Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năng năm 2001 Môn thi :Toán Thời gian làm bài : 120 phút44270

1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đề thi tuyển chọn hệ kỹ sư tài năm 2001 Môn thi : Toán Thời gian làm : 120 phút Bài 1: ex Cho hàm số f (x) = (x+1) Xét dãy số {un } xác định u0 = 1, un+1 = f (un ) với n nguyên dương 1/ Chứng minh phương trình f (x) = x có nghiệm α khoảng ( 21 , 1) 2/ Chứng minh un ∈ [ 21 , 1] với n nguyên dương 3/ Chứng minh f ′ (x) tăng đoạn [ 12 , 1] Suy tồn số k ∈ (0, 1) cho |un − α| = k|un − α| với n nguyên dương, 4/ Chứng minh rằng: limn→∞ un = α Bài 2: |x−y| Với hai số x, y ∈ R ta đặt d(x, y) = 1+|x−y| Chứng minh với số x, y, z ∈ R ta ln có d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Bài 3: Cho hàm số f (x) có f ”(x) > a < b, Chứng minh : 1/ f [λx1 +(1−λ)x2] > λf (x1 )+(1−λ)f (x2) ∀ x1 , x2 ∈ [a, b], ∀ < λ < 2/ b f (x)dx ≤ (b − a)f ( a a+b ) Bài 4: Cho a < b hàm số f (x) có f ′ (x) liên tục R thỏa mãn f (a) = f (b) = b a |f ′ (x)|dx = m Chứng minh : |f (x)| ≤ m ∀ x ∈ [a, b] Tài liệu soạn thảo lại LATEX 2ε Phạm Hiệp DeThiMau.vn