Toán học khối 12 Phương pháp tọa độ23242

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ Với hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD A' B' C ' D' z Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho : A’ A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C (a; a;0) ; D(0;a;0) A '(0;0; a ) ; B '(a;0; a ) ; C '(a; a; a ) ; D'(0;a;a ) D’ B’ C’ Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho : D A y A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C (a; b;0) ; D(0;b;0) x C B A '(0;0; c) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c) Với hình hộp đáy hình thoi ABCD A' B' C ' D' Chọn hệ trục tọa độ cho : z A’ - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD D’ O’ B’ y C - Trục Oz qua tâm đáy A D O B C x Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z S Giả sử cạnh hình vng a đường cao SO  h Chọn O(0;0;0) tâm hình vng  a  a  ;0;0 ; C  ;0;0  Khi : A     a   a  B  0;  ;0  ; D  0; ;0  ; S (0;0; h) 2      y D A  O B C x Với hình chóp tam giác S.ABC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z Giả sử cạnh tam giác a S đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  a  a  Khi : A   ;0;0  ; B  ;0;0    2  y C A I ThuVienDeThi.com H B x  a   a  C  0; ;0  ; S  0; ; h      Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA  (ABCD) z ABCD hình chữ nhật AB  a; AD  b chiều cao h S Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B a;0;0 ; C a; b;0  y D A D 0; b;0 ; S (0;0; h) O B C x Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA  (ABCD) ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h z S Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) y D A O B C x Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vuông A z Tam giác ABC vuông A có AB  a; AC  b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B a;0;0 ; C 0; b;0  S S 0;0; h  y C A x B Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vuông B Tam giác ABC vng B có BA  a; BC  b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ S x ThuVienDeThi.com z y cho B(0;0;0) Khi : A a;0;0 ; C 0; b;0  S a;0; h  Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông C  ABC vuông C CA  a; CB  b chiều cao h z S H trung điểm AB y x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) H A B Khi : A a;0;0 ; B 0; b;0  C a b S ( ; ; h) 2 Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông A z  ABC vuông A AB  a; AC  b chiều cao h S H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) C A y Khi : B a;0;0 ; C 0; b;0  H B a S (0; ; h) Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông cân C Tam giác ABC vng cân C có CA  CB  a đường cao h z H trung điểm AB S ThuVienDeThi.com y x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0)  a   a  ;0;0  ; A  0; ;0      a   B  0;  ;0  ; S 0;0; h    Khi : C  II Bài tập áp dụng Bài toán Cho tứ diện OABC có tam giác OAB,OBC,OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi  ,  ,  góc hợp mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh : cos   cos   cos   ( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hướng dẫn Dựng hình : Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ; B(0; b;0) C (0;0; c) ; C  AB  (a ; b ; 0) y O AC  (a ; ; c) B A C’ x Tìm vectơ pháp tuyến :  Mặt phẳng (ABC)   Mặt phẳng (OBC)   Mặt phẳng (OCA)  Mặt phẳng (OAB) Sử dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng: cos   cos(OBC ), ( ABC )  cos   cos(OBC ), ( ABC )  cos   cos(OBC ), ( ABC )  Kết luận   n  AB, AC  (bc ; ac ; ab) i  ( 1, 0, 0) : Ox  (OBC ) j  ( 0, 1, 0) : Oy  (OCA) k  ( 0, 0, 1) : Oz  (OAB)  cos   cos   cos   b.c b c  c a  a 2b  c.a 2 b c  c a  a 2b a.b b c  c a  a 2b cos   cos   cos   ThuVienDeThi.com b c  c a  a 2b 1 b c  c a  a 2b Bài toán Bằng phương pháp toạ độ giải tốn sau : Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a a.Chứng minh đường chéo A' C vng góc với mặt phẳng ( AB' D' ) b.Chứng minh giao điểm đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) d.