Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn thi: Toán Đề 242719

Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn thi: Toán - Đề Thời gian làm bài: 180 phút CâuI : (4 điểm): Cho hàm số y= x3 + 3x2 - (C) 1/ Khảo sát vẽ đồ thị 2/ Giải bất phương trình : 2006 + 6018x2- 4012 4012 3/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) Biết tiếp tuyến qua A(0; -2) CâuII : (2 điểm) Tính I= dx e x CâuIII : (2 điểm) Giải biện luận phương trình theo tham số m x x m Câu IV: (4 điểm) Giải phương tr×nh sau: 1/ Sin(/2 - cosx)= cos(3cosx) 2/ 6x + 4x = 2.9x Câu V : (2 điểm) Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông: Cos2A + Cos2B + Cos2C = C©u VI: (2 ®iĨm): TÝnh giíi h¹n sau: lim x 0 x  27  27 x  x2 Câu VII: (2 điểm): Trong hệ Oxy cho hai đường thẳng d1//d2 có phương trình : d1: x-y+2 = ; d2: x-y-2 = 1/ Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(-2; 0) vuông góc với d2 2/ Viết phương trình đường thẳng d4 cho d1, d2, d3, d4 cắt tạo thành hình vuông Câu XIII: (2 điểm): Chøng minh r»ng víi a,b> ta cã: a5+b5  a4b + ab4 DeThiMau.vn Kú thi häc sinh giái líp 12 Hướng dẫn chấm thi Môn: Toán- Đề (Bản hướng dẫn chấm gồm trang) Câu 1: (4 điểm) 1, (2 điểm) TXĐ : D = R Chiều biến thiên: (0,25đ) (0,5đ) + y' = 3x2 + 6x = 3x(x+2), + dÊu y': x - y' + x   x  2 y' =   -2 - 0 + + + y -2 - Víi x(-; -2)  (0; +) hàm số đồng biến x(-2; 0) hàm số nghịch biến Tại x= -2 hàm số đạt cực đại yCĐ = Tại x= hàm số đạt cực tiểu yCT = -2  TÝnh låi lâm, ®iĨm n + y'' = 6x + = 6(x+1); y'' =  x= -1 + dÊu y'': x -1 - y'' + ®.u y Låi (-1,0) lâm (0,25®) (0,25®) +  Bảng biến thiên: x y' (0,25đ) - + y -2 (C§) - DeThiMau.vn -1 0 + + + (CT) -2 * Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2) * Cắt trục hoành hoành độ x = -1, x = Qua ®iĨm (-3; -2); (1; 2) y -1+ 3 -1- x -2 0,5 ® (1 ®iĨm)  2006 x3 + 6018 x2 - 4012  4012   x3 + 3x2 - theo đồ thị (C) ta có: (*)  x  [ -1- ; -1 ]  [ -1+ ; ] (1 ®iĨm): ®­êng th¼ng qua A(0; -2) cã hƯ sè gãc k: y+2= k(x- 0) (d)  y = kx-2  x  x   kx  (d) lµ tiÕp tun cđa (c)   k  x  x  x  x  kx  k  x  x (*) (0,5®) (0,5®) (1) (0,5®) cã nghiƯm Thay k từ (2) vào (1) ta được: x2(2x+3) =  x = 0, x= - (0,25®) * Víi x=  k= tiÕp tun lµ y = - * Víi x= - 9  k= tiÕp tuyÕn lµ y= - x  4 (0,25đ) Câu (2 điểm) (1 ®iĨm) e x dx Ta cã I =  x x e (e 1) Đặt ex+1 = t (*)  ex = t-1 exdx = dt dt t  (t  1) dt t (t  1) I=  t (t  1)   =  t  dt   t dt 1 =ln t  - ln t +c =ln (0,5®) t 1 +c t ex Tõ (*) ta cã: I = ln x + c = x - ln(ex +1) +c e Câu (2đ) Xét hàm số y= x   x  (c) DeThiMau.vn (0,5®) Ta cã b¶ng xÐt dÊu x x 1 x 1 y= x   x   x NÕu NÕu Khi ®ã y= 2 2 x NÕu  (1®) - -x-1 -x+1 -2x -1 x+1 -x+1 x  1 1  x  x 1  x+1 x-1 2x y y=2 ®å thị (C) (0,5đ) -1 x y=m * Biện luận số nghiệm phương trình theo m: x  x  = m (*) (C) (0,5®)  số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y=m + Nếu m2 phương trình có nghiệm phân biệt Câu (4đ) Phương trình tương đương với : Cos ( cosx) = cos  cosx (0,25®) Cosx  3Cosx  k 2 Cosx  3Cosx  2k  (k  Z )   Cosx  3Cosx  k 2 Cosx  3Cosx  2k (1) Cosx  k   Cosx  k (2)  V× k  Z, Cosx  nªn: Cosx  (*) Cosx  1 (0,5®) (0,25®) (1)   (0,25®)  Cosx   (2)  Cosx  1 (**)  Cosx    (0,25®) DeThiMau.vn  Cosx   Tõ (*) vµ (**) ta cã: Cosx  1  Cosx    (3) (4) (0,25®) (5) (3)  x  2  k (a) (4)  x  k (b)   x    k 2  (5)    x   2  k 2  (c ) (d ) Víi (k  Z ) (0,5®)  k  x   Tõ (a),(b),(c),(d) ta cã nghiệm phương trình : x   k  (k  Z ) (0,25đ) Phương trình tương đương với x 2     3 3 2x  (1) (0,5đ) x Đặt t = Điều kiện t > 3 t  (1)  t2 + t -2 =   t  2 (Lo¹i) x x 2 Víi t =    =    =   3 3 3  x=0 (0,25®) Vậy phương trình có nghiệm x = (0,5đ) (0,25đ) Câu (2đ) Cos A Cos B  Cos 2C  1  Cos A  Cos B    Cos 2C  2   (Cos A  Cos B)  Cos 2C   Cos ( A  B)Cos ( A  B)  Cos 2C   CosC Cos ( A  B)  Cos ( A  B)   CosA.CosB.CosC  CosA   CosB  CosC  (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) (0,25®) DeThiMau.vn * NÕu CosA =   ABC vuông A * Nếu CosB = ABC vuông B * Nếu CosC = ABC vuông C Vậy tam giác ABC tam giác vuông Câu (2đ) (0,25đ) x  27  27 x  (3 x  27  3)  ( 27 x   3) lim  lim x 0 x 0 x2 x2 (0,25®) x  27  27 x    lim  lim x 0 x 0 x2 x2  lim x 0  lim 9x x (9 x  27)  33 x  27  x 0  (9 x  27)  33 x  27  (1®)  lim x 0  lim x 0 27 x x ( 27 x   3) 27 27 x   (0,25®) (0,25®) (0,25®) 27 25     999 33 Câu (2đ) d3 vuông góc với d2 nên có dạng x+y+c = Vì d3 qua A(-2 ; 0) nªn : -2 + + c = c =2 (0,75đ) Vì A(-2;0) d1 nên Để d4 d1, d2, d3 cắt tạo thành hình vuông d4//d3 d(A,d4) = d(A,d2) (*) (0,5đ) Do d4 cã d¹ng : x + y + D = (*)  20 D  D  D2  4   D  2 202 (0,5®) Vậy đường thẳng d4 có dạng x+y+6 =0 x+y-2 = (0,25đ) Câu 8.(2đ) a5+b5 a4b+ab4 a5+b5- a4b - ab4   a4(a-b) - b4(a-b)   (a - b)(a4-b4)   (a-b)(a2-b2) (a2+b2)   (a-b)2(a+b) (a2+b2)  DÊu "=" xảy a=b DeThiMau.vn (0,5đ) (0,5đ) (0,25®) (0,5®) (0,25®) - - DeThiMau.vn ...Kú thi häc sinh giái líp 12 H­íng dÉn chÊm thi Môn: Toán- Đề (Bản hướng dẫn chấm gồm trang) Câu 1: (4 điểm) 1, (2 điểm) TXĐ : D = R Chiều biến thi? ?n: (0,25đ) (0,5®) + y'... -1 + dÊu y'': x -1 - y'' + ®.u y Låi (-1,0) lõm (0,25đ) (0,25đ) + Bảng biến thi? ?n: x y' (0,25đ) - + y -2 (CĐ) - DeThiMau.vn -1 0 + + + (CT) -2 * Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2) *... -1, x =   Qua ®iĨm (-3; -2); (1; 2) y -1+ 3 -1- x -2 0,5 ® (1 ®iĨm)  2006 x3 + 6018 x2 - 4 012  4 012   x3 + 3x2 -  theo đồ thị (C) ta có: (*) x [ -1- ; -1 ]  [ -1+ ; ] (1 điểm): đường