THI CH N H C SINH GI I C P T NH L P THCS – T NH BÌNH MƠN TỐN – Th i gian: 150 phút – Ngày 18 – 03 – 2014 NH Bài 1: (6 m) a) Gi i ph ng trình: x x + x2 – x – 18 = b) Tìm hai s nguyên d ng khác x, y th a mãn: x3 + 7y = y3 + 7x Bài 2: (2 m) Tính t ng sau: 1 1 1 S = 2 2013 2014 Bài 3: (3 m) Gi s x1, x2 hai nghi m c a ph ng trình: x 4x 3x m , m tham s 1 x Tìm m đ bi u th c x1 x đ t giá tr nh nh t Bài 4: (6 m) 1) Cho tam giác ABC vuông t i A V phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, tam giác ACE vuông cân C CD c t AB t i M; BE c t AC t i N a) Tính DM bi t AM = 3cm, AC = 4cm b) Ch ng minh AM = AN 2) Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn tâm O H tr c tâm c a tam giác L y m M thu c cung nh BC a) Xác đ nh v trí c a m M cho t giác BHCM hình bình hành b) V i m M b t k thu c cung nh BC, g i N, E l n l t m đ i x ng c a M qua AB AC Ch ng minh r ng ba m N, H, E th ng hàng Bài 5: (3 m) a c d 3d Ch ng minh r ng: , v i a, b, c, d 3 b d c 3c GIẢ I ĐỀTHI HỌC SINH GIỎ I Bùi Văn Chi DeThiMau.vn GI I THI CH N H C SINH GI I MƠN TỐN L P THCS – T NH BÌNH NH N M H C 2013 – 2014 Bài (6 m) a) Gi i ph ng trình: x x + x – x – 18 = (1) x KX : x2 – x – (x – 3)(x + 2) x Bi n đ i ph ng trình: (1) x x + (x2 – x – 6) – 12 = t t = x x (t 0) Ph ng trình tr thành: t t + t2 – 12 = (t – 3)(t + 4) = t :loại V i t = 3, ta có: x x = x2 – x – = x2 – x – 15 = x1 = 61 , x2 = 61 C hai giá tr x1, x2 đ u th a mãn KX 61 V y ph ng trình cho có hai nghi m : x1,2 b) Tìm x, y nguyên d ng khác th a mãn : x + 7y = y3 + 7x (1) Bi n đ i : (1) x3 – y3 – 7(x – y) = (x – y)(x2 + xy + y2 – 7) = x2 + xy + y2 – = (x y) 4(x2 + xy + y2 – 7) = 4x2 + 4xy + y2 + 3y2 – 28 = (2x + y)2 = 28 – 3y2 (2) Vì (2x + y)2 s ph ng x, y s nguyên d ng, nên suy y2 {1 ; ; 9}, y {1 ; ; 3} +) V i y = 1, thay vào (2), ta có : (2x + 1)2 = 28 – 3.1 = 25 2x + = x = +) V i y = 2, thay vào (2), ta có : (2x + 2)2 = 28 – 3.22 = 16 2x + = x = +) V i y = 3, thay vào (2), ta có : (2x + 3)2 = 28 – 3.3 = 2x + = x = - : lo i V y có hai c p giá tr x, y th a mãn u ki n toán : (x ; y) {(2 ;1), (1 ;2)} Bài (2 m) 1 1 1 Tính t ng S = 2 2013 2014 * Xét s h ng t ng quát c a t ng, v i k N : 1 1 k k 12 k k 1 k 1 k k 2k k 2k 2k 2 k k 1 k k 1 1 =1+ =1+ k k 1 k k 1 = k k 3k k k k 1 2 = k k k k 1 = k k 1 k k 1 GIẢ I ĐỀTHI HỌC SINH GIỎ I Bùi Văn Chi DeThiMau.vn Do đó: 1 1 1 (1) 2 k k 1 k k 1 Cho k l n l t l y giá tr t đ n 2013, thay vào đ ng th c (1), r i c ng v theo v , ta đ 1 1 1 = S = 2 20132 2014 1 1 1 = 1 1 = 2 3 2013 2014 2013 2013 1 2013 = 2013.1 + 2013 2014 2014 2014 2013 V y S = 2013 2014 Bài (3 m) Giá tr c a m đ bi u th c x1 x đ t giá tr nh nh t c: x 4x 3x m (1) 1 x (1) x2 – 4x = (1 – x)(3x + m) ( x 1) x2 – 4x = 3x + m – 3x2 – mx 4x2 – (7 – m)x – m = = (7 – m)2 + 16m = m2 + 2m + 49 = (m + 1)2 + 48 > 0, m Do ph ng trình (1) ln có hai nghi m x1, x2 ( 1) 7m m Theo h th c Vi-ét, ta có: x1 + x2 = , x1.x2 = 4 t A = x1 x , ta có: A2 = x1 x 2 = x12 + x22 – 2x1x2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 Bi n đ i ph ng trình: 7m m m m 49 m 1 48 m 1 A = = = 3 16 16 16 A (vì A > 0) V y A = x1 x đ t giá