Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 năm học 2000 2001 môn thi: Toán39986

Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2000 - 2001 Môn thi : toán ***** Đề thức ( Thời gian làm 180 phút ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( điểm ) Tìm tất giá trị tham số a để phơng trình : x 3x a = có ba nghiệm phân biệt , có hai nghiệm lớn Bài : ( điểm ) Trên mặt phẳng toạ độ cho đờng thẳng có phơng trình : x sin t + y cos t + cos t + = , t tham số 1, Chứng minh t thay đổi , đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn cố định 2, Gọi (x0 ; y0) nghiệm hệ phơng trình : x sin t + y cos t + cos t + = ⎨ 2 ⎩ x + y + 2y − = Chøng minh r»ng : x 02 + y02 Bài : ( điểm ) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm sè : cos x + cos x + y= cos x + Bµi : ( điểm ) Trên mặt phẳng toạ độ cho hai đờng thẳng d1 , d2 có phơng trình : (d1) : 4x +3y + = (d2) : 3x 4y = HÃy viết phơng trình đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng có tâm nằm đờng thẳng d có phơng trình : x – 6y – = Bµi : ( điểm ) Chứng minh bất đẳng thức sau ®óng víi mäi x > x2 x e >1+ x + DeThiMau.vn Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2001 - 2002 Môn thi : toán ***** Đề thức ( Thời gian làm 180 phút ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( ®iĨm ) −2x + (m + 2)x + m Cho hµm sè: y = 2x − m ,Tìm điểm cố định đồ thị hàm số m thay đổi , Tìm đờng tiệm cận đồ thị hàm số , Với giá trị m hàm số đà cho có cực đại , cực tiểu Bài : ( điểm ) , Tìm m ®Ó : 9x + 20y + 4z − 12xy + 6xz + mzy ≥ víi mäi sè thùc x , y , z , Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè a , b , c khác m > thoả mÃn hệ thức : a b c + + =0 m + m +1 m phơng trình ax + bx + c = cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc khoảng (0 ; 1) Bài : ( điểm ) 1, Với giá trị a hàm sè : y = cos x + sin x + a sin x cos x xác định với giá trị x 2, Tìm dạng tam giác ABC thoả mÃn : cot gA cot gB = A − B ⎨ ⎩1000A + 1001B = Bài : ( điểm ) Cho tam giác ABC , gọi d1 , d2 , d3 khoảng cách từ điểm M nằm phía tam giác đến cạnh tam giác 8S3 , S diện tích tam , Chứng minh bất đẳng thức : d1d d 27abc giác ABC ; a , b , c độ dài cạnh tam giác , Lập bất đẳng thức tơng tự cho tứ diện không gian Bài : ( điểm ) Cho đờng tròn tâm O , đờng kính AB = 2R Qua điểm M thuộc đờng tròn , kẻ đờng thẳng MH vu«ng gãc víi AB ( H thc AB ) Điểm I thuộc đờng thẳng MH thoả mÃn : IM = 2IH Tìm tập hợp điểm I M di chuyển đờng tròn DeThiMau.vn Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2002 - 2003 Môn thi : toán ***** Đề thức ( Thời gian làm 180 phút ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( điểm ) x với x ≥ ⎪⎧e Cho hµm sè y = ⎨ ⎪⎩ x + x + víi x < Tính đạo hàm hàm số điểm x = Bài : ( điểm ) Lập bảng biến thiên hàm số sau : y = x n (2 x) với n nguyên dơng Bài : ( điểm ) Tìm a để hàm số sau có cực tiểu mà cc đại : y = x + 4ax + 3(a + 1)x + Bµi : ( điểm ) (1) Cho phơng trình : x + mx − = 1, Chứng minh phơng trình (1) có nghiệm dơng 2, Xác định m để phơng trình (1) cã mét nghiƯm nhÊt Bµi : ( điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(a ; 0) , B(0 ; a) (víi a > 0)và đờng tròn () có phơng trình : x + y − 2ax − m 2y + a = ( m lµ tham sè ) , Chứng minh đờng tròn () tiếp xúc với Ox A Tìm giao điểm thứ hai P đờng tròn () đờng thẳng AB , Lập phơng trình đờng tròn () qua P tiếp xúc Oy B , Hai đờng tròn () () cắt P Q Chứng minh m thay đổi đờng thẳng PQ qua điểm cố định Bài : ( điểm ) Lập phơng trình đờng phân giác góc tạo đờng thẳng : x + y − = , 7x − y + = cã chøa ®iĨm M0(-1 ; 5) Bài : ( điểm ) Cho số thùc x1 , x2 , … , x2002 , y1 , y2 , , y2000 thoả mÃn điều kiÖn sau : 1) e ≤ x1 ≤ x ≤ ≤ x 2002 < y1 ≤ y ≤ ≤ y 2000 2) x1 + x + + x 2002 ≥ y1 + y + + y 2000 x1 x x 2002 > y1 y y 2000 Chøng minh : DeThiMau.vn Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2003 - 2004 Môn thi : toán ***** Đề thức ( Thời gian làm 180 phút ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( điểm ) x4 Cho hµm sè y = − 3x + x − , Chøng minh r»ng hµm sè cã cùc trÞ , Cho tam giác có toạ độ đỉnh toạ độ điểm cực trị , tìm toạ độ trọng tâm tam giác Bài : ( điểm ) , Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ đợc tiếp tuyến với parabol y = 4x x hai tiếp tuyến vu«ng gãc 17 , TÝnh diƯn tÝch tam giác có đỉnh điểm M( ; ) tiếp điểm tiếp tuyến ®i qua ®iĨm M Bµi : ( ®iĨm ) 1, Giải hệ phơng trình : x − 3x = y3 − 3y ⎨ 6 ⎪⎩ x + y = 2, Giải biện luận phơng trình ; 3x + 2ax + 32 x + 4ax + a + = x + 2ax + a Bài : ( điểm ) Cho họ đờng cong ( Cm) có phơng trình : x2 y2 + =1 m m − 16 m tham số , m , m ≠ ±4 , Tuú theo giá trị m , xác định tên gọi đờng cong , Giả sử A điểm tuỳ ý đờng thẳng x = A không thuộc trục hoành Chứng minh với điểm A có đờng cong họ ( Cm) ®i qua A , Khi m = hÃy tính diện tích hình phẳng giới hạn đờng cong Bài : ( điểm ) Chứng minh tam giác ABC có : 1 ⎞ ⎛ + + cot gA + cot gB + cot gC + 3 ≤ ⎜ ⎟ ⎝ sin A sin B sin C ⎠ 2 DeThiMau.vn Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2004 - 2005 Môn thi : toán ***** Đề chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( điểm ) Cho đờng cong (Cm) có phơng trình : y = (m + 1)x − 3(m + 1)x − (6m − 1)x − 2m , Chứng minh (Cm) qua ba điểm cố định thẳng hàng m thay đổi , Tìm tập hợp điểm mặt phẳng toạ độ để (Cm) không qua với m Bài : ( điểm ) Xác định dạng tam gi¸c ABC nÕu : a cos A + b cos B + c cos C a + b + c = a sin A + b sin B + c sin C 9R Bài : ( điểm ) x y2 + =1 Cho parabol y = x − 2x vµ elip 1, Chøng minh parabol elip có bốn giao điểm có hoành độ x1 , x2 , , x3 ,x4 thoả m·n −1 < x1 < < x < < x < < x < 2, Viết phơng trình đờng tròn qua giao điểm Bài : ( điểm ) ⎧2z + = x + x + x 1, Giải hệ phơng trình : 2y + = z + z + z ⎪ ⎩ 2x + = y + y + y x x ⎛ 1+ a2 ⎞ ⎛ a2 , Giải phơng trình : ⎟ −⎜ ⎟ = víi < a < ⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠ Bµi : ( 2điểm ) Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ 0;1] thoả