§Ị thi häc sinh giái to¸n 12 Thêi gian : 180 phút Bài 1: (2điểm) : Tìm điểm cực trị hàm số : y = excosx (Trích chuyên đề Hàm số Lê Hồng Đức) Bài (4 điểm) : Cho phương trình : cos3x - cos2x + m cosx - = a- (2 ®iĨm) : Giải phương trình với m = b- (2 điểm) : Tìm m để phương trình có bảy nghiệm (- ; 2) (Trích đề thi ĐH Y thµnh Hå ChÝ Minh 1999) Bµi (2 điểm) : Giải bất phương trình : x x - x + > (Trích 150 đề thi Đại học) Bài (2 ®iĨm) : Chøng minh r»ng : ABC nhän ta ®Ịu cã : (SinA + SinB + SinC) + (tgA + tgB + tgC) > 3 (TrÝch đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 tỉnh Hải Phòng 1998) Bài (2 điểm) x3 x x2 T×m A = lim F(x) víi F(x) = x1 (TrÝch ®Ị thi ĐH QGHN năm 1993) Bài (2 điểm) : TÝnh : I= xdx 0 x x (Trích đề ĐH TCKT năm 2000) Bài (2 điểm) : Tìm giá trị nhỏ hàm sè : y = x3 + víi x > DeThiMau.vn x2 (Trích PP giải toán hàm số tác giả Lê Hồng Đức) sin x sin x (3 sin x 10).3 Bài (2 điểm) : Giải phương trình : +3Sinx = (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 12- tỉnh Đồng Nai - 1996) Bài (2 điểm) : Cho ABC biết A (2; -1) hai đường phân giác góc B C có phương trình : dB : x - 2y + = dC : x + y + = HÃy lập phương trình đường thẳng BC./ (Trích đề thi ĐH Thương mại năm 1999) hướng dẫn chấm thi môn toán đề thi học sinh giỏi toán 12 Thêi gian : 180 Bµi Néi dung TX§ : D= R Ta cã : y' = excosx - exsinx §iĨm 0,25 Cho y' = ex (cosx - sinx) = sinx = cosx x= + k ( kz) y" = excosx - exsinx - (exsinx + excosx) = - 2exsinx Víi x = 0,25 0,5 + k TH1 : NÕu k = 2l (lz) th× x = + l2 Thay vµo y" : y"( y= + l2) = - 2e l 2 Sin ( + l2) < + l2 (lz) điểm cực đại hàm số DeThiMau.vn 0,5 5 + l2 TH2 : NÕu k = 2l + (lz) x = Thay vào y" ta cã : 5 y"( + l2) = -2 e x= 5 l 2 Sin ( 5 + l2) > 5 + l2 lµ ®iĨm cùc tiĨu cđa hµm sè (lz) 0,5 4.00 2a 2.00 Biến đổi phương trình dạng : 4cos3x - 3cosx - 2cos2x + + mcosx - = 4cos3x - 2cos2x + (m - 3) cosx = Đặt t = cosx, xR t [-1; 1] (1) 0,5 (*) Víi m = thay vào (1) ta : t (4t2 - 2t - 2) = t = 0; t = cosx = cosx = - x= x= cosx = 1 ;t=1 tho¶ m·n (*) 1.00 + k2 2 + k2 (kz) 0,5 x = k2 2b 2.00 Tõ ph¬ng tr×nh (1) ta cã : cosx = (2) 4cos2x - 2cosx + m - = Gi¶i (2) ta cã : cosx = x = (3) + k (kz) V× x (- ; 2) nên phương trình (2) nhận : Đặt t = cosx th× (3) 4t2 - 2t + m - = x= 3 x= nghiệm 0,5 (4) Để phương trình (1) có nghiệm (- ; 2) phương trình (4) DeThiMau.vn 0,5 phải có nghiệm thoả mÃn ®iỊu kiƯn sau : -1 < t1 < < t2 < Trong ®ã f(t) = 4t2 - 2t + m - af(0) < 0,5 af(-1) > af(1) > m-3 x - 2x2 - 6x + 0,5 x-2 (x - 2)2 x-2 x x 3 0.5 x x2 - 4x + x2 x 3 3 0,5 x2 - 2x - > x2 x 3 x < -1 x>3 x 3 x>3 x2 KL : VËy bÊt phương trình đà cho có nghiệm : DeThiMau.vn 0,5 T = (- ; 3 ] (3; + ) 2.00 Chøng minh : XÐt hµm sè : f(x) = Víi x (0 ; Ta cã : f'(x) = f'(x) = 2 sinx + tgx - x 3 0.5 ) cosx + -1 3 cos x 1 (cosx + cosx + )-1 3-1 cos x f'(x) Hµm sè y = f(x) hàm số ĐB (0 ; 0,5 ) f(x) > f(0) 0,5 sinx + tgx - x > x (0 ; ) 3 V× ABC nhän nªn ta cã : VËy ( sinA + 2 tgA - A) + ( sinB + tgB - B) + ( sinC + tgC - C) > 3 3 (sinA + sinB + sinC) + (tgA + tgB + tgC) > A + B + C 3 0, (sinA + sinB + sinC) + (tgA + tgB + tgC) > () 3 2.00 ViÕt F(x) vỊ díi d¹ng : ( x 2) (3 x 2) F(x) = x 1 VËy : A = lim ( x1 x3 ) - lim x2 x1 x2 x2 DeThiMau.vn 1.00 Ta cã : lim ( x3 x3 = lim = ) x2 ( x 1)( x x1 x1 0,5 ( x x 1) = lim = ( x 1)( x x1 Ta cã : lim x2 x2 = lim x2 ( x 1)[(3 x ) 23 x 4] x1 = x1 = lim ( x 7) x 2 = 12 x1 A= 0,5 11 =8 12 24 2.00 Đặt t = x2 dt = 2xdx x=0t=0 Khi x = t = ®ã ta cã : I= 1 dt dt = t t 1 (t ) Đặt t + 3 du = tgu dt = = (1 + tg2u) du 2 2 cos u Khi t=0 u= t=1 u= I= 0,5 0,5 (1 tg 2u ) du du 3 tg u 4 0,5 I= u 0,5 DeThiMau.vn 2.00 Ta cã : y = 3 1 x + x + + + ( x >0) 2 x x x 0,5 áp dụng bất đẳng thức Côsy cho sè : 3 1 1 1 1 x ; x ; ; ; ta cã : y 5 x x 2 x x x x x x y 55 Min y = y 0,5 5 0,5 (0; + ) DÊu "=" s¶y x = x3 = x2 = x = x2 2 x5 = x = 0,5 2.00 32sinx - + (3sinx - 10) 3sinx - + - sinx = (5) Đặt t = 3sinx - với t > Khi phương trình tương ®¬ng víi : 3t2 + (3sinx - 10)t + - sinx = (6) = (3sinx - 10)2 - 4.3(3 - sinx) = (3sinx - 8)2 Phương trình (6) cã nghiƯm lµ : t= 0,5 t = - sinx + Víi t = 1 ta : 3sinx - = sinx - = -1 sinx = 3 x= + k2 (kz ) + Víi t = - sinx ta cã : 3sinx - = - sinx 0,5 (7) NhËn thÊy sinx = nghiệm phương trình (7) 30 = - (đúng) 0,5 Chứng minh sinx = nghiệm phương trình (7) : Vế trái y = 3sinx - hàm số đồng biến Vế phải y = - sinx hàm số nghịch biến Mặt khác, sinx = (loại) > DeThiMau.vn 0,5 KL : Vậy phương trình ®· cho cã nghiÖm : x = + k2 (kz ) 2.00 Gäi A1; A2 theo thø tự điểm đối xứng A qua (dB) (dC) A(2; -1) dB dC th× A1; A2 BC E F Phương trình đường thẳng A1A2 phương trình đường thẳng B B A1 A2 C + Xác định A1 : Gọi (d1) đường thẳng thoà mÃn : (d1) qua A (d1) (dB) (d1) ®i qua A ( 2; -1) nhËn véc tơ pháp tuyến n1 = (2; 1) (d1) : 2x + y - = Gäi E = (d1) (dB) Toạ độ điểm E nghiƯm cđa hƯ : 2x + y - = E (1;1) E trung điểm AA1 A1(0;3) 0,5 x - 2y + = + Xác định A2 : Gọi (d2) đường thẳng tho· m·n : (d2) ®i qua A (d2) (dC) (d2) ®i qua A ( 2; -1) nhËn vÐc tơ pháp tuyến n2 = (1; -1) (d2) : x - y - = Gäi F = (d2) (dC) Toạ độ điểm F nghiệm hệ : x-y-3=0 F (0; -3) Vì F trung điểm AA2 A2(-2; -5) 0,5 x+y+3=0 Vậy phương trình BC xác định : DeThiMau.vn 0,5 BC qua A1 BC : 4x - y + = ®i qua A2 *Ghi chó : NÕu häc sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa Người lập Lê Thị đáp án Minh DeThiMau.vn ... B C có phương trình lµ : dB : x - 2y + = dC : x + y + = HÃy lập phương trình đường thẳng BC./ (Trích đề thi ĐH Thương mại năm 1999) hướng dẫn chấm thi môn toán đề thi học sinh giỏi toán 12 Thời...(Trích PP giải toán hàm số tác giả Lê Hång §øc) sin x sin x (3 sin x 10).3 Bµi (2 điểm) : Giải phương trình : +3Sinx = (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 12- tỉnh Đồng Nai - 1996)... phương trình BC xác định : DeThiMau.vn 0,5 BC qua A1 BC : 4x - y + = ®i qua A2 *Ghi : Nếu học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa Người lập Lê Thị đáp án Minh DeThiMau.vn