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng ( DA' C ) ( ABB' A' ) ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Dựng hình : Hướng dẫn Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O  A(0;0;0) ; A’ A' (0;0; a ) B(a;0;0) ; B' (a;0; a ) C (a; a;0) ; C ' (a; a; a ) D(0; a;0) ; D' (0; a; a ) B’ G D’ C’ D A y B x a Chứng minh : A' C  ( AB' D' )  A' C  AB'  A' C  ( AB' D' )  A' C  AD' Nếu  b Chứng minh : G trọng tâm tam giác AB' D' Phương trình tham số đường thẳng A' C x  t  A' C :  y  t (t  R) z  a  t   Phương trình tổng quát mặt phẳng ( AB' D' ) ( AB' D' ) : x  y  z  C  A' C  (a; a;a)   Ta có :  AB'  (a;0; a)   AD'  (0; a; a)  A' C AB'  a   a  Vì    A' C AD'   a  a  Nên A' C  mp( AB' D' )  A' C  AB'   A' C  AD' Gọi G  A' C  ( AB ' D ' ) Toạ độ giao điểm G đường thẳng A' C mặt phẳng ( AB' D' ) a  x   x  t  y  t a    y  nghiệm hệ :  z  a  t  2a  x  y  z   z    a a 2a  G ; ;  (1) 3 3  Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( AB' D' ) ThuVienDeThi.com   x A  xB '  xD ' a    xG  3  y y y a  Mặt khác :  yG  A B ' D '  (2) 3  z A  z B '  z D ' 2a    zG  3  n1  AB', AD'  (a ;a ; a ) So sánh (1) (2), kết luận Vậy giao điểm G đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c Tính d ( AB' D' ), (C ' BD)  Phương trình tổng quát mặt phẳng (C ' BD) (C ' BD) : x  y  z  a  Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng (C ' BD)   n2  C ' B, C ' D  (a ; a ;a ) d Tính cos( DA' C ), ( ABB' A' )  Oy  ( ABB' A' )  Vec tơ pháp tuyến ( ABB' A' ) j  (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) :   n3  DA', DC  (0; a ;a )  a (0;1;1) 2 ( AB' D' ) : x  y  z  (C ' BD) : x  y  z  a   ( AB' D' ) // (C ' BD)  Ta có : d ( AB' D' ), (C ' BD)   d B, ( AB' D' )   a Vec tơ pháp tuyến ( ABB' A' ) j  (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) : n3  (0;1;1)  cos( DA' C ), ( ABB' A' )    ( DA' C ), ( ABB' A' )   45o Bài tốn Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a Chứng minh hai đường chéo B' D' A' B hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo B' D' A' B Hướng dẫn Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : Bài giải z A’ O  A(0;0;0) ; A' (0;0; a ) ; B(0; a;0) ; B' (0; a; a ) C (a; a;0) ; C ' (a; a; a ) D(a;0;0) ; D' (a;0; a ) D’ B’ C’ y A D B C x Chứng minh B' D' A' B chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ B' D'; A' B, BB' không đồng phẳng Ta có : B' D'  (a;a;0) BB'  (0;0; a)  A' B  (0; a;a) ; B' D', A' B (a ; a ; a ) ThuVienDeThi.com 2 B' D', A' B.BB'  a Cần chứng minh tích hỗn hợp ba vectơ B' D'; A' B, BB' khác 0  ba vectơ B' D'; A' B, BB' không đồng phẳng hay B' D' A' B chéo Tính d B' D' , A' B  d B' D' , A' B   a3 d B' D' , A' B   [ B' D', A' B].BB' a a a 4  a3 a  a 3 [ B' D', A' B] Bài tốn Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) Gọi M trung điểm SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 ) Dựng hình : Hướng dẫn Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) S M N Ta có : C (2;0;0) ; D(0;1;0) ; M (1;0; )    SA  2;0;2 ; BM   1;1;  x 1a.Tính góc SA BM Gọi  góc SA BM Sử dụng cơng thức tính góc hai đường thẳng C D O A y B Ta có :   cos   cos SA, BM  SA.BM SA BM     30o 1b Tính khoảng cách SA BM [ SA, BM ]  (2 ;0;2) ; AB  (2;1;0) Chứng minh SA BM chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo [ SA, BM ] AB   d ( SA, BM )  [ SA, BM ] AB [ SA, AB] Tính thể tích khối chóp S.ABMN  2  84 MN // AB // CD  N trung điểm SD ThuVienDeThi.com Dễ dàng nhận thấy : MN  ( ABM )  ( SCD ) VS ABMN  VS ABM  VS AMN Trong : [ SA, SM ].SB  [ SA, SM ].SN VS ABM  VS AMN   SA  (2;0;2 ) ; SM (1;0; ) SB  (0;1;2 ) ; SM (1;0; )  [ SA, SM ]  (0;4 ;0) 2 [ SA, SM ].SB   6 2  [ SA, SM ].SN   6 VS ABM  VS AMN Kết luận   Toạ độ trung điểm N  0; ;  Vậy VS ABMN  VS ABM  VS AMN  (đvtt) Bài tốn Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 với A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) Tìm toạ độ đỉnh A1 ; C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 ) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; Với : A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) z B1 A Toạ độ trung điểm M A1B1 Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 ) Viết phương trình mp ( BCC1B1 ) Tìm bán kính mặt cầu (S) R  d A, ( BCC1B1 )  Phương trình mặt cầu (S) : Phương trình mặt phẳng (P) :  A1  C1  A (0;3;4)  C1 (0;3;4)   M  2; ;4)    M x B O C y Ta có : A1 (0;3;4)  mp(Oyz ) C1 (0;3;4)  mp(Oyz ) Vectơ pháp tuyến mp ( BCC1B1 ) n  [ BC , BB1 ]  (12; 16; 0) Phương trình tổng quát mp ( BCC1B1 ) : ( BCC1B1 ) : 3x  y  12  Bán kính mặt cầu (S) : R  (S) : x  ( y  3)  z  Vectơ pháp tuyến (P) : ThuVienDeThi.com 576 25 24 Tìm vectơ pháp tuyến (P)  AM  ( P)  nP  [ AM , BC1 ]   BC1 // ( P)   AM   2; ;4  ; BC1  (4;3;4)   nP  [ AM , BC1 ]  (6;24;12) Phương trình mặt phẳng (P) : ( P) : x  y  z  12  Bài toán Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng(ABC); AC  AD  4cm ; AB  3cm ; BC  5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z ABC có : AB  AC  BC  25 nên D vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau O  A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ; Tính : AH  d A, ( BCD)  A H C y I B x Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) Sử dụng cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) ( BCD) : x y z     x  y  3z  12  4 d A, ( BCD )    12 16    12 34  17 34 Bài toán Cho hai nửa đường thẳng Ax By vng góc với nhận AB  a (a  0) đoạn vng góc chung Lấy điểm M Ax điểm N By cho AM  BN  2a Xác định tâm I tính theo a bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BI Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Dựng Ay ' // By  Ax  Ay ' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy' z sau : A(0;0;0) ; B(0;0; a ) ; M (2a;0;0) B N A N (0;2a; a) M ThuVienDeThi.com y I Toạ độ trung điểm I MN a  Ia ; a ;  2  1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý :  Ax  By   Ax  Ay ' 1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN y' x Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên   a 2 trung điểm I  a ; a ;  MN tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN  a(2 ; ; 1) MN 3a  2 Bán kính mặt cầu : R  Ta có : AM  (2a;0;0) ; Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM BI chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a  BI   a; a;  ; AB  (0;0; a ) 2  [ AM , BI ]  (0; a ;2a ) d ( AM , BI )  [ AM , BI ] AB  [ AM , BI ] 2a 5 Bài tốn Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O tâm hình vuông ABCD  SO  ( ABCD) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; S 0;0; h  ;  a  a  A   ;0;0  ; C  ;0;0  D      a   a   0;  ; B  0; ; ;0     2     Toạ độ trung điểm P SA P S E P M y A D O B N C x   3a h   MN   ;0;   ; BD  (0; a 2;0) 2  Vì : MN BD   MN  BD ThuVienDeThi.com  a  a a  h ; ;  ; E   ; ; h    2 2     a a h a a  M   ; ;  N ; ;0    4   Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Chứng minh MN AC chéo Sử dụng cơng thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo    ah  ;0  Ta có :  MN , AC    0;      a h AM   0;  ;  2     a h 0 Vì :  MN , AC  AM   MN AC chéo a 2h [ MN , AC ] AM a d MN , AC     2 ah [ MN , AC ] Bài toán Cho tứ diện ABCD, có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A; AD  a, AC  b, AB  c a Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c b Chứng minh : 2S  abc a  b  c  Hướng dẫn Bài giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) z D Khi : B c;0;0 ; C 0; b;0  D 