Toán học Bài 1: Phương pháp qui nạp42732

CHƯƠNG III : DÃY SỐ §1.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP k k+1 n n+1 Để cm mệnh đề T(n) (1) phụ thuộc nN*, ta làm sau: (ví dụ: 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 Bước 1: Kiểm tra T(1) thay n = Bước 2: giả sử mệnh đề với n=k, ta cm MĐ Đúng với n = k+1 Bước 3: KL mệnh đề với nN* DeThiMau.vn Bài 1: cm,nN* , ta có: +)n=1=>VT=1 VP=1 =>VT=VP=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*,tức là: Cộng k+1 vào vế: (1) Đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi n DeThiMau.vn Bài 1: cm,nN* , ta có: Với n = VT=2 =>VT=VP=>(1) VP=1.(3+1)/2=2 Giả sử (1) với n = k;tức là: Cộng vế với 3(k+1)-1=3k+2 ta có: =>(1) đúng với n=k+1 DeThiMau.vn Vậy,(1) đúng với mọi n Với n = VT=1/2 VP=1/2 =>VT=VP=>(1) Giả sử (1) với n = k;tức là: Cộng vế với 1/2k+1; ta có: =>(1) đúng với n=k+1 Vậy,(1) đúng với nN* DeThiMau.vn Với n = VT=1 VP=1 =>VT=VP=>(1) Giả sử (1) với n = k;tức là: Cợng vế với (k+1)2,ta có: =>(1) n = k+1 Vậy: (1) với nN* DeThiMau.vn 2)cm: a)n3+3n2+5n chia hết cho 3(1) Với n = 1=>13+3.1+5=9 chia hết cho 3=>đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là: k3+3k2+5k chia hết cho 3(1) Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1) =(k3+3k2+5k)+3k2+9k+9=(k3+3k2+5k)+3(k2+3k+3) =>A chia hết cho 3=>(1) đúng với n =k+1 Vậy: (1) với nN* C2:n3+3n2+5n=(n3+3n2+2n)+3n=n(n+1)(n+2)+3n Do n(n+1)(n+2)chia hết cho 3=>… b)4n+15n-1 chia hết cho DeThiMau.vn b)4n+15n-1 chia hết cho 9(1) Với n = 1=>41+15-1=18 chia hết cho 9=>đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là: 4k+15k-1 chia hết cho 9(2) Với n=k+1 ta có: A=4k+1+15(k+1)-1=4.4k+15k+15-1 =4(4k+15k-1)-45k+18=4(4k+15k-1)-9(5k-2) =>A chia hết cho 9=>(1) đúng với n =k+1 Vậy: (1) với nN* c)n3+11n chia hết cho C2:n3+11n=(n3+3n2+2n)-3n2+9n=n(n+1)(n+2)-3n(n-3) Do n(n+1)(n+2)chia hết cho 6;và n(n-3) chia hết cho (Vì n lẻ=>n-3 chẳn;n chẵn=>n-3 lẻ); vậy, n3+11n chia hết cho DeThiMau.vn c)n3+11n chia hết cho 6(1) Với n = 1=>1+11=12 chia hết cho 6=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là: k3+11k chia hết cho 6(2) Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+11(k+1) =k3+3k2+3k+1+11k+11=(k3+11k)+3k2+3k+12 =(k3+11k)+3k(k+1)+12 Do k(k+1) chia hết cho 2=>A chia hết cho =>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n d)3n>3n+1(3);n 2 DeThiMau.vn d)3n>3n+1(1);n2 Với n = 2=>VT=9;VP=7=>VT>VP(đúng) Giả sử (1) đúng với n=kN*;k>1;tức là: 3k>3k+1 Nhân vế với ta có: 3.3k>3(3k+1)=>3k+1>9k+3 