SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009-2010 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (3 điểm) Cho hàm số y x3 3mx 3(m 6) x (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị Khi hàm số (1) có cực trị , tìm m để điểm A (3;5) nằm đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) Câu 2: (3 điểm) Cho số nguyên dương a b thỏa mãn a b Hãy so sánh hai số: a b b a Câu 3: (4 điểm) 1 cos x.cos 2x x Cho hàm số f (x) x 0 x Tính đạo hàm hàm số x Giải phương trình: x 1 x 3 x x Câu 4: (2 điểm) Cho số thực x , y , z thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: F 3x y y z z 3x Câu 5: (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1) hai đường thẳng d1 : x y , d : x y Gọi A giao điểm d1 d Viết phương trình đường trịn có tâm nằm d1 , qua điểm M tiếp xúc với d Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt d1 , d B C cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác có BC 3AB Câu 6: (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB a , AC b , AD c BAC CAD DAB 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Cho a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c 2010 Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác BCD Câu 7: (2 điểm) x3 3x y Giải hệ phương trình : y y z z 3z x HẾT-Họ tên thí sinh: Số báo danh: DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009-2010 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN (Đáp án gồm 06 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Cho hàm số y x 3mx 3(m 6) x (1) Tìm m để hàm số (1) có cực trị 3.0 Khi hàm số (1) có cực trị , tìm m để điểm A (3;5) nằm đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 0.5 Ta có: y ' x 6mx m Câu Ý (1 đ) Ý (2 đ) Hàm số (1) có cực trị y’ có hai nghiệm phân biệt ' 9(m m 6) m 2 m m 2 Với (*) hàm số có cực trị tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số m (1) nghiệm hệ phương trình: y x 3mx 3(m 6) x y ' x 2mx m y x m x 2mx m m m x m 6m x 2mx m y m m x m 6m d m ln 2 DeThiMau.vn 0.5 0.5 0.25 0.25 Tọa độ điểm cực trị thuộc đường thẳng d m Vậy d m đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) m Điểm M(3;5) d m 5m 12m 32 m Kết hợp (*) ta có m = giá trị cần tìm Câu Cho số nguyên dương a b thỏa mãn a b Hãy so sánh hai số : a b b a ln x Xét hàm số f ( x) , x có x ln x f '( x) f '( x) x e (0; ) x2 BBT x e f '( x) + + f ( x) 0.5 ln 2 0.25 0.25 3.0 0.75 0.75 NỘI DUNG CÂU e b a ln a ln b f (a ) f (b) ab ba a b a; b Z 0 b a e b ab ba a; b Z a b ab ba e a Z b b ab ba e a a a Z ĐIỂM 0.5 0.25 0.25 b ba ab a b f (a ) f (b) a b b a 4 a Z Vậy với a, b nguyên dương, ta có: b Nếu a b e a b b a a b b b Nếu a b b a a a a e b Nếu a b b a a Câu 1 cos x.cos x x Cho hàm số f ( x) x 0 x Tính đạo hàm hàm số x Giải phương trình : x 1 x 3 x x Ý (2 đ) DeThiMau.vn 0.25 4.0 cos x cos x f ( x) f (0) lim x 0 x 0 x0 x2 1 cos3 x cos x cos3 x cos x lim lim lim 2 x 0 x 0 x 0 x 2x 2x2 2 3x x sin sin lim lim x 0 x x 0 x Vậy f '(0) ĐK: x x = không nghiệm phương trình Xét giới hạn lim 0.25 0.5 0.5 0.75 0.25 0.5 NỘI DUNG CÂU x PT x 3 x Ta xét hàm số sau 1; ĐIỂM x6 (*) x 1 0.5 1 3 0, x x 1 x6 1) f ( x) x 3 x có f '( x) Ý (2 đ) 2) g ( x) 7 x6 có g '( x) 0, x x 1 x 1 0.25 0.25 Do miền x > 1: VT(*) hàm số đồng biến, VP(*) hàm số nghịch biến nên nghiệm x nghiệm (*) Tóm lại: PT có nghiệm x Cho số thực x , y , z thỏa mãn x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: 0.25 0.25 F 3x y y z z 3x 2.0 Câu Áp dụng BĐT Buniacovsky ta có: F 6 x 12 y z 18 x 2 y z 18 x 2 x Xét hàm số: 0.75 f ( x) x 2 x miền xác định x 4x f '( x) x 3 x 0.25 ( x 3; ) x f '( x) (- 3; 3) x 1 f 0 f 3, 0.25 f 1 0.25 max f ( x) 3; Suy F 18.5 F 10 Với x y z thỏa mãn x y z F 10 Vậy max F 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1) hai