Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán Đề 543271

®Ò thi häc sinh giái khèi 12 Thêi gian :180’ Môn : Toán 1-Bài 1: (3 điểm) Cho tÝch ph©n I n   Sin n xdx ( n N* ) a-Tìm hệ thức In In+2 b-CMR : hàm số f(n)=(n+1)In In+1 thoả mÃn f(n+1)=f(n) c-Tính f(n) 2- Bài : (4 điểm) a- Giải bất phương trình sau : 4x2  2x  < 2x+9  Sinx Siny b- Tìm m để hệ sau có nghiÖm:  Cos x  Cos y m 3- Bài : ( điểm) Cho d·y sè thùc a0;a1;a2; ;an; tho¶ m·n : n  a   a0  a1  a2   an  1 DÃy bn xác định sau : bn 1  k 1  1a ak  k k 1  a- CMR:  bn < b-CMR : Mäi C cho tr­íc  C < tồn dÃy a0;a1;a2; ;an; Thoả m·n (1) cho bn > C víi v« sè số n 4- Bài : ( điểm )Cho ABC CMR: Điều kiện cần đủ để đoạn AB tồn điểm D cho CD trung bình nhân độ dài AD ;BD là: SinA.SinB Sin 5- Bài : (3 điểm) CMR C x1>0 ; x2>0 ; x1y1-z12>0 ; x2y2-z22>0 Th× : 1   DÊu b»ng xảy nào? 2 x1 x2 y1  y2   z1  z2  x1 y1  z1 x2 y2  z22 6- Bµi : ( 4điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a tam giác SAB nằm hai mặt phẳng vuông góc với nhau.I trung điểm AB, M điểm chạy AB 1-CMR : SAD  SAB ; SBC   SAB  VÏ giao tuyến tính góc phẳng nhị diện (SAD) (SBC) 2- Vẽ MN; MQ song song với BS,BC (N AS ; Q CD ).Mặt phẳng MNQ SD P aCMR: MNPQ hình thang vuông, MN PQ R Tìm quĩ tích R M di chuyển AB bĐặt AM=x Tính diện tích hình thang MNPQ theo a x, xác định x để diện tích đạt giá trị lớn Tính diện tích lớn DeThiMau.vn đáp ¸n thi häc sinh giái khèi 12 1- bµi 1: ( điểm) a- Tìm hệ thức In In+2 ta cã In+2=    2 0     2 0 n2 n n n n  Sin xdx   Sin x.Sin xdx   Sin x  Cos x dx   Sin xdx Sin x.Cos xdx u Cosx đặt   n dv  Sin x.Cosxdx du   Sinxdx   n 1 v  n  Sin x vËy (0,25)   (*) (0,5)  2   n n 1 Sin xCos xdx  Sin xCosx  Sin n  xdx   I n  (0,5) 0  n 1  n 1  0 n  vËy (*) trë thµnh In+2 = In - In+2  (n+1)In = (n+2) In+2 (0,25) n 1 b- CM : f(n+1) = f(n) tõ f(n)=(n+1) InIn+1  : f(n+1) )=(n+2) In+1In+2 mµ (n+1)In = (n+2) In+2 nªn ta cã f(n+1) )=(n+1) InIn+1 = f(n) (0,25) c- TÝnh f(n) ta cã   2  f 1  f 2    f    f 3   f  f 3  4   f n   f 1      f n 1  f n    f(n)=f(1) =2.I1I2 =2  Sinxdx. Sin xdx  2 Cosx 02  1  Cos x dx  vËy f(n) =  2  (0,5) (0,25) (0,5) víi n 2- Bài 2: (4 điểm) a- (2 điểm)  x  ®iỊu kiƯn :     x   §Ĩ vÕ tr¸i cã nghÜa :  x     x  (0,25) DeThiMau.vn Ta nhËn thÊy r»ng 2x x(1   x )   (1   x )   2x   2x 4x2 VËy  (1   x ) 2 (1   x ) (0,25) (0,25) BPT :  : ( 1+  x )2 < 2x +  1+1 +2x +  x < 2x +   2x < 49  1+ 2x < 49 45  2x < -1= 4 45 x < (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) KÕt hợp với điều kiện : 45 ; TËp hỵp nghiƯm cđa BPT : x   \ (0,25) b- (2 điểm) (0,5) Đặt Sinx = u ; Siny = v Khi ®ã hƯ trë thµnh : (1)  u  v    2  m (2) u  v    u  1; v    (0,5) DeThiMau.vn (3) - C¸c điểm thoả mÃn ( 3) nằm hình vuông MNPQ đường thẳng (1) nằm hình vuông đoạn th¼ng AB A( 1 ;1) ; B ( 1; ) 2 (0,25) 2m cắt đoạn AB khoảng cách từ O đến AB OC = 2 Nên ta phải tìm m để đường tròn tâm bán kÝnh r = Ta thÊy OA = OB = (0,25) Vậy để đường