Đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán thành phố Hà Nội năm 2013-2014

[r]

http://edufly.vn

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI

Năm học: 2013 - 2014

Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1: (5 điểm)

Cho hàm số y  x3 3x  4 có đồ thị (C)

a Tìm điểm M, N nằm (C) cho điểm 1; 2

I  

  trung điểm đoạn thẳng

MN

b Cho ba điểm phân biệt A, B, C thuộc (C) Các tiếp tuyến (C) A, B, C cắt (C)

điểm thứ hai A B C', ', ' Chứng minh A, B, C thẳng hàng A’, B’, C’ thẳng

hàng

Bài 2: (5 điểm)

a Giải phương trình: 2x2  2x 5 4x 1 x2 

b Giải hệ phương trình:

3

2

3

2 3

x y x x y

x y y x

       



       



Bài 3: (2 điểm)

Cho cá số thực a, b, c cho a 0,b  0,  c  a2  b2  c2  3 Tìm giá trị lớn

nhất giá trị nhỏ biểu thức sau:

P 2ab 3bc 3ca a b c

   

 

Bài 4: (3 điểm)

Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Đặt xOy , yOz  , zOx  y

http://edufly.vn

Trung tâm luyện thi EDUFLY –Hotline: 0987.708.400

a Gọi M điểm nằm đoạn BC cho BM  2MC I trung điểm đoạn thẳng

AM Tính độ dài đoạn thẳng OI theo  trường hợp 60 ,0 900

    

b Chứng minh rằng: cos os + os

c c

     

Bài 5: (3 điểm)

Cho dãy số (un) thỏa mãn điều kiện:

2

1

2013

, 1, 2, 2014 2014

n

n n

u

u

u  u n

   

  

 

a Chứng minh (un) dãy số tăng

b Với n 1, nN, đặt

1

n n

n

u v

u 



 Chứng minh rằng: v1  v2   vn  2014 với