Đề thi Học sinh giỏi môn toán Câu 1: (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc sau: P x2 x x x 1 2x x x 2x 1 x 1 Rót gän P Tìm giá trị nhỏ P Tìm x để biểu thức Q x nhận giá trị số nguyên P Câu 2: (2 điểm) Cho đường thẳng (d) có phương trình: 2m 1x m 2y VÏ (d) víi m = Chứng minh (d) qua điểm cố định với m Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng lớn Câu 3: (2,5 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên: x y xy x y Cho a, b số thực dương thoả mÃn: a + b = b a Chøng minh r»ng: 2a 3b 10 18 b C©u 4: (2,5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD A D 90 , tia phân giác góc C ®i qua trung ®iĨm I cđa AD Chøng minh BC tiếp tuyến đường tròn (I, IA) Cho AD = 2a TÝnh tÝch AB vµ CD theo a Gọi H tiếp điểm BC với đường tròn (I) nói K giao điểm cđa AC vµ BD Chøng minh r»ng KH song song với BC Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác có góc nhọn Chứng minh với số thực khác không x, y, z ta lu«n cã: x y z 2x y 2z a2 b2 c2 a2 b2 c2 ThuVienDeThi.com Híng dÉn chÊm ®Ị thi häc sinh giỏi Môn: Toán Câu ý Điều kiện: x 1 P x x 1x 2 x 1 x x 1 P x x 1 x 1 x 1 1 1 3 P x x x với x thoả mÃn điều 4 2 4 §iĨm 0,25 0,25 0,25 0,25 kiện xác định 1 x 0 x 4 x x 2 Q P M x x 1 x 1 x Víi x x M Q v× Q nguyªn x x Q 1 1 x x 1 73 73 x x 1 x ;x 2 73 KÕt ln: víi x th× Q Z Với m = 3: phương trình đường thẳng (d) trë thµnh: x y P 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ta cã: x = 0; y = y = 0; x = - 2 0,25 1 2 Gọi điểm cố định mà đường thẳng (d) qua M(x0,y0) Ta có: 2m 1x0 m 2y víi mäi m x0 1; y 2 0,25 0,25 Kết luận: Vậy đường thẳng (d) qua điểm cố định M(1; -2) Từ phương trình (d) không qua gốc toạ độ Gọi giao (d) ;0 , víi trơc tung lµ B 0; víi Ox lµ A m 1 m2 Gäi H lµ chân đường vuông góc hạ từ O lên AB Ta cã: ThuVienDeThi.com 0,25 1 OH 2 OH OA OB 2 m 22 4m 12 2 x y xy x y x y x y 1 3 V× x, y Z x y Z vµ x y 1 Z x y vµ x y 0,25 0,5 VËy max OH m Là ước -3 cho tích chúng -3 Ta có trường hợp: TH1: x y 1; x y 3 x 4; y 3 TH2: x y 1; x y x 6; y TH3: x y 3; x y x 8; y TH4: x y 3; x y 1 x 6; y Kêt luận: Tập nghiệm phương trình: S 4;3; 6;5; 8;5; 6;3 b 10 3a 5b 10 2a 3b 2 a b a b Víi a, b áp dụng BĐT Cauchy ta có: A2 3a 5b 10 2 2.3 2.5 18 ®pcm a b DÊu “=” a = b = KỴ IH vuông góc BC Vì I nằm tia phân giác góc BC D nên IH IB 1 AB H I , IA BC lµ tiÕp tun cđa (I,IA) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 vẽ hình (0,25) 0,75 BA vuông góc IA CD vuông góc với IB suy BA, CD tiếp tuyến (I) A B 0,25 - XÐt (I, IA), cã BA, BH lµ tiÕp tuyến cắt B; CD, CH tiếp tuyến cắt C Theo tính chất tiếp tuyÕn c¾t ta cã: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ I I ; I I I I I I I I 2I I (1) 0,5 BA BH ; CD CH (2) Ta cã: AIˆH HIˆD 180 Iˆ1 Iˆ2 Iˆ3 Iˆ4 180 Iˆ2 Iˆ3 90 BHˆ I 90 BIC vu«ng C - Xét BIC vuông C, đường cao IH, ta cã: ThuVienDeThi.com AB 2a IH BH CH AB.CD AB.CD a AB BK BH BK V× AB//CD, theo định lý Talet ta có: hay (theo (2)) CD KD HC KD Theo định lý talet ®¶o: KH // CD 0,25 0,25 0,25 Víi a, b, c cạnh tam giác nhọn, ta cã: 0,25 a2 b2 c2 ;b2 c2 a2 ; a2 c2 b2 Víi mäi a, b R, x, y Ta lu«n cã: a b (1) a b x y x y 2 ThËt vËy: (1) a y b x x y a b 2 xy ay bx (luôn với a, b, x, y) Suy (1) Ta cã: x x 2x x x x2 x2 4x x2 2x a2 a2 a2 b2 c2 a2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 a2 b2 c2 0,25 0,25 (2) Làm tương tự ta có: y2 2y2 b2 a2 b2 c2 z2 2z c2 a2 b2 c2 Tõ (2) vµ (3) (3) x y z 2x y 2z (®pcm) a2 b2 c2 a2 b2 c2 ThuVienDeThi.com 0,25 ...Hướng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi Môn: Toán Câu ý Điều kiện: x 1 P x x 1x 2 x 1 x x 1 P x x 1 ... HIˆD 180 Iˆ1 Iˆ2 Iˆ3 Iˆ4 180 Iˆ2 Iˆ3 90 BHˆ I 90 BIC vuông C - Xét BIC vuông C, đường cao IH, ta có: ThuVienDeThi.com AB 2a IH BH CH AB.CD AB.CD ... tung lµ B 0; víi Ox lµ A m 1 m2 Gọi H chân đường vuông góc hạ từ O lên AB Ta có: ThuVienDeThi.com 0,25 1 OH 2 OH OA OB 2 m 22 4m 12 2 x y xy x y x