Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố lớp 9 THCS (năm 2016 – 2017) môn Toán43635

C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 S GIÁO D C VÀ ÀO T O THÀNH PH H CHÍ MINH THI H C SINH GI I C P THÀNH PH L P – THCS (N M 2016 – 2017) MƠN TỐN Th i gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/3/2017 CHÍNH TH C CAO HOÀNG L I Bài 1: (3 m) Cho ba s a, b, c th a u ki n: a  b  7; b  c  a2  b2  c2  ab  bc  ca Tính giá tr c a bi u th c P  a2  c2  2ab  2bc Bài 2: (3 m) Gi i ph ng trình:  2x  1 x   x2  Bài 3: (3 m) Gi i h ph Bài 4: (4 m)  x  y  1  y  x  1  ng trình:    x  1 y  1  1) Cho s th c d ng x, y th a 2) Tìm x, y nguyên th a mãn ph x 2y   Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  xy2 1 x 1 y ng trình:  x  y  x  2y   x  Bài 5: (5 m) 1) Cho tam giác nh n ABC có H tr c tâm G i M, N l n l t trung m c a BC AH ng phân giác góc A c t MN t i K Ch ng minh r ng AK vng góc v i HK 2) Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn (O) G i AH, AD l n l t đ ng cao , đ ng phân giác c a tam giác ABC  H,D  BC Tia AD c t (O) t i E, tia EH c t (O) t i F tia FD c t (O) t i K Ch ng minh r ng: AK đ ng kính c a (O) Bài 6: (2 m) Trong tu n, m i ngày Nam ch ch i m t môn th thao Nam ch y ba ngày m t tu n nh ng không bao gi ch y hai ngày liên ti p Vào th Hai, ch i bóng bàn hai ngày sau ch i bóng đá Nam cịn b i ch i c u lông, nh ng không bao gi Nam ch i c u lông sau ngày ch y ho c b i H i ngày tu n Nam b i? Trang www.thangtienthanglong.edu.vn ThuVienDeThi.com C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 S GIÁO D C VÀ ÀO T O THÀNH PH H CHÍ MINH THI H C SINH GI I C P THÀNH PH L P – THCS (N M 2016 – 2017) MÔN TOÁN Th i gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/3/2017 CHÍNH TH C H ng d n gi i Bài 1: (3 m) Cho ba s a, b, c th a u ki n: a  b  7; b  c  a2  b2  c2  ab  bc  ca Tính giá tr c a bi u th c P  a2  c2  2ab  2bc Ta có: a  b  7; b  c   a  b   b  c     a  c  10  a  b    b  c   c  a Ta có: P  a  b    b  c   c  a   a  c  a  c   2b  a  c    a  c  2ab  2bc   a  b    b  c   c  a    a  b    b  c    c  a     10  79   a  c  a  c  2b   a  c   a  b    b  c  10   3 40 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 2: (3 m) Gi i ph ng trình:  2x  1 x   x2  i u ki n: x  3 Ph ng trình cho t ng đ ng v i: 2x x   x   x   x  x   x  2x x   x   x   x   x x3  x x3   x   x  1  x  x    x3  x (1)    x  x     x   x  (2) x    13   x  13  x   x Gi i (1), x   x   (nh n)  2 x   x    x   13    Trang www.thangtienthanglong.edu.vn ThuVienDeThi.com C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 Gi i (2), x    17  17  x   x    x  (nh n)     x   x 1   x   2  x   x  2x  x  3x      x   17    V y t p nghi m c a ph   13  17    ng trình S   ;      Bài 3: (3 m) Gi i h ph  x  y  1  y  x  1  ng trình:    x  1 y  1  x  y  1  y  x  1  xy  x  xy  y  2xy  x  y   Ta có:    xy  x  y   xy  x  y    x  1 y  1  3xy  3xy  3xy  3xy      xy  x  y  3xy  3x  3y  8  3x  3y  3x  3y  2  y   x      3y   y  3y  2y    y         y     3x  3y   3x  3y   x  2 x  y     y    Bài 4: (4 m) 1) Cho s th c d ng x, y th a x 2y   Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P  xy2 1 x 1 y x 2y    x 1  y   2y 1  x   1  x 1  y  1 x 1 y  x  xy  2y  2xy   y  x  xy  y  2xy   2xy   y Ta có: y y y2  y 4y2  4y   1 (2y  1)2 1 Do ta có: xy  2xy  1  y       P 2 8 8 1 V y Pmax  D u ‘’=’’ x y y  x  2 2) Tìm x, y nguyên th a mãn ph ng trình:  x  y  x  2y   x  Cách 1: ph ng trình n x, y nguyên (b c đ i v i x, y) Ta có:  x  y  x  2y   x   x2  3xy  2y2  x   x2  3y  1 x  2y2      y   3y  1  2y2   y2  6y  21 x, y nguyên  y s ph Trang ng www.thangtienthanglong.edu.vn ThuVienDeThi.com C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 t  y  k (không m t tính t ng quát, ta gi s k  N )   y  6y  21  k   y  3  12  k 2   y   k  y   k   12  12  1.12  3.4  2.6  Vì k  N nên y   k  y   k Vì  y   k    y   k   2y  s ch n Nên  y   k  ,  y   k  có tính ch n l Do ch có tr ng h p th a đ y   k  2 y  k  y    TH1:  y   k  y  k  k  V i y = 5, th vào ph ng trình  x  y  