Mà 9k+3=(3k+4)+6k-1>3k+4=3(k+1)+1 =>3k+1>3(k+1)+1 =>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n e)2n+1>2n+3 (1); n2 DeThiMau.vn e)2n+1>2n+3 (1); n2 Với n = 2=>VT=8;VP=7=>VT>VP(đúng) Giả sử (1) đúng với n=kN*;k>1;tức là: 2k+1>2k+3(2) Nhân vế với ta có: 2.2k+1>2(2k+3)=>2k+2>4k+6=2(k+1)+3+(2k+1) Mà 2(k+1)+3+(2k+1)>2(k+1)+3 =>2k+1>2(k+1)+3 =>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n a)tính S1;S2;S3 DeThiMau.vn a)tính S1;S2;S3 b)Dự đoán Sn và cm qnap Dự đoán Sn =n/(n+1) (1); (1) đúng với n=1 Giả sử (1) đúng với n=k;tức là: DeThiMau.vn =>(1)đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi n DeThiMau.vn Với n = =>VT=VP=1=>(1) Giả sử (1) với n = k;tức là: Cộng vế với (k+1)3,ta có: (1)=>MĐ n = k+1 Vậy: (1) với nN* b)1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1) 2(1) DeThiMau.vn b)1.4+2.7+…+n(3n+1)=n(n+1) 2(1) Với n = 1=>VT=VP=4=>(1) đúng Giả sử (1) với n = k;tức là: 1.4+2.7+…+k(3k+1)=k(k+1)2(2) Cộng vế với (k+1)(3k+4) ta có: 1.4+2.7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=k(k+1)2+(k+1)(3k+4) =>1.4+2.7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 (1)=>MĐ n = k+1 Vậy: (1) với nN* DeThiMau.vn Với n = =>VT=VP=3/4=>(1) Giả sử (1) với n = k;tức là: Cộng vế với (k+3)/(k+1)(k+2)2k+1 ,ta có: (1)=>MĐ n = k+1 Vậy: (1) với nN* d)n3+2n chia hết cho DeThiMau.vn d)n3+2n chia hết cho 3(1) Với n = 1=>1++2=3 chia hết cho 3=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*;tức là: k3+2k chia hết cho 3(2) Với n=k+1 ta có: A=(k+1)3+2(k+1) =k3+3k2+3k+1+2k+2=(k3+2k)+3(k2+k+1) =>A chia hết cho =>(1) đúng với n =k+1 Vậy, (1) đúng với mọi n e)32n-1+2n+1 chia hết cho DeThiMau.vn VT=1 =>VT(1) VP=2 Giả sử (1) với n = k;tức là: Với n = Cợng vế với ,ta có:: Ta cm: Theo bdt cosi: (đúng) =>(1) n = k+1 Vậy: (1) với nN* DeThiMau.vn Với n = VT=1/(2+1)+1/4=7/12>VP =>(1) Giả sử (1) với n = k;tức là: Với n=k+1,ta có: Vì 1/(2k+1)+1/2(k+1)>1/2(k+1)+1/2(k+1)=1/(k+1) =>MĐ n = k+1 Vậy: (1) với nN* DeThiMau.vn Với n = VT=1/(1-14)=3/4=VP =>(1) Giả sử (1) với n = k>1;tức là: Nhân vế với [1 -1/(k+1)2], ta được: VP= =>(1) n = k+1 Vậy: (1) với nN* DeThiMau.vn Chia hết cho +)n=1=>U1=7.20+31=10 chia hết cho =>(1) Giả sử (1) với n = k;tức là: Chia hết cho Khi với n=k+1, ta có: chia hết cho =>Un+1 chia hết cho =>(1) n = k+1 Vậy: (1) với nN* DeThiMau.vn .. .Bài 1: cm,nN* , ta có: +)n=1=>VT=1 VP=1 =>VT=VP=>(1) đúng Giả sử (1) đúng với n=kN*,tức là: Cộng k+1 vào vế: (1) Đúng với n=k+1=>(1) đúng với mọi n DeThiMau.vn Bài 1: cm,nN*