Đề THI CHọN HSG môn Toán Bài1(4đ) a/ Tính 62 62 b/ Cho a +b +c = , a,b,c ≠ Chøng tá r»ng 1 1 1 2 = a b c a b c c/ H·y chøng tá x nghiệm phương trình x3 +3x = Bài2(4đ) a/ Rút gọn, tính giá trÞ biĨu thøc A x y 1 xy xy x y x y xy x y 1 x y Víi x = 3, y b/ Giải phương trình x x Bài3(5đ) a/ Tìm giá trị lớn ,giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc B x2 x x2 x b/ Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(0;4) ; B(3;4) ; C(3;0) Viết phương trình đường thẳng qua A, C Xác định a để đường thẳng y =ax chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C Câu 4:(2) Cho hình ch nht ABCD,AB= 2BC.Trªn cạnh BC lấy điểm E, tia AE cắt đường thẳng CD F.Chứng minh : 1 2 AB AE AF Câu (5đ) : Cho tam giác ABC vuông A ,đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H AB vµ AC BiÕt BH = 4(cm) ; HC = 9(cm) a, Tính độ dài đoạn DE b, Chứng minh AD AB = AE.AC c, Các đường thẳng vuông góc với DE D E cắt BC M N Chứng minh M trung điểm BH ; N trung điểm CH d, TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c DENM ThuVienDeThi.com Đáp án thang điểm Bài 1: 62 62 = a/ 1 1 = 1 1 2 = | | - | 1| = = 1 1 1 2 = a b c a b c b) CM 1 = a b2 c2 Ta cã 2 1 1 1 1 1 abc 2 2 a b c ab bc ac a b c abc abc Mµ a +b +c = , a,b,c #0 => 2 =0 VËy 1 1 a b c 1 = a b2 c2 = abc 1 a b c c) H·y chøng tá x nghiệm phương trình x3 +3x = Tacã : x3 = 2 3 3 3 . = – . .3 = - 3.3 2 2.x = – 3x * x3 = – 3x x3 + 3x + = VËy x lµ nghiƯm cđa PT x3 + 3x + = Bài2(4đ) a/ Rút gọn, tính giá trị biểu thức x y 1 xy xy x y x y xy A x y 1 x y Víi x = 3, y Gi¶i : §K : x > , y > A = = x y 1 : xy xy x y x y xy x y : xy xy xy x y x y xy xy : xy x y x y x y x y 1 y x x y xy x y xy x y ThuVienDeThi.com 2 = x xy y : xy x y xy xy x y x y = : = xy x y xy xy x y x y xy 2 2 Khi x = 3, y th× A = 2 2 2 2 => A2 = – = Do A < => A = - x x (1) b/ Giải phương trình ĐK: x (1) => ( x x 7)2 42 2x + + 2( x 9x ) = 16 2( x 9x ) = 16 – 2( x + 1) x 9x = – (x + 1) (2) NÕu – ( x+ 1) < x + > x > (2) Vô nghiệm => (1) Vô nghiệm NÕu – ( x+ 1) x + x KÕt hỵp với ĐK đầu => x = Thử x = vµo pt(2) ta cã = VËy x = lµ nghiƯm cđa pt (2) lµ nghiệm PT (1) Bài3(5đ) 2x 3x 3x x x 3 3 2 x x 1 x x 1 Ta cã B = GTLN B = vµ chØ x = -1 B= 3x 3x x 2x 1 2x 1 x2 x 1 2 2 3 x x 1 3x 3x 3 x x x x 1 GTNN B = vµ chØ x = b) y A O C ThuVienDeThi.com x Đường thẳng qua hai điểm A( ;4) C( 3; 0) có dạng y = ax + b A(0;4) đường th¼ng y = ax + b = a.0 + b b = B(3;0) đường thẳng y = ax + b = a.3 + b 3a + = a = 4 Vậy đường thẳng qua hai điểm A C : y = x + Đường thẳng y = ax đường thẳng qua gốc toạ độ cắt cạnh BC cđa hcn OABC t¹i M(3; y0) (y0 > 0) cho chia hình chữ nhật OABC thành hai phần , diện tích phần chứa điểm A gấp đôi diện tích phần chứa điểm C nghĩa SOMC = SOABC 1 OC.CM OA.OC (1) Mµ OC = |3| = , CM = | y0| = y0 ( y0 > 0), OA = | 4| = , OC = | 3| = 1 3.y0 = y0 = 3 8 Vậy đường thẳng y =ax qua M(3; ) = a.3 a = 3 Tõ (1) tacó Câu 4(2đ) B A E K D C F Kẻ AKAF ( K CD) (0,5đ) ABE ADK (g.g) (0,75đ) AE AB (0,25đ) AK AD Suy Hay AK AE (0,5đ) Áp dng h thc lng i vi tam giác vuông AKF,ta cã : 1 (0,5đ) 2 AD AK AF 1 Suy 2 AF 1 1 AB AE 2 2 1 Hay (0,5đ) AB AE AF Câu 5: (5đ) Vẽ hình ghi giả thiết kết luận đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính ®óng DE = (cm) (1®) b.(1®) Chøng minh ®óng hệ thức dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông (1đ) c (2đ) Gọi I giao điểm AH DE thì: ThuVienDeThi.com ID = IE = IA = IH (0,5đ) MID = MIH (cạnh huyền cạnh góc vuông) (0,5đ) MD = MH MDH cân M MDH = MHD MDB = MBD (0,5đ) MBD cân M ta cã MD = MB MB = MH (= MD) M trung điểm BH Chứng ming.thì N trung điểm HC (0,5đ) d (0,5đ) Tõ c©u c suy ra: DM = EN = 1 BH = = 2(cm) 2 1 HC = = 4,5(cm) 2 (0,25®) 1 S DENM = (DM + EN) DE = (2 + 4,5) = 19,5 (cm2) 2 ThuVienDeThi.com (0,25®) ... phương trình ĐK: x (1) => ( x x 7)2 42 2x + + 2( x 9? ??x ) = 16 2( x 9? ??x ) = 16 – 2( x + 1) x 9? ??x = – (x + 1) (2) NÕu – ( x+ 1) < x + > x > (2) Vô... ghi giả thi? ??t kết luận đẹp (0,5đ) a.(1đ) Tính ®óng DE = (cm) (1®) b.(1®) Chøng minh ®óng hệ thức dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông (1đ) c (2đ) Gọi I giao điểm AH DE thì: ThuVienDeThi.com ID... BH = = 2(cm) 2 1 HC = = 4,5(cm) 2 (0,25®) 1 S DENM = (DM + EN) DE = (2 + 4,5) = 19, 5 (cm2) 2 ThuVienDeThi.com (0,25®)