0;0; a   Ta có : BC  c; b;0   BD  c;0; a     BC , BD   ac; ac; bc    Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a 2b  b c  2ab c b c  c a  2abc c a  a 2b  2a 2bc y C A B x a Tính diện tích S tam giác BCD   2 S   BC , BD   a b  a c  b c b 2 Chứng minh : 2S  abc a  b  c  Ta có : abc a  b  c   a 2bc  b ac  c ab  ThuVienDeThi.com  b2  c2   a  c2   a  b2   a2  b  c          a 2b  a c  b c  S BCD Bài tốn 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  Khi : A  0;  Bài giải z S a   a  ;0  ; B   ;0;0     M a   a   a  C  ;0;0  ; S  0; ; h  ; H  0; ;0  6 2       a a h a a h M   ; ;  ; N  ; ;  12 12 2      a 5a h  AM    ;  ;  12     a 5a h  AN   ;  ;  12  4   a a  SB    ;  ; h      a a  SC   ;  ; h  2       AMN   SBC   n1  n2  n1.n2   a h 15a a h 15a  0  24.6 16 242 y N A B I H C x + Pháp vectơ mp (AMN) :     ah 5a  n1   AM , AN    0; ;  24   + Pháp vectơ mp (SBC) :     a2  n2   SB, SC    0; ah;    Diện tích tam giác AMN : S AMN     a h 75a  AM , AN     16  242 15a 75a a 10   90 a  đvdt 242 242 48 16 Bài tốn 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a ; SA  a ; SB  a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, ThuVienDeThi.com BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Gọi H hình chiếu vng góc S AB  SH  (ABCD) S Ta có : SA2  SB  a  3a  AB  SAB vuông S  SM  a a Do : SAM  SH  A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : H (0;0;0) ; S  a 3  a   0;0;  ; A   ;0;0  ; B      a   3a  D   ; 2a;0  ; M  ;0;0  ;     a   3a  N  ; a;0   ;0;0  ; 2      a a 3 SM   ;0;    2   3a a 3 SN   ; a;       3a a 3 SB   ;0;       a a 3 SD    ; 2a;      DN  2a; a;0  + Cơng thức tính góc SM, DN   SM DN cos SM , DN     SM DN D y K H B M N x C + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN  VSMNB  VSMND 2      SM , SN    a ;  a ; a     2   3        SM , SN  SB  a ;  SM , SN  SD  3a     2    a VSMNB   SM , SN  SB  12      1 a3  VSMND   SM , SN  SD  VS BMDN  VSMNB  VSMND  a3 a3 a3   12 + Tính cosin góc SM, DN a2 cos SM , DN    2 a 3a 4a  a  4 Bài toán 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z B’ ThuVienDeThi.com A’ Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : B(0;0;0)  A 0; a;0  ; C a;0;0 ; B’ 0;0; a  a  M  ;0;0  2    a   AM   ; a;0  ; B ' C  a;0; a 2   AB '  0; a; a     Chứng minh AM B’C chéo      AM , B ' C    a 2; a ; a      + Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC A ' B 'C '  AA '.S ABC  a 2 đvtt + Khoảng cách AM B’C    a Vì :  AM , B ' C  AB '   AM B’C chéo     AM , B ' C  AB '   d  AM , B ' C      AM , B ' C    a a   2a  a  a ฀  ฀ABC  900 AB  BC  a , Bài tốn 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , BAD AD  2a , SA vng góc với đáy SA  2a Gọi M,N trung điểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 ) Hướng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : S A(0;0;0) ; B a;0;0  ; C a; a;0  ; D M 0; 2a;0  ; S 0;0; 2a  M 0;0; a  ; N 0; a; a  A B ThuVienDeThi.com N D y C x   MN  0; a;0  ; BC  0; a;0   MB  a;0; a    SM  0;0; a  ; SC  a; a; a    SB  a;0; 2a  ; SN  0; a; a     SM , SC   a ; a ;0    + Chứng minh BCNM hình chữ nhật    MN  BC  BCNM hình chữ nhật     MN MB  + Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a VSMCB  VSMCN     SM , SC  SB  a       SM , SC  SN  a   VS BCNM  VSMCB  VSMCN    a   SM , SC  SB  6      a3   SM , SC  SN  6 VS BCNM  VSMCB  VSMCN a3  đvtt Bài tốn 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA  ( ABCD); SA  2a Mặt phẳng   qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện BCNM Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : M A(0;0;0) ; B a;0;0  ; C a; a;0  ; D 0; 2a;0  ; S 0;0; 2a  Đặt AM  h 0  h  2a   M 0;0; h  Xác định vị trí điểm M N D A B x C   BM  a;0; h  ; BC  0; a;0     BM , BC   ah;0; a  a h;0; a    Pháp vectơ mặt phẳng   :  AC  a; a;0   a 1;1;0  