đường thẳng d1 : x y , d : x y Gọi A giao điểm d1 d 1.Viết phương trình đường trịn có tâm nằm đường thẳng d1 , qua điểm M Câu tiếp xúc với đường thẳng d 2.Viết phương trình đường thẳng qua M cắt d1 , d B C cho ba điểm A , B , C tạo thành tam giác có BC 3AB Gọi đường trịn cần tìm (T) có tâm I, bán kính R Vì I d1 I a; a 1 (T) qua M tiếp xúc d2 nên ta có: IM d ( I ; d ) a 1 a2 2a a 1 0.25 0.25 0.25 a 13 10 I 13 10 2; 14 10 ; R DeThiMau.vn 3.0 a 26a 31 a 13 10 Ý 0.5 Phương CÂU (1.5 đ) NỘI DUNG y 14 10 9 (1) a 13 10 I 13 10 2; 14 10 ; R Phương trình (T) : x 13 10 y 14 10 trình (T) : x 13 10 2 ĐIỂM 0.25 2 0.25 (2) Vậy có hai đường trịn thỏa mãn u cầu đề với phương trình (1) (2) x y x Ta có tọa độ điểm A nghiệm hệ A(2;1) 2x y y 0.25 0.25 Lấy điểm E 3;2 d1 E A Ta tìm d2 điểm F ( F A ) cho EF = 3AE Do F d F x;5 x Khi 0.25 EF = 3AE x 3 x 18 2 F 0;5 x Ý x 18 x 18 11 18 x (1.5 đ) F ; 5 5 (Cả hai điểm F thỏa mãn F A ) BC AB EF AE Vì BC // EF // EF BC AB EF AE F 0;5 EF 3;3 : x y 18 11 21 F ; EF ; : x y 5 5 5 Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề : x y : x y Cho tứ diện ABCD có AB a , AC b , AD c BAC CAD DAB 600 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a, b, c Câu Cho a, b, c thay đổi thỏa mãn a b c 2010 Tìm giá trị nhỏ chu vi tam giác BCD 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3.0 A F 0.5 H B Ý (1.5 đ) E D C Khơng giảm tính tổng qt, giả sử a min{a;b;c} (cũng giả sử a b c ) Khi cạnh AC , AD lấy điểm E F saocho AE = AF = a Ta nhận tứ diện ABEF tứ diện cạnh a DeThiMau.vn NỘI DUNG CÂU Tính thể khối tích tứ diện ABEF ĐIỂM a 0.5 12 VABEF AE AF a bc abc Ta có : VABCD VABEF VABCD AC AD bc a 12 0.25 BC AB2 AC 2AB.AC.cosBAC a b ab Ta có Tương tự : Ý (1.5 đ) 0.5 CD b c bc , DB c a ca 0.25 Chu vi tam giác BCD P a b ab b c bc c a ca Ta có : a b ab Tương tự ta có: 0.25 1 2 a b a b a b 4 b c bc b c , c a ca 0.25 c a 0.25 Suy : P a b c 2010 Với a b c 670 thỏa mãn a b c 2010 ta có P 2010 Vậy P 2010 Giải hệ phương trình sau: Câu 0.25 x x y (1) y y z (2) z z x (3) 2.0 Thay (2) vào (1) có : ( z z )3 3( z z ) y (4) Thế (3) vào (4) ta : ( y y )3 3( y y ) ( y y )3 3( y y ) y 0.5 (*) Xét y 2; 2 , đặt y = 2cost ( t 0; ) , ta có : PT(*) (8cos3 t 6cos t )3 3(8cos3 t 6cos t ) 3[(8cos3 t 6cos t )3 3(8cos3 t 6cos t )] 2cos t 0.5 (8cos3 3t 6cos3t )3 3(8cos3 3t 6cos3t ) 2cos t 8cos3 9t 6cos9t 2cos t cos 27t cos t m m (mZ ) hoac t t 13 14 k l , k 0;12 , l 1;14 13 14 Từ PT (*) có 27 nghiệm phân biệt đoạn 2;2 0.25 Vì t 0; nên t k y 2cos với k 0;12 13 l y 2cos với l 1;14 14 DeThiMau.vn 0.25 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM PT (*) PT bậc 27 nên có tối đa 27 nghiệm Từ R , PT(*) có 27 nghiệm phân biệt l k y 2cos với k 0;12 y 2cos với l 1;14 14 13 Thay giá trị y vào (3) (2) ta đến kết luận : 9k 9l x 2cos 13 k Hệ phương trình cho có nghiệm : y 2cos 13 3k z 2cos 13 x cos 14 l y cos 14 3l z cos 14 với k 0;12 l 1;14 HƯỚNG DẪN CHUNG + Trên bước giải khung điểm bắt buộc cho bước , u cầu thí sinh phải trình bầy biến đổi hợp lý công nhận cho điểm + Mọi cách giải khác cho tối đa theo biểu điểm + Chấm phần Điểm tồn khơng làm trịn DeThiMau.vn 0,5 ...SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THÁI BÌNH KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2009- 2010 ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN (Đáp án gồm 06 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM... c , c a ca 0.25 c a 0.25 Suy : P a b c 2010 Với a b c 670 thỏa mãn a b c 2010 ta có P 2010 Vậy P 2010 Giải hệ phương trình sau: Câu 0.25 x x y (1) ... diện ABEF tứ diện cạnh a DeThiMau.vn NỘI DUNG CÂU Tính thể khối tích tứ diện ABEF ĐIỂM a 0.5 12 VABEF AE AF a bc abc Ta có : VABCD VABEF VABCD AC AD bc a 12 0.25 BC AB2 AC