tròn ( 2) cắt AB Trong hình vuông ta phải có 2m m 4 víi m   ;  th× hƯ cã nghiƯm 2 4 (0,5) 3-Bài : ( điểm) a- k  ta cã :  ak 1 ak 1mặt khác : (1  ak 1 a  ak 1  k  ) ak ak ak ak ak  ak 1 ak ak 1   2 1    a ak   k 1  n  a  ak 1  => : bn   1  k 1  ak  ak k 1  ak  ak 1  ak  ak 1 ak ak 1 vËy    ak  ak 1 ak 0 n (0,5)  ak   1    2  2    a   a  a a a k 1  k 1 k  n   n bn    vËy  bn < (0,5) b- NÕu chän C tho¶ m·n  C < ta chọn q cho C CosC nên SinA.SinB = (Cos  CosC )  Sin Sin  SinC1SinC2 C  C  ( C1  ; C2  ) 2 (0,25) Râ rµng C1+C2 = C Vì (0,25) Trong tam giác từ C ta kẻ Cx Sao cho chia C thành C1và C2 Cx cắt AB D Thì D điểm cần tìm (0,25) Từ : SinA.SinB=SinC1SinC2 => CD = AD.BD (0,25) 5-Bài 5: (3 điểm ) Đặt : F(x) = x1 X2 -2z1X +y1 G(x) = x2 X2 - z2X + y2 Đặt : D1= x1y1 - z12 D2 = x2y2 - z22 H(x) = F(x) + G(x) D= (x1+ x2 ) (y2+y2)-(z1+z2)2 (0,5) (0,25) 2 2   z VËy F(x)=x1  X    x1 y1 2 z1  mäi X ta cã F(X)  x1 y1  z1  D1 dÊu b»ng x¶y X=z1/x1 x1 x1 x1  x1   DeThiMau.vn T­¬ng tù G(X)  D2 dÊu b»ng x¶y X=z2/x2 (0,5) x2 H(X)  D D dÊu b»ng x¶y X= z1  z2 X= z1  z2 ta cã D D  + dÊu b»ng x¶y x1  x2 x1  x2 x1 x1  x2 x1  x2 x2 z2/x2= z1/x1 VËy  D (0,5) 8   D     x1  x2  D1  D2  x1  x2  D1  D2   x1 x2   x1 x2  (0,5) Theo bất đẳng thức cô si cho hai số:  D 2 1 1   nghÜa lµ D1 D2 D1 D2 DD x1 x2 2 x1 x2 1   2 x1  x2  y1  y2   z1  z2  x1 y1  z1 x2 y2  z22 (0,5) dÊu b»ng x¶y z2/x2= z1/x1; x1=x2 ;D1=D2  x1=x2 ; y1=y2; z1=z2 (0,25) (1 ®iĨm) 1- (1®iĨm) Ta cã AB= (SAB)  (ABCD) SI AB (SAB) (ABCD) Nên SI  AD => AD  (SAB) mµ AD n»m (SAD) =>(SAD)  (SAB) SI  BC => BC  (SAB) mµ BC n»m trong( SBC) =>(SBC)  (SAB) AD  (SAD) DeThiMau.vn BC  (SBC) S= (SAD)  (SBC); AD//BC giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng qua S song song với BC , Đó St => St (SAB)=> St SB St SA nên góc ASB góc phẳng nhị diện (SAD)và (SBC)và có độ lớn 600 2-a- (1 ®iĨm)  (MNQ); Ta cã (MNQ) //AD; NP= (MNQ) (SAD);MQ//AD;MQ AD (SAD) =>NP//MQ mặt khác MQ  AB  (SAB); AB =(SAB)  (ABCD) =>MQ MNvà NP MNvậy MNPQlà hình thang vuông M,N gäi R=MN  PQ => SR  ( SAB)  ( SCD  SD//CD//AB tõ Sta kỴ Sz //AB Khi M chạy AB Rchạy Sz khiM Athì R L L giao Sz với đường thẳng qua Avà song song với SA khiM  B th× R  SvËy q tÝch cđa R đoạn SL 2-b- (1 điểm) Tam giác AMN tam giác => MN=NA=AM=x tam giác SNP vuông cân NS=NP= a-x ( NP MQ) MN (a  x  a ).x (2a  x).x  2a  x  x  a2 a2 ta cã SMNPQ =      S max    2 2 2  2a-x=x x=a chÝnh P  N  S DeThiMau.vn .. .đáp án thi học sinh giỏi khối 12 1- 1: ( điểm) a- Tìm hệ thức In vµ In+2 ta cã In+2=    2 0     2 0 n2... > C (0,25) n ak lim p n n k 1 lim bn n 4-Bµi 4: ( điểm) DeThiMau.vn (0,5) * Điều kiện cần : (1điểm) Giả sử : CD2 =AD.BD Ta có : SinA SinC1 SinB SInC2 1  ;   SinA.SinB  SinC1.SinC2 ... DeThiMau.vn BC  (SBC) S= (SAD) (SBC); AD//BC giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng qua S song song với BC , Đó St => St (SAB)=> St SB St SA nên góc ASB góc phẳng nhị diện (SAD)và (SBC)và có