AC  a; a;0   a 1;1;0   u  1;1;0   Ta có :  y     n   BM , BC   n  h;0; a  Vectơ phương đường thẳng AC :   mặt phẳng   hợp với AC góc 300   n 1.h  1.0  0.a  u  sin 300     n u   h2   a ThuVienDeThi.com  MN    ( SAD)  MN / / BC / / AD   BC / / AD h    h  h2  a 2 h2  a  h  a  M trung điểm SA BC  ( SAB)  BC  BM  MN / / BC  BCNM hình thang vng  BM  BC + ABM vuông cân A  BM  a a MN  AD  2 + Diện tích thiết diện BCNM : S BCNM  3a 2 BM MN  BC   Bài toán 15 Cho hình chóp O.ABC có OA  a; OB  b; OC  c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) 1; 2; Tính a; b; c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : C Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : O(0;0;0) A a;0;0  ; B 0; b;0  ; C 0;0;c  M d M , (OBC )    xM  y O d M , (OCA)    yM  d M , (OAB)    zM   M 1; 2;3  A a;0;0   OA  (a;0;0)  B 0; b;0   OB  (0; b;0)  C 0;0; c   OC  (0;0; c) B H E A x +Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC     OA, OB  OC  abc   + Phương trình mặt phẳng (ABC) : 1 a   a  b  c  Giải hệ :   b      c    a b c x y z   1 a b c M  ( ABC )     a b c (ABC) : Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 1 3    33  33 a b c a b c abc ThuVienDeThi.com  abc  27 MinVO ABC a  3   27     b  a b c c   Bài toán 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c Tính góc SB mặt phẳng (SCD) Hướng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O  AC  BD S  SO  ( ABCD) SO  SC  OC  a  a2 a  2 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau :  a 2 O(0;0;0) ; S  0;0;  ;    a  a  ;0;0  ; C  ;0;0  D A        a   a   0;  ; B  0; ; ;0     2     Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD): x a 2  y  z a a 2 a  x yz 0 1 y A D O B C x a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD 1 a a3 a  VS ABCD  SO.S ABCD  3 b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) a 0 a a   2 (SCD): x  y  z  d  A, ( SCD)    a a  3 ฀ Bài toán 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , ฀ABC  BAD  900 AB  BC  a , AD  2a , SA vng góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Hướng dẫn Bài giải z ThuVienDeThi.com Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau : S A(0;0;0) ; B a;0;0  ; C a; a;0  ; D 0; 2a;0  ; S 0;0; 2a  H  SB  a;0; a  SC  a; a; a  SD  0; 2a; a    SC , SD   a 2; a 2; 2a          a  1;1;  C  (t  R ) + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ  n  1;1; làm pháp vectơ  y B + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc A SB Phương trình tham số SB :  x  a  at  SB :  y    z  a 2t D I A  (SCD) : 1( x  0)  1( y  0)  2( z  a 2)  x +Chứng minh tam giác SCD vuông   SC  a; a; 2a  ; CD  a; a;0    SC.CD   SC  CD  Tam giác SCD vng C + Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H :   H ( x; y; z )  SB  H a  at ;0; a 2t  AH  (a  at ;0; a 2t )   AH  SB  AH SB   3a 2t  a   t    2a a 2  H  ;0;    + Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : x  y  z  2a  2a 2a   2a a 3 d H , ( SCD)    ThuVienDeThi.com z S y B O A M C x Dựng hệ trục tọa độ hình vẽ, gốc tọa độ M 1a a MO  AM   3 SO  SA2  OA2  4a  a a 33  3  a  a   a   a a 33  ;0  ; S  0; ; M (0;0;0); B  ;0;0  ; C  ;0;0  ; A  0;     2     ThuVienDeThi.com    [SA,SB].SC     [AM ,SB].AB d(AM,SB)     [AM ,SB] VS.ABC  ThuVienDeThi.com ... cos   ThuVienDeThi.com b c  c a  a 2b 1 b c  c a  a 2b Bài toán Bằng phương pháp toạ độ giải toán sau : Cho hình lập phương ABCD A' B' C ' D' có cạnh a a.Chứng minh đường chéo A' C vng... Vectơ pháp tuyến mp ( BCC1B1 ) n  [ BC , BB1 ]  (12; 16; 0) Phương trình tổng quát mp ( BCC1B1 ) : ( BCC1B1 ) : 3x  y  12  Bán kính mặt cầu (S) : R  (S) : x  ( y  3)  z  Vectơ pháp. .. A1 ; C1 Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 ) Viết phương trình mp ( BCC1B1 ) Tìm bán kính mặt cầu (S) R  d A, ( BCC1B1 )  Phương trình mặt cầu (S) : Phương trình