ĐỀ 25 Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x x 38 y b) Tìm số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố Câu (4,0 điểm) a) Cho x x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính giá trị biểu thức A x y 2016 3 b) Chứng minh rằng: Nếu ax by cz 1 x y z ax by cz a b c Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x 11 x x( x y ) y y b) Giải hệ phương trình: 2 y ( x y ) x y Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE, CF cắt H S a) Chứng minh AEF ABC đồng dạng AEF cos A S ABC b) Chứng minh rằng: S DEF 1 cos A cos B cos C .S ABC c) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn Câu (2,0điểm) Cho a, b ,c ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: a b c3 a b b c c a P 2abc c ab a bc b ca -HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………, SBD:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN Đây lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà giám khảo chấm chấm theo thang điểm Bài Nội dung Giải phương trình nghiệm nguyên: x x 38 y x x 38 y x x 19 3y 2( x 1) 3(7 y ) (*) a b 0,5 0,25 0,25 0,25 Ta thấy: 2( x 1) y y lẻ Ta lại có: y y Do y y 1 Lúc đó: 2( x 1) 18 ( x 1) 3 nên x 2; x 4 Ta thấy cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏa mãn (*) nên nghiệm 0,25 phương trình Ta có n4 + = n4 + + 4n2 – 4n2 0,25 2 = ( n + 2) – ( 2n) 0,25 2 = ( n – 2n + 2).( n + 2n+ 2) 0,25 Vì n số tự nhiên nên n + 2n+ > nên 0,25 n2 – 2n + = 0,25 n = 0,25 2 Cho x x 2015 y y 2015 2015 Hãy tính A biết: A x y 2016 ? 2015 y y 2015 2015 x x 2015 (1) Nhân vế đẳng thức cho với y y 2015 x x 2015 2015 y y 2015 (2) Nhân vế đẳng thức cho với x x 2015 ta được: a 0,5 2 2015 ta được: 0,5 Cộng (1) với (2) theo vế rút gọn ta được: x + y = Vậy A = 2016 b) Chứng minh rằng: Nếu ax by cz 0,75 0,25 1 x y z ax by cz a b c Đặt: ax by cz t Ta có: ax by cz 0,25 1 t t t t (1) x y z x y z 0,5 Mặt khác: t x a y3 b z3 c 1 0,5 1 Suy ra: a b c t t (2) x y z Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh a 0,5 0,25 x x 11 x (1) x x x x 11 2 x ThuVienDeThi.com x x x 0,5 x x x2 x 11 x2 x x 2x 2 x x ( x 1) với x 0,5 0,5 x2 x Đặt t (t > 0) x2 x Ta phương trình: 6t 11t Giải (*) t = thỏa mãn yêu cầu Nên t 5 x 2x x 2x x 10 x x 2 2 x 2x x 2x 0,5 x y ( y x) y x( x y ) y y 2 2 y ( x y ) 2( x 1) y y ( x y ) x y 2 x2 x y 4 y x ( x y ) 7 y uv u 4v v 3, u x2 , v x y ta có hệ: Đặt u y v 2u v 2v 15 v 5, u Dễ thấy y , ta có: b x2 y x2 x x 1, y x 2, y x y 3 y 3 x +) Với v 3, u ta có hệ: x2 y x2 y x x 46 +) Với v 5, u ta có hệ: VN x y 5 y 5 x y 5 x KL: Vậy hệ cho có hai nghiệm: (1; 2) (2;5) 0,5 0,5 0,5 0,5 A E F H O B C D a AE AB AF Tam giác ACF vuông F nên cosA = AC Tam giác ABE vuông E nên cosA = ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 Suy AE AF = AEF ABC (c.g c) AB AC 0,5 b S AE Từ AEF ABC suy AEF cos A S ABC AB S S Tương tự câu a, BDF cos B, CDE cos C S ABC S ABC S S S S S Từ suy DEF ABC AEF BDF CDE cos A cos B cos C S ABC S ABC 0,5 1,0 0,5 Suy S DEF 1 cos A cos B cos C .S ABC 0,5 c) Chứng minh OA EF ; OB DF ; OC ED c 0,5 Có S ABC 2.( S AEOF S BDOF SCDOE ) 0,5 BC AD OA.EF OB.FD OC.ED 0,5 BC AD R( EF FD ED) 0,5 BC AD R Chu vi tam giác DEF lớn AD lớn nhất; AD lớn A điểm cung lớn BC EF FD ED a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac P 2bc 2ca 2ab c ab a bc b ac a a bc b b ac c c ab Mà ; ; nên 2bc 2bc 2ac 2ac 2ab 2ab Với số dương x, y ta có 0,5 0,5 0,5 0,5 x y (x y) đúng, dấu y x 0,25 xảy x = y Áp dụng ta có: c ab 2ab a bc 2bc b ac 2ac P 2ab c ab 2bc a bc 2ac b ac 2+2+2 - ≥ 2 Dấu xảy a = b = c a b c3 a b b c c a Kết luận :giá trị nhỏ P 2abc c ab a bc b ca 0,5 a = b = c ThuVienDeThi.com 0,25 Đính :Câu 5: P≥ ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN Đây lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà giám khảo chấm chấm theo thang điểm... luận :giá trị nhỏ P 2abc c ab a bc b ca 0,5 a = b = c ThuVienDeThi.com 0,25 Đính :Câu 5: P≥ ThuVienDeThi.com ... điều phải chứng minh a 0,5 0,25 x x 11 x (1) x x x x 11 2 x ThuVienDeThi.com x x x 0,5 x x x2 x 11 x2 x x 2x 2 x x ( x 1)