i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.7) (1.8) 12 Từ đó, ta có cơng thức A= √ ϕ −ϕ−1 1 ϕ−1 −1 ϕ ϕ −ϕ−1 Kết hợp với phương trình trên, ta công thức an+1 an =√ ϕ−1 a0 + a1 ϕn (ϕa0 − a1 )(−ϕ−1 )n ϕ −ϕ−1 1 n ⇒ an = √ ϕ−1 a0 + a1 ϕn + (ϕa0 − a1 )(−ϕ−1 ) , n ≥ Đối với số Fibonacci với a0 = 0, a1 = 1, ta công thức sau Bổ đề 1.3.1 (Binet,1843) n Fn := √ ϕn − (−ϕ−1 ) (1.9) Chú ý 1.3.1 ϕn √ + Fn = Fn+1 = ϕ n→∞ Fn Fn+1 = ϕFn + (−ϕ−1 )n , −ϕ−1 < ⇒ lim Đối với số Lucas với a0 = 2, a1 = 1, ta công thức sau Bổ đề 1.3.2 Ln := ϕn + (−ϕ−1 )n Chú ý 1.3.2 ϕ−1 = ϕ − = 1.4 1.4.1 √ (1.10) 5−1 < 0, 62 Một số hệ thức dãy Fibonacci dãy Lucas Các hệ thức tổng hữu hạn Tính chất 1.4.1 n i=0 S hóa b i Trung tâm H c li u – (1.11) Fi = Fn+2 − i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Chứng minh Ta có F0 = F2 − F1 , F1 = F3 − F2 , F2 = F4 − F3 , F3 = F5 − F4 , , Fn−1 = Fn+1 − Fn , Fn = Fn+2 − Fn+1 Cộng đẳng thức theo vế, ta F0 + F1 + F2 + F3 + + Fn = Fn+2 − F1 , hay n i=0 Fi = Fn+2 − Tính chất 1.4.2 n i=0 (1.12) Li = Ln+2 − Chứng minh Ta có L = L2 − L1 , L = L3 − L2 , L = L4 − L3 , L = L5 − L4 , , Ln−1 = Ln+1 − Ln , Ln = Ln+2 − Ln+1 Cộng đẳng thức theo vế, ta L0 + L1 + L2 + L3 + + Ln = Ln+2 − L1 , S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 hay n i=0 Li = Ln+2 − Tính chất 1.4.3 i) Tổng số Fibonacci với số lẻ n−1 (1.13) F2i+1 = F2n i=0 ii) Tổng số Fibonacci với số chẵn n i=0 (1.14) F2i = F2n+1 − Chứng minh i) Ta có F1 = F2 , F3 = F4 − F2 , F5 = F6 − F4 , , F2n−3 = F2n−2 − F2n−4 , F2n−1 = F2n − F2n−2 Cộng đẳng thức theo vế, ta n−1 F2i+1 = F2n i=0 ii) Từ (1.11), ta có đẳng thức 2n i=0 (1.15) Fi = F2n+2 − Lấy đẳng thức (1.15) trừ đẳng thức (1.13) vế với vế, ta n i=0 S hóa b i Trung tâm H c li u – F2i = F2n+2 − − F2n i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Theo (1.1), ta n F2i = F2n+1 − i=0 Hệ 1.4.1 F1 − F2 + F3 − F4 + + (−1)n+1 Fn = (−1)n+1 Fn−1 + (1.16) Tính chất 1.4.4 i) Tổng số Lucas với số lẻ n−1 L2i+1 = L2n − i=0 (1.17) ii) Tổng số Lucas với số chẵn n L2i = L2n+1 + i=0 Chứng minh i) Ta có L1 = L2 − L0 , L3 = L4 − L2 , L5 = L6 − L4 , , L2n−3 = L2n−2 − L2n−4 , L2n−1 = L2n − L2n−2 Cộng đẳng thức theo vế, ta n−1 i=0 L2i+1 = L2n − L0 , hay n−1 i=0 S hóa b i Trung tâm H c li u – L2i+1 = L2n − i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.18) 16 ii) Từ (1.12), ta có đẳng thức 2n i=0 (1.19) Li = L2n+2 − Lấy đẳng thức (1.19) trừ đẳng thức (1.17) vế với vế, ta n−1 i=0 L2i = L2n+2 − − (L2n − 2) , Theo (1.2), ta n L2i = L2n+1 + i=0 Hệ 1.4.2 L0 − L1 + L2 − L3 + + (−1)n Ln = (−1)n Ln−1 + (1.20) Tính