mÃn điều kiện f(0) = f(1) Chứng minh phơng trình : f (x) = f (x + ) 2004 lu«n cã nghiƯm thc [ 0;1] DeThiMau.vn Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2005 - 2006 Môn thi : toán ***** Đề chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( ®iĨm ) x − 3x + 3x + a Cho hµm sè : y = x , Tìm a để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị , Chứng minh điểm cực trị nằm parabol cố định a thay đổi Bài : ( điểm ) Cho hai phơng trình : x + x + 2m − = (1) x + 2x + 2m + = (2) , Tìm m để hai phơng trình có nghiệm chung , Tìm m để hai nghiệm phơng trình nằm khoảng hai nghiệm phơng trình ngợc lại Bài : ( điểm ) Giải phơng trình : 1) 5sin x + cos 2x + cos x = 2) 2007 x − 2006 x = 2005x 2004 x Bài : ( điểm ) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng tròn có phơng trình : x + y = 1 , Viết phơng trình tiếp tuyến với đờng tròn điểm M , biết tia OM hợp với chiều dơng trục Ox góc a , Giả sư a thay ®ỉi tõ ®Õn , tiÕp tuyến thay đổi theo quýet đợc miền mặt phẳng toạ độ Tính phần diện tích giới hạn miền đờng thẳng y = Bài : ( 2điểm ) Tìm giá trị m để hệ sau có nghiệm : 1− m ⎧ 2 ⎪ x + 2xy − 7y ≥ 1+ m ⎨ 2 ⎪⎩3x + 10xy − 5y ≤ DeThiMau.vn Së gi¸o dơc - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2006 - 2007 Môn thi : toán ***** Đề thức ( Thời gian làm 180 phút ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( ®iĨm ) x − 2x + m Cho hµm sè : y = (Cm ) víi m ≠ x−2 , T×m m để đồ thị (Cm) cắt trục hoành hai điểm phân biệt A , B cho tiếp tuyến với đồ thị A , B vuông góc , Tìm m để tam giác tạo tiếp tuyến đồ thị (Cm) với hai tiƯm cËn cã diƯn tÝch b»ng Bµi : ( điểm ) , Giải phơng tr×nh : 1 2cos 2x −1 + = cos 2x + log (3cos 2x − 1) 2 , Tìm giá trị nhỏ a để hÖ sau cã nghiÖm : 2 ⎪⎧ x + 4xy + 12y ≥ 72 ⎨ 2 ⎪⎩3x + 20xy + 80y = a Bµi : ( điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC Đờng phân giác AD ( D ∈ BC ) , ®−êng cao CH ( H ∈ AB ) lần lợt có phơng trình : x y = , 2x + y + = Cạnh AC qua điểm M(0 ; -1) AB = 2AM HÃy viết phơng trình cạnh tam giác ABC Bài : ( điểm ) Trên hệ toạ độ Oxy cho đờng (C) có phơng trình : x + y = Tìm m để đờng thẳng y = m có điểm cho từ điểm kẻ đợc hai tiếp tuyến đến (C) cặp tiếp tuyến tạo thành góc 45 Bài : ( 5điểm ) , Chứng minh r»ng víi mäi x > ta cã : x −1 ln x < x , T×m sè thực thoả mÃn bất đẳng thức : n , với n nguyên dơng ln(1 + ) n DeThiMau.vn Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2007 - 2008 Môn thi : toán ***** §Ị chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180 ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( ®iĨm) Cho hai sè m , p ( m ≠ ) x − m2 vµ (Cp): y = x − (2 p − 1) x Xét đồ thị (Cm): y = x 1, Tìm điều kiện m p để hai đồ thị tiếp xúc 2, Giả sử hai đồ thị tiếp xúc , chøng minh r»ng tiÕp ®iĨm cđa chóng thc thị hàm số y = x x3 Bài : (2 điểm ) Biết phơng trình : x3 + x + ax + b = cã nghiƯm ph©n biƯt Chøng minh r»ng : a2 3b > Bài : ( điểm ) 1, Tìm m để hệ sau có nghiệm : log ( x + 3) ⎪⎧ x ≥ ⎨ ⎪⎩1 + log (m − x) ≥ log ( x + 1) 2, Tìm m để phơng tr×nh sau cã nghiƯm : (2m − 1) x + + (m − 2) − x + m = Bài : ( điểm) 1, Cho tam gi¸c ABC víi B (1 ; 2) , đờng phân giác góc A có phơng tr×nh 2x + y + = (d) Tìm toạ độ đỉnh A C biết khoảng cách từ C đến (d) hai lần khoảng cách từ A đến (d) C nằm trục tung 2, Cho A(0 ; 4) vµ B(-4 ; 0) Xét đờng thẳng : ax + by + = ( a2 + b2 > 0) tiếp xúc với đờng tròn : x2 + y2 = 16 Tìm giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ A B đến Bài 5: (2 điểm) Gọi xi nghiệm bất phơng trình : x − 2ai x + (ai − 1) ≤ ( i = 1; n ) vµ ≤ ≤ 5, i = 1; 2; ; n x12 + x22 + + xn2 x + x + + xn Chøng minh r»ng : ≤1+ n 2n DeThiMau.vn Së gi¸o dơc - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2008 - 2009 Môn thi : toán ***** Đề thức ( Thời gian làm 180 phút ) ******* Đỗ Bá Chủ tặng www.mathvn.com Bài : ( điểm) 1, Khảo sát vẽ đồ thị hàm số : y = x x () 2, Gọi d đờng thẳng qua M(2 ; 0) có hệ số góc k Tìm k để đờng thẳng d cắt () điểm phân biệt Bài : (4 ®iÓm ) ⎧ x1 = ⎪ 1, Cho d·y (xn) xác định : 2008 với n = + x n + ⎪ + xn ⎩ Chøng minh r»ng d·y (xn) cã giíi hạn tìm giới hạn 2, Tìm m để phơng trình : x + y + 2x(y 1) + m = cã nghiƯm Bµi : ( ®iĨm ) Cho < a, b, c, d < Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc : 1 1 F = log a (b − ) + log b (c − ) + log c (d − ) + log d (a − ) 4 4 Bµi : ( điểm) 1, Giải phơng trình : x − x − 2008 + 16064x = 2008 2, Tìm nghiệm phơng trình cos x sin x − cos2x + sin 2x = tho¶ mÃn 2008 < x < 2009 Bài 5: (2 điểm) Cho tam giác ABC biết A(1 ; -2), hai đờng phân giác góc B C lần lợt có phơng trình (d1) : 3x + y = vµ (d2) : x – y – = Lập phơng trình cạnh tam giác ABC Bài 6: (4 điểm) Cho tam diện vuông Oxyz điểm A cố định bên tam diện Gọi khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz , Ozx , Oxy lần lợt a , b , c Một mặt phẳng ( α ) qua A c¾t Ox , Oy , Oz lần lợt M , N , P a b c 1, Chøng minh r»ng + + =1 OM ON OP 2, Xác định vị trí mặt phẳng ( ) để thể tích tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ Khi thể tích tứ diƯn OMNP nhá nhÊt , h·y chØ râ vÞ trÝ ®iÓm A 3, Chøng minh r»ng : ( MN + NP + PM)2 ≤ 6(OM + ON + OP ) Bài 7: (2 điểm) < a ≤ b ≤ c ≤ d Cho ⎨ Chøng minh r»ng : a b b c c d d a ≥ a d d c c b b a bc ad DeThiMau.vn Tản mạn ! Cực đại , cực tiểu Lơ lửng khoảng trời Nằm hai phía trục toạ độ Biết đến chụm đôi Đỗ Bá Chủ DeThiMau.vn ... 2; ; n x12 + x22 + + xn2 x + x + + xn Chøng minh r»ng : ≤1+ n 2n DeThiMau.vn Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2008 - 2009 Môn thi : toán ***** Đề thøc... tập hợp điểm I M di chuyển đờng tròn DeThiMau.vn Sở giáo dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2002 - 2003 Môn thi : toán ***** Đề chÝnh thøc ( Thêi gian lµm bµi 180... gC + 3 ≤ ⎜ ⎟ ⎝ sin A sin B sin C ⎠ 2 DeThiMau.vn Së gi¸o dục - đo tạo Thái bình Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 12 Năm học 2004 - 2005 Môn thi : toán ***** Đề thức ( Thời gian làm 180 phút ) *******