Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm 2009 2010 môn: Toán43957

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009-2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số y  x3  3mx  3(m  6) x  (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị Khi hàm số (1) có cực trị , tìm m để điểm A (3;5) nằm đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu 2: (3 điểm) Cho số nguyên dương a b thỏa mãn a  b Hãy so sánh hai số: a b b a Câu 3: (4 điểm) 1  cos x.cos 2x x   Cho hàm số f (x)   x 0 x  Tính đạo hàm hàm số x  Giải phương trình:  x  1 x   3 x   x    Câu 4: (2 điểm) Cho số thực x , y , z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: F  3x  y  y  z  z  3x Câu 5: (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1) hai đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   Gọi A giao điểm d1 d Viết phương trình đường trịn có tâm nằm d1 , qua điểm M tiếp xúc với d Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M cắt d1 , d B C cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC  3AB Câu 6: (3 điểm) ฀ ฀ ฀ Cho tứ diện ABCD có AB  a , AC  b , AD  c BAC  CAD  DAB  600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Cho a, b, c thay đổi thỏa mãn a  b  c  2010 Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác BCD Câu 7: (2 điểm)  x3  3x  y  Giải hệ phương trình :  y  y  z  z  3z  x  HẾT-Họ tên thí sinh: Số báo danh: DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009-2010 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN (Đáp án gồm 06 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Cho hàm số y  x  3mx  3(m  6) x  (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị 3.0 Khi hàm số (1) có cực trị , tìm m để điểm A (3;5) nằm đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 0.5 Ta có: y '  x  6mx   m   Câu Ý (1 đ) Ý (2 đ) Hàm số (1) có cực trị y’ có hai nghiệm phân biệt   '  9(m  m  6)   m  2  m   m  2 Với  (*) hàm số có cực trị tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số m  (1) nghiệm hệ phương trình:  y  x  3mx  3(m  6) x    y '   x  2mx  m     y   x  m   x  2mx  m     m  m   x  m  6m    x  2mx  m    y    m  m   x  m  6m   d m  ln 2 DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.25 0.25  Tọa độ điểm cực trị thuộc đường thẳng  d m  Vậy  d m  đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) m  Điểm M(3;5)   d m   5m  12m  32    m    Kết hợp (*) ta có m = giá trị cần tìm Câu Cho số nguyên dương a b thỏa mãn a  b Hãy so sánh hai số : a b b a ln x Xét hàm số f ( x)  , x  có x  ln x f '( x)   f '( x)   x  e  (0; ) x2 BBT x  e  f '( x)   + + f ( x) 0.5 ln 2 0.25 0.25 3.0 0.75 0.75 NỘI DUNG CÂU   e  b  a ln a ln b  f (a )  f (b)    ab  ba  a b  a; b  Z 0  b  a  e b    ab  ba  a; b  Z a   b   ab  ba  e  a  Z  b  b    ab  ba e  a    a  a  Z  ĐIỂM 0.5 0.25 0.25 b   ba  ab  a  b     f (a )  f (b)  a b  b a 4  a  Z Vậy với a, b nguyên dương, ta có: b   Nếu a  b  e  a b  b a a  b  b  b   Nếu    a b  b a a  a  a  e b   Nếu  a b  b a a   Câu 1  cos x.cos x x   Cho hàm số f ( x)   x 0 x  Tính đạo hàm hàm số x  Giải phương trình :  x  1 x   3 x   x   Ý (2 đ) DeThiMau.vn 0.25 4.0   cos x cos x f ( x) f (0)  lim x 0 x 0 x0 x2 1   cos3 x  cos x   cos3 x  cos x  lim  lim  lim 2 x 0 x 0 x 0 x 2x 2x2 2 3x  x    sin   sin   lim    lim    x 0  x  x 0  x      Vậy f '(0)  ĐK: x   x = không nghiệm phương trình Xét giới hạn lim 0.25 0.5 0.5 0.75 0.25 0.5 NỘI DUNG CÂU  x  PT  x   3 x   Ta xét hàm số sau 1;  ĐIỂM x6 (*) x 1 0.5 1 3  0, x  x 1 x6 1) f ( x)  x   3 x  có f '( x)  Ý (2 đ) 2) g ( x)  7 x6 có g '( x)   0, x  x 1  x  1 0.25 0.25 Do miền x > 1: VT(*) hàm số đồng biến, VP(*) hàm số nghịch biến nên nghiệm x  nghiệm (*) Tóm lại: PT có nghiệm x  Cho số thực x , y , z thỏa mãn x  y  z  Tìm giá trị lớn biểu thức: 0.25 0.25 F  3x  y  y  z  z  3x 2.0 Câu Áp dụng BĐT Buniacovsky ta có: F  6 x  12  y  z    18  x  2  y  z    18  x  2   x       Xét hàm số: 0.75 f ( x)  x  2   x  miền xác định   x  4x f '( x)  x  3  x    0.25 ( x   3; ) x  f '( x)  (- 3; 3)    x  1   f  0  f   3, 0.25 f  1  0.25  max f ( x)    3;    Suy F  18.5  F  10 Với x  y  z  thỏa mãn x  y  z  F  10 Vậy max F  10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1) hai đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y   Gọi A giao điểm d1 d 1.Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng d1 , qua điểm M Câu tiếp xúc với đường thẳng d 2.Viết phương trình đường thẳng  qua M cắt d1 , d B C cho ba điểm A , B , C tạo thành tam giác có BC  3AB Gọi đường trịn cần tìm (T) có tâm I, bán kính R Vì I  d1  I  a; a  1 (T) qua M tiếp xúc d2 nên ta có: IM  d ( I ; d )   a  1  a2  2a   a  1    0.25 0.25  0.25  a  13  10  I 13  10 2; 14  10 ; R   DeThiMau.vn 3.0  a  26a  31   a  13  10 Ý 0.5  Phương CÂU (1.5 đ) NỘI DUNG     y  14  10   9   (1) a  13  10  I  13  10 2; 14  10  ; R     Phương trình (T) :  x  13  10    y  14  10      trình (T) : x  13  10  2 ĐIỂM 0.25 2 0.25 (2) Vậy có hai đường trịn thỏa mãn u cầu đề với phương trình (1) (2) x  y   x  Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ    A(2;1) 2x  y   y  0.25 0.25 Lấy điểm E  3;2   d1  E  A  Ta tìm d2 điểm F ( F  A ) cho EF = 3AE Do F  d  F  x;5  x  Khi 0.25 EF = 3AE   x  3    x   18 2  F  0;5  x   Ý  x  18 x       18 11  18 x  (1.5 đ) F ;    5  5 (Cả hai điểm F thỏa mãn F  A )  BC  AB EF AE Vì     BC // EF   // EF BC AB  EF  AE   F  0;5   EF  3;3   : x  y   18 11    21   F  ;    EF  ;     : x  y   5 5 5  Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề  : x  y   : x  y   ฀ ฀ ฀ Cho tứ diện ABCD có AB  a , AC  b , AD  c BAC  CAD  DAB  600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Câu Cho a, b, c thay đổi thỏa mãn a  b  c  2010 Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác BCD 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3.0 A F 0.5 H B Ý (1.5 đ) E D C  Khơng giảm tính tổng qt, giả sử a  min{a;b;c} (cũng giả sử a  b  c ) Khi cạnh AC , AD lấy điểm E F saocho AE = AF = a Ta nhận tứ diện ABEF tứ diện cạnh a DeThiMau.vn NỘI DUNG CÂU  Tính thể khối tích tứ diện ABEF ĐIỂM a 0.5 12 VABEF AE AF a bc abc  Ta có :    VABCD  VABEF  VABCD AC AD bc a 12 0.25 ฀ BC  AB2  AC  2AB.AC.cosBAC  a  b  ab Ta có Tương tự : Ý (1.5 đ) 0.5 CD  b  c  bc , DB  c  a  ca 0.25 Chu vi tam giác BCD P  a  b  ab  b  c  bc  c  a  ca Ta có : a  b  ab  Tương tự ta có: 0.25 1 2 a  b  a  b  a  b 4 b  c  bc   b  c , c  a  ca  0.25 c  a  0.25 Suy : P  a  b  c  2010 Với a  b  c  670 thỏa mãn a  b  c  2010 ta có P  2010 Vậy P  2010 Giải hệ phương trình sau: Câu 0.25  x  x  y (1)   y  y  z (2)  z  z  x (3)  2.0 Thay (2) vào (1) có : ( z  z )3  3( z  z )  y (4) Thế (3) vào (4) ta : ( y  y )3  3( y  y )   ( y  y )3  3( y  y )   y     0.5 (*) Xét y   2; 2 , đặt y = 2cost ( t   0;   ) , ta có : PT(*)  (8cos3 t  6cos t )3  3(8cos3 t  6cos t )   3[(8cos3 t  6cos t )3  3(8cos3 t  6cos t )]  2cos t 0.5  (8cos3 3t  6cos3t )3  3(8cos3 3t  6cos3t )  2cos t  8cos3 9t  6cos9t  2cos t  cos 27t  cos t m m  (mZ ) hoac t   t  13 14  k   l  , k  0;12    , l  1;14   13   14  Từ PT (*) có 27 nghiệm phân biệt đoạn  2;2 0.25 Vì t   0;   nên t   k y  2cos với k  0;12 13 l y  2cos với l  1;14 14 DeThiMau.vn 0.25 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM PT (*) PT bậc 27 nên có tối đa 27 nghiệm Từ R , PT(*) có 27 nghiệm phân biệt l k y  2cos với k  0;12 y  2cos với l  1;14 14 13 Thay giá trị y vào (3) (2) ta đến kết luận : 9k  9l   x  2cos 13  k  Hệ phương trình cho có nghiệm :  y  2cos 13  3k   z  2cos 13   x  cos 14  l   y  cos 14  3l   z  cos 14  với k  0;12 l  1;14 HƯỚNG DẪN CHUNG + Trên bước giải khung điểm bắt buộc cho bước , u cầu thí sinh phải trình bầy biến đổi hợp lý công nhận cho điểm + Mọi cách giải khác cho tối đa theo biểu điểm + Chấm phần Điểm tồn khơng làm trịn DeThiMau.vn 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009- 2010 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN (Đáp án gồm 06 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM... c , c  a  ca  0.25 c  a  0.25 Suy : P  a  b  c  2010 Với a  b  c  670 thỏa mãn a  b  c  2010 ta có P  2010 Vậy P  2010 Giải hệ phương trình sau: Câu 0.25  x  x  y (1) ... diện ABEF tứ diện cạnh a DeThiMau.vn NỘI DUNG CÂU  Tính thể khối tích tứ diện ABEF ĐIỂM a 0.5 12 VABEF AE AF a bc abc  Ta có :    VABCD  VABEF  VABCD AC AD bc a 12 0.25 ฀ BC  AB2  AC 