x  2y   x  , ta đ c:  x  5  x  5 x  10   x    x  5 x  10  1   x  9 (Th  y   k  6 y  k  3 y    TH2:  y   k  y  k  k  V i y = 1, th vào ph ng trình  x  y  x  2y   x  , ta đ c: x   3x   x   x  2x     (Th l i th y đúng)  x  3 ng trình cho có nghi m nguyên  x;y    5;5 ,  9;5 , 1;1 ,  3;1  x  1 x    x   x V y ph l i th y đúng) Cách 2: dùng l p 8, b sung h ng đ ng th c Ta có:  x  y  x  2y   x   x2  3xy  2y2  x   x2  3y  1 x  2y2    3y    3y   9y  6y  8y  20  x   x    0    4     2  3y   y  6y  21  x 0        2x  3y  1   y    2x  3y  1  y  6y  21  2   6y   12   2x  3y  1   y    12 2   2x  3y   y  3 2x  3y   y    12   2x  2y   2x  4y    12   x  y  1 x  2y    Do x, y nguyên nên, ta có b ng sau: Trang www.thangtienthanglong.edu.vn ThuVienDeThi.com C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 x  y 1 x  2y  x y V y ph -5 -1 -3 -3 1 -3 -1 -9 ng trình cho có nghi m ngun  x;y    5;5 ,  3;1 , 1;1 ,  9;5 Bài 5: (5 m) 1) Cho tam giác nh n ABC có H tr c tâm G i M, N l n l t trung m c a BC AH phân giác góc A c t MN t i K Ch ng minh r ng AK vng góc v i HK A N O K H C B M T G i O tâm c a (ABC) V đ ng kính AT c a (O) Ta d ch ng minh t giác BHCT hình bình hành  đ ng chéo BC HT c t t i trung m c a m i đ ng Mà M trung m c a BC nên M trung m c a HT Do đó, ta ch ng minh đ c MN đ ng trung bình c a AHT  MN // AT BAK  CAK    Ta có:   BAH  CAT  dễ chứng minh   BAK  BAH  CAK  CAT  HAK  TAK Mà TAK  AKN (2 góc so le MN // AT) Nên HAK  AKN  NAK cân N  KN = NA 1 M t khác NA  AH nên KN  AH  KAN vuông t i K  HK  AK 2 Trang www.thangtienthanglong.edu.vn ThuVienDeThi.com ng C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 2) Cho tam giác ABC n i ti p đ ng tròn (O) G i AH, AD l n l t đ ng cao , đ ng phân giác c a tam giác ABC  H,D  BC Tia AD c t (O) t i E, tia EH c t (O) t i F tia FD c t (O) t i K Ch ng minh r ng: AK đ ng kính c a (O) A F O B H C D K E G i E giao m c a tia AD (O) Do đó, ta ch ng minh đ c sđ EA = sđ EC Mà FHB  sđBF  sđEC (góc có đ nh bên đ ng tròn ch n BF EC ) 1 Nên FHB  sñBF  sñEB  FHB  sñEF 2 M t khác FAD  sđEF (góc n i ti p ch n BF c a (O))     Nên FHB  FAD  t giác AFHD n i ti p  AFD  AHD  900 Mà AFD  AOK (góc n i ti p góc tâm ch n AK c a (O)) Nên 900  AOK  AOK  1800  A, O, K th ng hàng M t khác AK dây cung c a (O) nên AK đ ng kính c a (O) Trang www.thangtienthanglong.edu.vn ThuVienDeThi.com C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 Bài 6: (2 m) Trong tu n, m i ngày Nam ch ch i m t môn th thao Nam ch y ba ngày m t tu n nh ng không bao gi ch y hai ngày liên ti p Vào th Hai, ch i bóng bàn hai ngày sau ch i bóng đá Nam cịn b i ch i c u lông, nh ng không bao gi Nam ch i c u lông sau ngày ch y ho c b i H i ngày tu n Nam b i? Theo đ bài, Nam ch i bóng bàn th Hai ch i bóng đá vào th T Do ngày Nam ch y không th r i vào t th N m đ n Ch nh t (vì có ngày ch y liên ti p)  ngày Nam ch y vào th Ba Vì v y, ngày ch y l i s r i vào t th N m đ n Ch nh t Ta xét tr ng h p sau: TH1: Nam ch y vào th N m + th B y  Nam ch i c u lông th Sáu ho c Ch nh t đ u khơng th a đ (vì đ u ngày sau ch y) TH2: Nam ch y vào th N m + Ch nh t  Nam không th ch i c u lông vào th Sáu mà ph i ch i c u lông vào th B y  Nam b i vào th Sáu (lo i Nam ch i c u lơng vào th B y sau ngày b i) TH3: Nam ch y vào th Sáu + Ch nh t  Nam không th ch i c u lông vào th B y mà ph i ch i c u lông vào th N m  Nam b i vào th B y (th a đ ) V y th B y tu n, Nam b i H T  Trang www.thangtienthanglong.edu.vn ThuVienDeThi.com ... TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 S GIÁO D C VÀ ÀO T O THÀNH PH H CHÍ MINH THI H C SINH GI I C P THÀNH PH L P – THCS (N M 2016 – 2017) MƠN TỐN Th i gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 20/3/2017 CHÍNH... ThuVienDeThi.com C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 x  y 1 x  2y  x y V y ph -5 -1 -3 -3 1 -3 -1 -9 ng... ThuVienDeThi.com C NG TY C PH N GIÁO D C TH NG TI N TH NG LONG 16-17 Tr s chính:766/36-766/38 CMT8, P.5, Q TÂN BÌNH, 38 420 372 – 38 460 835 Bài 6: (2 m) Trong tu n, m i ngày Nam ch ch i m t môn th