chất 1.4.5 n i=0 iFi = nFn+2 − Fn+3 + (1.21) Chứng minh Ta có F0 + F1 + F2 + F3 + + Fn−1 + Fn = Fn+2 − 1, F0 + F1 + F2 + F3 + + Fn−1 = Fn+1 − 1, , F0 + F1 + F2 = F4 − 1, F0 + F1 = F3 − 1, F0 = F2 − Cộng theo vế đẳng thức trên, ta (n + 1)F0 +nF1 +(n − 1)F2 + +2Fn−1 +Fn = F2 +F3 + +Fn+2 −(n + 1), hay (n + 1)F0 +nF1 +(n − 1)F2 + +2Fn−1 +Fn = F0 +F1 + +Fn+2 −(n + 2) S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Theo (1.11) (1.1), ta (n + 1)F0 + nF1 + (n − 1)F2 + + 2Fn−1 + Fn = Fn+4 − (n + 3), hay (n + 1)F0 + nF1 + (n − 1)F2 + + 2Fn−1 + Fn = Fn+2 + Fn+3 − (n + 3) Mặt khác, ta có (n + 1)F0 +(n + 1)F1 +(n + 1)F2 + +(n + 1)Fn = (n + 1)Fn+2 −(n + 1) Từ đó, suy n i=0 iFi = (n + 1)Fn+2 − (n + 1) − (F2n+2 + Fn+3 − (n + 3)), hay n i=0 iFi = nFn+2 − Fn+3 + Tính chất 1.4.6 n i=0 iLi = nLn+2 − Ln+3 + (1.22) Chứng minh Ta có L0 + L1 + L2 + L3 + + Ln−1 + Ln = Ln+2 − 1, L0 + L1 + L2 + L3 + + Ln−1 = Ln+1 − 1, , L0 + L1 + L2 = L4 − 1, L0 + L1 = L3 − 1, L0 = L2 − Cộng theo vế đẳng thức trên, ta (n + 1)L0 +nL1 +(n − 1)L2 + +2Ln−1 +Ln = L2 +L3 + +Ln+2 −(n + 1), S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 hay (n + 1)L0 +nL1 +(n − 1)L2 + +2Ln−1 +Ln = L0 +L1 + +Ln+2 −(n + 4) Theo (1.12) (1.2), ta (n + 1)L0 + nL1 + (n − 1)L2 + + 2Ln−1 + Ln = Ln+4 − (n + 5), hay (n + 1)L0 + nL1 + (n − 1)L2 + + 2Ln−1 + Ln = Ln+2 + Ln+3 − (n + 5) Mặt khác, ta có (n + 1)L0 +(n + 1)L1 +(n + 1)L2 + +(n + 1)Ln = (n + 1)Ln+2 −(n + 1) Từ đó, suy n i=0 iLi = (n + 1)Ln+2 − (n + 1) − (Ln+2 + Ln+3 − (n + 5)), hay n i=0 iLi = nL2n+2 − Ln+3 + Tính chất 1.4.7 n (1.23) Fi2 = Fn Fn+1 i=0 Chứng minh Từ (1.1), ta có Fi = Fi+1 − Fi−1 Suy Do đó, ta có Fi2 = Fi (Fi+1 − Fi−1 ) = Fi Fi+1 − Fi−1 Fi F12 = F1 F2 , F22 = F2 F3 − F1 F2 , F32 = F3 F4 − F2 F3 , , = Fn−1 Fn − Fn−2 Fn−1 , Fn−1 Fn2 = Fn Fn+1 − Fn−1 Fn S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn ... số học dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất số học liên hệ dãy Fibonacci dãy Lucas Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên ứng dụng Trong chương này, trình bày mối liên hệ dãy Fibonacci với toán. .. chất số học tính chất liên hệ chúng Đặc biệt, giúp người nắm ứng dụng quan trọng xuất đa dạng dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên Bố cục luận văn Bản luận văn ? ?Dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng”... người Bản luận văn ? ?Dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng” tiến hành vào cuối năm 2011 chủ yếu dựa tài liệu tham khảo Mục đích đề tài luận văn Học tập giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas với tính