CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu I 1) Xác định tính chẵn - lẻ của hàm số 10 10 x x y x x 2) Cho các nửa khoảng ( 1]A a a ; , [ ; 2).B b b Đặt .C A B Với điều kiện nào của các số thực a và b thì C là một đoạn? Tính độ dài của đoạn C khi đó. 1,5 đ I.1 (0,75đ) Hàm số y có tập xác định ( 10 10)D ; là tập đối xứng qua điểm 0.x 0,25 Kiểm tra: ( ) ( ),x D f x f x f chẵn 0,25 f không lẻ (vì nó không đồng nhất bằng 0 trên D), kết luận 0,25 I.2 (0,75đ) [ 2) ( 1]C b b a a ; ; là một đoạn 2 1b a b a 0,25 1 2.b a b (*) 0,25 Khi đó, [ 2) ( 1] [ ; 1]C b b a a b a ; ; là đoạn có độ dài 1.a b 0,25 CâuII 1) Tìm m để phương trình 2 4 2 1 1x m m có bốn nghiệm phân biệt. 2) Giải và biện luận (theo tham số m) bất phương trình: 1 2 1 2 m x m x . 2,0 đ II.1 (1,00đ) Ta có: 4 2 1 0m m PT 2 4 2 2 2 4 2 2 2 (1) (1 ) (2) x m m x m m m m 0,25 (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m vì 4 2 2 0m m (2) có 2 nghiệm phân biệt 0m và 2 1 0m ( 1;1) {0}\m 0,25 PT có 4 nghiệm phân biệt ( 1;1) {0}\m và 4 2 2 4 2m m m m 0,25 ( 1;1) {0}\m và 4 2 1 0m m ( 1;1) {0}\m , kết luận 0,25 II.2 (1,00đ) BPT ( 1)( 2) (1 ) 2 0 2 m x m x x ( 2) 0 2 x m x 0,25 Nếu m = 0 thì BPT nghiệm đúng với mọi x 2 0,25 Nếu m > 0 thì m + 2 > 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi ( ;2) ( 2; )x m 0,25 Nếu m < 0 thì m + 2 < 2 nên BPT nghiệm đúng với mọi ( ; 2) (2; )x m 0,25 Câu III 1) Giải phương trình 2 7 8 2 .x x x 2) Giải hệ phương trình 7 2 5 2 1. x y x y x y x y 2,5 đ III.1 (1,25đ) Điều kiện: x ≥ 0 PT 2 1 7 7 2 2 0x x x ( 1)( 6 8) 0x x x x x 0,25 ( 1)( 8 6 16) 0x x x x x 0,25 ( 1)( 2)( 2 4 8) 0x x x x x ( 1)( 2)( 4) 0x x x x 0,25 1 0 4 0 x x x 2 1 1 17 9 17 2 2 x x Kết luận 0,50 III.2 (1,25đ) Điều kiện 7 0 2 0 x y x y ; Đặt 7 0 2 0 u x y v x y 2 2 7 2 u x y v x y 2 2 5 u v x và 2 2 7 2 5 v u y 0,25 HPT trở thành: 2 2 2 2 5 7 2 5 5 u v u v v u v 2 2 5 3 8 5 5 0 u v u v v 0,25 2 2 5 3(5 ) 8 5 5 0 u v v v v 2 5 5 25 70 0 u v v v 2 5 5 14 0 (*) u v v v 0,25 (*) v = 2 (nhận) hoặc v = 7 (loại) ; nên HPT trên 3 2 u v 0,25 Do đó HPT đã cho trở thành 7 9 1 2 4 2 x y x x y y (phù hợp) 0,25 Câu IV 1) Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b và 0 60 .BAC Các điểm M, N được xác định bởi 2MC MB và 2NB NA . Tìm hệ thức liên hệ giữa b và c để AM và CN vuông góc với nhau. 2) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm ',A 'B và '.C Gọi , a S , b S c S và S tương ứng là diện tích của các tam giác ' ',AB C ' ',BC A ' 'CA B và ABC. Chứng minh bất đẳng thức 3 . 2 a b c S S S S Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi nào? 3,0 đ IV.1 (1,50đ) Ta có: 2 2( ) 3 2MC MB AC AM AB AM AM AB AC 0,50 Tương tự ta cũng có: 3 2CN CA CB 0,25 Vậy: 0 (2 )(2 ) 0AM CN AM CN AB AC CA CB 0,25 (2 )( 3 ) 0AB AC AB AC 2 2 2 3 5 . 0AB AC AB AC 0,25 2 2 5 2 3 0 2 bc c b 2 2 4 6 5 0c b bc 0,25 IV.2 (1,50đ) Ta có các công thức tính diện tích: 2 ' 'sin ; 2 sin a S AC AB A S AB AC A ' ' 1 ' ' 2 a S AC AB AC AB S AB AC AB AC (BĐT Cauchy) 0,50 Tương tự ta cũng có: 1 ' ' 2 b S BA BC S BC BA và 1 ' ' 2 c S CB CA S CA CB 0,25 Do đó: 1 ' ' ' ' ' ' 3 2 2 a b c S S S AC BC BA CA CB AB S S S AB BA BC CB CA AC (đpcm) 0,25 Dấu bằng xảy ra ' ' ' ' ' ' AC AB AB AC BA BC BC BA CB CA CA CB ' '// ' '// ' '// C B BC A C CA B A AB A’, B’, C’ là trung điểm của BC, CA, AB 0,50 Câu V Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm O bán kính R (R > 0, R không đổi). Gọi A và B lần lượt là các điểm di động trên trục hoành và trục tung sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn đó. Hãy xác định tọa độ của các điểm A, B để tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. 1,0 đ V (1,00đ) Dựa vào tính đối xứng, ta giả sử ;0 , 0;A a B b với 0, 0.a b (*) Suy ra 2 OAB ab S . 0,25 Mà 2 2 2 1 1 1 a b R (**) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( ) 2 a b a b R a b R ab R a b 2 2 OAB ab S R không đổi (dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b) 0,25 Kết hợp với (*) và (**): dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2a b R 0,25 Kết luận: 2;0 ; 0; 2A R B R (4 cặp điểm) 0,25