tr nh nh t b ng m = - 2 2 Bài (6 m) D a) Tính DM Áp d ng đ nh lý Py-ta-go tam giác vuông ACM, ta có: CM2 = AM2 + AC2 = 32 + 42 = 25 CM = 5(cm) Áp d ng đ nh lý Ta-lét, ta có: DM DM AM AM // CE DC CE DC DM DM DM = 3CM = 15(cm) CM b) Ch ng minh AM = AN Áp d ng đ nh lý Ta-lét, v i AC // BD, ta có: BM DM BM 15 = BM = 3.3 = 9(cm) AM CM AB = AM + BM = + = 12(cm) V i AB // CE, ta có: B M 45 A 45 N C E GIẢ I ĐỀTHI HỌC SINH GIỎ I Bùi Văn Chi DeThiMau.vn AN AB 12 AN =3 CN CE AN CN AN 3 AN = AC = 3(cm) AC 4 V y AM = AN (= 3cm) A B’ C’ a) V trí c a M đ t giác BHCM hình bình hành H Ta có: BHCM hình bình hành BM // CH Vì H tr c tâm c a tam giác ABC nên CH AB = 900 Do BM AB hay ABM B AM đ ng kính c a (O) V y M m đ i tâm c a A qua O t giác BHCM hình bình hành b) Ch ng minh N, H, E th ng hàng G i F K l n l t giao m th hai c a CH BH v i đ ng tròn (O) G i AA’, BB’, CC’ đ ng cao c a tam giác ABC ABC sdAC , Ta có: AFH 2 A ABC AHC'(cùng bùvớiA 'HC' t giác BA’HC’ n i ti p) AHC ' , tam giác AHF cân t i A Suy AFH nên F H đ i x ng qua AB Ta l i có, M N đ i x ng qua AB , F NHF Suy MFH MAC sdCM M t khác, MFH nên NHF MAC (1) N O C M K E B’ C’ H B BAM (2) Ch ng minh t ng t , ta có: EHK T (1), (2) suy ra: M EHK MAC BAM BAC (3) NHF C ' = 900 + 90 = 180 0) nên Vì t giác AB’HC’ n i ti p ( B' A’ O C B' BAC HC ' = 1800 (4) EHK B' T (3) (4) suy NHF HC ' = 1800 V y ba m N, H, E th ng hàng Bài (3 m) a c d 3d , v i a, b, c, d 3 b d c 3c t A = a(c – d) + 3d, B = b(d – c) + 3c Ta có: A = ac – ad + 3d = ac + d(3 – a) > 0, v i a, b, c, d B = bd – bc + 3c = bd + c(3 – b) > 0, v i a, b, c, d Ta ch ng minh hai b t đ ng th c: A +) B Ch ng minh r ng: GIAÛ I ĐỀTHI HỌC SINH GIỎ I Bùi Văn Chi DeThiMau.vn Ta ch c n ch ng minh A < B V i a, b, c, d 3, th c hi n bi n đ i ta có: A = ac + d(3 – a) ac 3.2 = Do A 6, d u “=” x y a = 3, c = 2, d [2; 3] Thay c = vào bi u th c B, ta có: B = bd + c(3 – b) = bd + – 2b = b(d – 2) + 3(3 – 2) + = Do < B 9, d u “=” x y c = 2, b = 3, d = 3, a [2; 3] A T đó, A < B 9, nên , d u “=” x y c = 2, a = b = d = B A +) B Ta c n ch ng minh < A B Th c hi n bi n đ i, ta có : B = bd – bc + 3c = bd + c(3 – b) bd 3.2 = Do B 6, d u “=” x y b = 3, d = 2, c [2 ; 3] Thay d = vào bi u th c A, ta có : A = ac + d(3 – a) = ac + 2(3 – a) = a(c – 2) + 3.(3 – 2) + = Do < A 9, d u “=” x y d = 2, a = 3, c = 3, b [2; 3] A , d u “=” x y d = 2, a = b = c = T đó: < A B 6, nên B 2 A Tóm l i, ta có: , v i a, b, c, d 3 B 2 a c d 3d V y , v i a, b, c, d 3 b d c 3c Quy Nh n, ngày 21 tháng 03 n m 2014 Bùi V n Chi GIẢ I ĐỀTHI HỌC SINH GIỎ I Bùi Văn Chi DeThiMau.vn ...GI I THI CH N H C SINH GI I MƠN TỐN L P THCS – T NH BÌNH NH N M H C 2013 – 2014 Bài (6 m) a) Gi i ph ng trình: x x + x – x – 18 = (1) x KX : x2 – x – (x – 3)(x + 2) ... c: x 4x 3x m (1) 1 x (1) x2 – 4x = (1 – x)(3x + m) ( x 1) x2 – 4x = 3x + m – 3x2 – mx 4x2 – (7 – m)x – m = = (7 – m)2 + 16m = m2 + 2m + 49 = (m + 1)2 + 48 > 0, m Do ph ng trình... (1) Bi n đ i : (1) x3 – y3 – 7(x – y) = (x – y)(x2 + xy + y2 – 7) = x2 + xy + y2 – = (x y) 4(x2 + xy + y2 – 7) = 4x2 + 4xy + y2 + 3y2 – 28 = (2x + y)2 = 28 – 3y2 (2) Vì (2x + y)2