Trường THCS Yên trung Môn: Toán đề thi học sinh giái cÊp hun (Thêi gian lµm bµi: 150 phót) Líp Đề Câu1: (4.0 điểm) Cho biểu thức x x 1 x 1 x : x A = x x x a) Tìm ĐKXĐ A Rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = Cõu 2: (5.0 im) Trên mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d): 3x 2y + = vµ (d') : 3x + 2y – = cắt C cắt trục Ox A, B a) Tìm tọa độ điểm A, B, C b) Tìm diện tích chu vi tam giác ABC biết đơn vị đo độ dài trục cm Câu 3:(4.0 điểm) a) Cho biÓu thøc : M x x y xy y 2014 Với giá trị x, y M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ b) Giải hệ phương trình : x y x y 18 x x 1 y y 72 Câu (5.5đ): Cho tam giác ABC Phân giác AD (D BC) vẽ đường tròn tâm O qua A D đồng thời tiếp xúc với BC D Đường tròn cắt AB AC E F Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED ADC; AFD ABD tam giác đồng dạng c) AE.AC = AF.AB = AD2 Câu (1,5 điểm).Cho a, b số thực dương Chứng minh : a b ab 2a b 2b a ThuVienDeThi.com Đáp án hướng dẫn chấm Câu1: (4điểm) a) ĐKXĐ: x > x (0.5đ) x x x 1 x : x A = x x x Ta cã: ( x 1)( x x 1) x x ( x 1) x : = ( x )( x ) x x x x x 1 x 1 x x x : x x x = x x 1 x 1 = x 1 x 2 = x 1 2 x =3 x => x = x 1 (0.5®) (0.5®) x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x x = b) A = : x : (0.5®) (0.75®) (0.5®) => 3x + x -2=0 (0.25) => x = 2/3 (0,5®) Câu 2: (5,0 điểm) C giao điểm d d/ nên tọa độ cđa C tháa m·n hƯ : 2y 3x 2y - 3x 2y 3x x 4y 12 y VËy C(1 ; 3) (1.0đ) Phương trình trục Ox y = nên tọa độ A thỏa mÃn hệ : 2y 3x x - y0 y VËy A(- 1; 0) (0.5®) VËy B(3 ; 0) (0.5®) täa ®é B tháa m·n hÖ : 2y - 3x x y0 y Gọi H hình chiếu C trục Ox CH đường cao tam giác CAB CH = cm ( tung độ điểm C) ; cạnh đáy AB = AO + OB = + = (cm) y y= 3x+3 dt(ABC) C -1 A O H x B y= = 1 AB.CH = 4.3 = (cm2) 2 (1.5®) HA = HO + OA = + = (cm) HB = AB - AH = (cm) 9-3x ThuVienDeThi.com HA = HB = 2(cm) tam gi¸c CAB cân C (CH vừa đường cao vừa trung tuyến) ; tam giác vuông HCA có : CA AH HC 2 32 13 (cm) chu vi ABC lµ : AB + BC + CA = 13 (cm) Câu 3: (4.0 điểm) Ta có : (1.5®) M x x y y xy x y 2007 (0,25®) M x y 1 x y 1 2007 (0,5®) 2 2 M x y 1 y 1 2007 (0,25®) Do y 1 vµ x y 1 x, y (0,25®) M 2007 (0,25®) (0,5®) M 2007 x 2; y u x x Đặt : (0,25đ) v y y 1 u v 18 u ; v nghiệm phương trình : uv 72 Ta cã : (0.25®) X 18 X 72 X 12; X (0,5®) u 12 u ; v v 12 x x 1 12 y y 1 (0,25®) x x 1 ; (0,25®) y y 12 Giải hai hệ ta : Nghiệm hệ : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) hoán vị ( sd ED ) Câu 4: (5.5 điểm) a) EAD EFD (0,5®) ( sd FD ) FAD FDC mà EDA FAD EFD FDC (0,5đ) (0,5®) (0,5®) EF // BC (2 gãc so le b»ng nhau) DF b) AD lµ phân giác góc BAC nên DE 1 = s® ADE s® AE 2 ACD EAD ADE DAC )= s® ACD s®( AED DF DAADC (g.g) Tương tự: A (0.5đ) F E (0,5®) ) s® ADF sd AF sd ( AFD DF (0,5®) B C D ThuVienDeThi.com ) sd ABD (sd AFD DE ABD ADF = (0.25®) (0.25®) (0,5®) ®ã AFD ~ Ad(g.g) c) Theo trªn: + AED ~ ADB AE AD hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF + ADF ~ ABD AB AD (0,5®) (0.25®) AD2 = AB.AF (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã AD2 = AE.AC = AB.AF (0.25đ) (0,5đ) 1 Câu 5: (1,5 điểm) Ta cã : a 0; b 2 2 a a a,b>0 1 0; b b 4 (0,25®) (0,25®) 1 (a a ) (b b ) a , b > 4 ab a b 0 Mặt khác a b ab (0,25đ) Nhân vế ta có : a b a b ab a b 2 a b (0,25®) a b 2a b 2b a ThuVienDeThi.com (0,25®) (0,25®) ... x B y= = 1 AB.CH = 4.3 = (cm2) 2 (1.5®) HA = HO + OA = + = (cm) HB = AB - AH = (cm) 9- 3x ThuVienDeThi.com HA = HB = 2(cm) tam giác CAB cân C (CH vừa đường cao vừa trung tuyến) ; tam giác... (g.g) Tương tự: A (0.5®) F E (0,5®) ) s® ADF sd AF sd ( AFD DF (0,5®) B C D ThuVienDeThi.com ) sd ABD (sd AFD DE ABD ADF = (0.25®) (0.25®) (0,5®) ®ã AFD ~ Ad(g.g)... a b a b ab a b 2 a b (0,25®) a b 2a b 2b a ThuVienDeThi.com (0,25®) (0,25®)