Đề thi tuyển chọn hệ Kỹ sư tài năng năm 2007 - Môn Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG ĐỀ THI TUYỂN SINH 2007 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Cho phương trình: m)x1(x)xx1( 3 =−−+− (1) (m là tham số) 1. Giải phương trình (1) khi m = 1 2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm Câu 2: Với người sử dụnglà số nguyên dương, đặt: ∫ π − = 4 n21n2 n dx)x(sinxU và ∫ π −− = 4 1n21n2 n dx)x2(cosxV Chứng minh rằng: 1. 0VlimUlim n +n n +n == ∞→∞→ 2. 1n 32 VU2 2 nn ≥∀ π ≤+ Câu 3: Ký hiệu R + là tập các số thực dương. Giả sử f: R + → R + là một hàm số liên tục thoả mãn 5 5 1)1x())x(f(f ++= . Chứng minh rằng: 1. Nếu )x(f)x(f 21 = thì 21 xx = 2. Hàm số f(x) đơn điệu tăng và 1 )x(f )1x(f lim x = + +∞→ Câu 4: Cho mặt phẳng (P) và hai điểm C, D ở về 2 phía đối với (P) sao cho CD không vuông góc với (P). Hãy xác định vị trí 2 điểm A, B thuộc (P) sao cho AB = a (a > 0 cho trước) và tổng độ dài CA + AB + BD đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 5: Cho k 1 , k 2 , … , k n là các số thực dương khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng: Rx0)xkcos( .)xkcos()xkcos( nn2n11 ∈∀=λ++λ+λ khi và chỉ khi 0 . n21 =λ==λ=λ . KHOA HÀ NỘI TRUNG TÂM ĐÀO TẠO TÀI NĂNG ĐỀ THI TUYỂN SINH 2007 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1: Cho phương trình: