Thông tin tài liệu
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MƠN: TỐN Thời gian 180 phút Bài 1: (2đ) Cho hàm số: y = x3 - 3 mx m (m tham số) 2 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b Xác định m để đường thẳng y = x cắt đồ thị (cm)tại điểm phân biệt A, B, C cho AB = BC Bài 2: (2điểm) Tính tích phân I= x x dx Bài 3: (2điểm) Cho phương trình: x2 – ( m - 1) x + 2m2 – 3m + = (m tham số) Chứng minh phương trình có nghiệm hai nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức | x1+ x2 + x1x2 | Bài 4: (2 điểm) Giải bất phương trình x + x (3 x 2)( x 2) Bài 5: (2điểm) Giải phương trình sin3 (x + ) sin x Bài 6: (2điểm) Cho ABC có: cos A cos B (cotg2A + cotg2 B) sin A sin B Chứng minh ABC cân Bài 7: (2điểm) Tính giới hạn sau: I = lim x 1 x x2 x 1 Bài 8: ( điểm) Giải phương trình x- x x-1- x - 12 +8 = DeThiMau.vn Bài 9: (2điểm) Cho hình chóp S ABCD SA (ABCD) SA = 2; ABCD hình chữ nhật, AB = 1; BC = Tính khoảng cách đường thẳng AC SD Bài 10: (2 điểm) Giả sử x,y số dương thỏa mãn điều kiện 6 x y Tìm giá trị nhỏ tổng x+y ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MƠN: TỐN Bài 1: a) Với m = hàm số có dạng: y = x x * TXĐ: D = R (0,25) Chiều biến thiên y’ = 3x2 – 3x = 3x(x-1) x y’ = x => Hàm số đồng biến (- ; ) (1; + ) Hàm số nghịch biến (0;1) Cực trị Hàm số đạt cực đại điểm x = , ycđ = Hàm số đạt cực tiểu điểm x = 1, yct = Giới hạn lim y = - , lim y = x - x (0,25) * Tính lồi, lõm, điểm uốn y” = x – y” = x = Dấu y”: x - y” Đồ thị 1/2 - Lồi Điểm uốn DeThiMau.vn + Lõm (1/2;1/4) * Bảng biến thiên: x y’ y - + 0 1/2 1/2 - + 1/4 - (0,25) Đồ thị : Giao điểm với trục ox: (1;0) (-1/2; 0) Giao điểm với trục oy: (0; 1/2) (0,25) b) PT hoành độ giao điểm: x3 - mx x m (1) 2 Đường thẳng y = x cắt đồ thị điểm phân biệt A,B,C pt (1) có nghiệm phân biệt xA, xB, xC Theo Vi et ta có : xA + xB +xC = DeThiMau.vn m (2) theo gt AB = BC xB =xA + xC (3) m m Từ (2) (3) xB = Vậy x = nghiệm (1) 2 m Chia f(x) = x mx x m cho x ta được: 2 m2 m m m3 f(x) = (x - ) (x2 – mx – )+ 2 (0,25) m m m3 nghiệm (1) + = m=0, m = x= 2 m m2 Khi f(x) = (x - ) (x2 – mx – ) có nghiệm phân biệt 2 m2 có nghiệm trái dấu (x) = x2 – mx – (0,25) m 3m ) = -1 m vậy: m = ; m = có ( (0,25) I = x x dx Bài 2: Đặt x = sin t, t ; dx = cost dt 2 (0,5) x = t = 0, x=1 t = I= 2 0 x sin t cos t 2 sin t cos t.dt (1 cos t ) cos t.d (cos t ) = (cos t cos t ).d (cos t ) ( cos t cos t ) |0 / (0,5) Vậy x x dx 15 (0,5) Bài 3: a) x2 – 2(m-1) + 2m2 – 3m + = (1) DeThiMau.vn 15 Ta có ’ = (m-1)2 – (2m2 – 3m + 1) = - m2 + m (0,25) PT (1) có nghiệm ’ - m2 + m m (0,25) Vậy m pt (1) có nghiệm b) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1) Theo Vi ét ta có: x1 + x2 = 2(m-1) x1 x2 = 2m2 – 3m + (0,25) | x1 + x2 + x1 x2 | = | 2m – + 2m2 – 3m + 1| = | 2m2 – m – 1| (0,25) = | m2 - m 1 - | = |(m - )2 - | 2 16 (0,25) Với m ( m - ) 0 9 ) | 16 16 | (m - (0,25) Vậy | x1 + x2 + x1 x2 | 9 = 16 (0,25) Bài 4: Giải phương trình 3x + x (3x 2)( x 2) D = x R \ x TXĐ: Trên D x > 0, Chia vế (1) cho 3x 1 x2 (1) x ta 3x x2 (0,25) Đặt t = 3x ,t x2 (0,25) BPT 2t2 – 3t + t t (0,25) * Với t 34 3x x 47 x2 (0,25) DeThiMau.vn * Với t 3x x2 x (0,25) 34 Vậy tập nghiệm BPT (1): T = ; 2; 47 (0,25) Bài 5: Giải phương trình sin3 (x + Đặt t = x + ) sin x phương trình trở thành (0,25) sin3 t = sin (t - ) sin3t = sint – cost (0,5) sint (1 – cos2t) = sint – cost cost (1- sint.cost) = (0,5) sin t cos t sin 2t cos t t k x k (0,5) Vậy x = Vô nghiệm + k ( k z ) cos A cos B Bài 6: = (cotg2A + cotg2B) 2 sin A sin B 1 (sin A sin B) = ( 1) 2 sin A sin B sin A sin B (0,5) 1 ) 1 1 ( 2 sin A sin B sin A sin B (0,25) sin A sin B = sin A sin B sin sin B (0,25) sin A sin B = (sin A sin B) (0,25) DeThiMau.vn sin A sin B 0 (0,25) sin A sin B (0,5) A B ABC cân Bài 7: I = lim x 1 x x2 = lim x 1 x 1 x7 2 x2 lim x 1 x 1 (0,5) (3 x 2)(3 ( x 7) x 4) ( x 2)( x lim = lim 2 x 1 x 1 ( x 1)( x 2) ( x 1)(3 ( x 7) x 4) (0,5) = lim x 1 ( x 8) ( x 1)(3 ( x 7) 2.3 x 4) lim x 1 (5 x 4) ( x 1)( x 2) (0,25) = lim x 1 ( x ) 23 x lim x 1 x 1 x2 (0,5) 1 = 12 12 (0,25) Bài 8: Điều kiện x; x (0,25) x x x 5 x 5 12.2 x 1 6.2 x x 5 x 5 8 8 (0,25) Đặt x x 5 t (0,25) ( t > ) phương trình trở thành DeThiMau.vn t 6t t = t = (0,5) * Với t = x (0,25) * Với t = x x 5 x x2 x (t/m) x 5 x x2 x (t/m) (025) Vậy phương trình có nghiệm x = 3; x = (0,25) Bài 9: Phương pháp tổng hợp: - Từ D dựng Dx // AC - Từ A dựng AF Dx ( F Dx) AH SF ( H SF) - Dựng HP // FD ( P SD) - Dựng PQ // AH (Q AC) Khi PQ đoạn vng góc chung SD AC Thật (0,25) Ta có: FD SA FD FA FD (SAF) (0,25) Suy FD AH SF AH AH (SFD) (0,25) Do đó: AH FD AH AC mà PQ // AH nên PQ AC (0,25) Hơn nữa: AH (SFD) nên AH SD suy PQ SD Vậy ta có: d (AC, SD) = PQ = AH (0,25) Xét tam giác vuông AFD ~ tam giác vng ABC ta có: AF AD AB AD AF AB AC AC 10 (025) tam giác vng SAF ta có: 1 1 10 49 2 36 AH SA AF (0,25) DeThiMau.vn Vậy d (AC,SD) = AH = Ta có: Bài 10: x x y y (0,5) Theo BĐT Bunhiacopski ta có: 2 2 ( )( x y ) 6( x y ) x y (0,5) x y ( 3) 6 (0,25) Đẳng thức xảy 2 x y 2 x y 2 x y (0,5) Vậy x y = 52 2 x 6 (0,25) y 3 6 DeThiMau.vn ... 6 x y Tìm giá trị nhỏ tổng x+y ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MƠN: TỐN Bài 1: a) Với m = hàm số có dạng: y = x x * TXĐ: D = R (0,25) Chiều biến thi? ?n y’ = 3x2 – 3x = 3x(x-1) x y’... 1 = 12 12 (0,25) Bài 8: Điều kiện x; x (0,25) x x x 5 x 5 12. 2 x 1 6.2 x x 5 x 5 8 8 (0,25) Đặt x x 5 t (0,25) ( t > ) phương trình trở thành DeThiMau.vn... điểm uốn y” = x – y” = x = Dấu y”: x - y” Đồ thị 1/2 - Lồi Điểm uốn DeThiMau.vn + Lõm (1/2;1/4) * Bảng biến thi? ?n: x y’ y - + 0 1/2 1/2 - + 1/4 - (0,25) Đồ thị : Giao điểm với trục
Ngày đăng: 31/03/2022, 11:39
Xem thêm:
