Đề thi thử đại học năm 2009 môn Toán khối A41771

Trờng T.H.P.T Nguyễn Trung Ngạn Tổ toán Tin Đề thi thử đại học năm 2009 Môn toán Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Phần A : D"nh cho tất thi sinh Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát biến thiên v vẽ đồ thị (c) h m số : y = x3 – 3x2 + m 2) BiÖn luận theo m số nghiệm phơng trình : x − x − = x −1 C©u II (2,0 điểm ) 1) Giải phơng trình : cos 11π − x  + sin  7π − x  = sin  x + 2009π      2   30 x − x y 25 y = 2) Giải hệ phơng tr×nh :  30 y − y z − 25 z =  2  30 z − z x − 25 x = Câu III(2,0 điểm ) 1) Tính tích phân : ( x + 4)dx −1 x +1 + x + ∫ 2) Cho x , y , z l ba sè thùc tháa mAn : x + y +2 z = Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y ≥ 2x + 2y + 2z Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình chữ nhật víi AB = a , AD = 2a C¹nh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD t¹i N TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.BCNM Phần B ( Thí sinh đợc l"m hai phần ( phần phần 2) Phần ( D nh cho häc sinh häc theo ch−¬ng trình chuẩn ) Câu V.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng th¼ng : x −7 y −2 z x − y z +1 = = = = d1 : ; d2 : −6 12 −6 −8 1) Chøng minh r»ng d1 v d2 song song ViÕt ph−¬ng trình mặt phẳng ( P) qua d1 v d2 2) Cho điểm A(1; 1;2) ,B(3 ; 4; 2).Tìm điểm I đờng thẳng d1 cho IA +IB đạt giá trị nhỏ Câu VI.a (1.0điểm) Giải phơng tr×nh : log ( x + 1) + log = log − x + log 27 ( x + 4)3 PhÇn D nh cho học sinh học chơng trình nâng cao ) Câu V.b (2,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng : x y z = = , D1 : −1  x = − 2t  D2 :  y = z = t  1) Chøng minh r»ng D1 chéo D2 Viết phơng trình đờng vuông góc chung D1 v D2 2) Viết phơng trình mặt cầu có đờng kính l đoạn vuông góc chung D1 v D2 2 CâuVI.b ( 1,0 điểm) Cho phơng tr×nh : log5 x + log5 x + − m − = , ( m l tham số ) Tìm giá trị tham số m để phơng trình đA cho có nghiệm thuộc đoạn 1;5 .Hết Giám thị coi thi không giải thích thêm DeThiMau.vn Hớng dẫn giải : Phần A : D nh cho tất thí sinh Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát v vẽ đồ thị ) 2) Đồ thị h m số y = ( x − x − 2) x − , với x có dạng nh hình vẽ : 1 2 1+ y=m m Dựa v o đồ thị ta có : *) Nếu m < : Phơng trình vô nghiệm *) Nếu m = : Phơng trình có hai nghiệm *) Nếu < m < : Phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt *) nÕu m ≥ : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt Câu II : 1) cos  11π − x  + sin  7π − x  = sin  x + 2009π  ( 1)     2  ( 1) ⇔ sin  5x π  3x π 3x 3x  3π x   ⇔ cos  x +  cos −  − sin  −  = cos = cos 4 2  4  2  3x π ⇔ cos = hc cos( x + ) = Giải phơng trình tìm đợc nghiÖm : x= π + k 2π , x= π + k 2π , x = k2π  30 x = y  x + 25   30 x − x y − 25 y =  30 y 2) Ta cã  30 y − y z − 25 z = ⇔  z = y + 25   2 30 z − z x − 25 x =   30 z x = z + 25  ( 2) Từ hệ ta có x, y, z không âm *) NÕu x = th× y = z = suy ( 0;0;0 ) l nghiƯm cđa hƯ *) NÕu x>0, y> , z > XÐt h m sè : f(t) = Ta cã f’(t) = 1500t ( 9t + 25 ) 30t ,t>0 9t + 25 > víi mäi t > Do ®ã h m sè f(t) ®ång biến khoảng ( 0; + ) y = f ( x) Hệ (2) đợc viết lại z = f ( y )  x = f ( z)  Tõ tÝnh ®ång biÕn cđa h m f ta dÔ d ng suy x= y = z Thay v o hệ phơng trình Ta đợc nghiÖm x = y = z = DeThiMau.vn  5  NghiƯm cđa hƯ l ( 0;0; ) ,  ; ;   3   C©u III 1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ ( x + 4)dx −1 x +1 + x + 2 20t + 12 20t + 12 2 dt dt = ( t − 6t ) + ∫ 2 t + 3t + t + 3t + 0 x + Ta cã I = ( 2t )dt + Đặt t = = 8+  28 ∫ t + dt − ∫ t + dt = + 28ln2 – ln3 2) Cho x , y , z l ba sè thùc tháa mAn : x + y +2 z = Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y 2x + 2y + 2z ≥ x y z Đặt = a , =b , = c Tõ gi¶ thiÕt ta cã : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chøng minh cã d¹ng : ( *) ⇔ a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ ( *) a + bc b + ca c + ab a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 a + abc b + abc c + abc 3 a b c3 a+b+c + + ≥ ⇔ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) Ta cã a3 a+b a+c + + ≥ a (a + b)(a + c) 8 ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) b3 b+c b+a + + ≥ b ( 2) T−¬ng tù (b + c)(b + a) 8 c c+a c+b + + ≥ c ( 3) (c + a)(c + b) 8 Céng vế với vế bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy điều phải chứng minh C©u IV : S H N M D A B C TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng n y cắt mp( SAD) theo giao tuyÕn MN // AD  BC ⊥ AB ⇒ BC BM Tứ giác BCMN l hình thang vuông cã BM l ®−êng cao  BC ⊥ SA Ta cã :  DeThiMau.vn a a 3− MN SM MN =2 = ⇔ = Ta cã SA = AB tan600 = a , AD SA 2a a 4a 2a BM = DiƯn tÝch h×nh thang BCMN l : Suy MN = 3 4a    a +  2a 10a2 BC + MN S = BM =  =  2   3   H¹ AH ⊥ BM Ta cã SH ⊥ BM v BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH VËy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH l ®−êng cao cđa khèi chãp SBCNM AB AM = Trong tam gi¸c SBA ta cã SB = 2a , = SB MS Vậy BM l phân giác góc SBA ⇒ SBH = 30 ⇒ SH = SB.sin300 = a 10 3a3 Gäi V l thÓ tÝch chãp SBCNM ta cã V = SH ( dtBCNM ) = 27 Phần B (Thí sinh đợc l m phần I phần II) Phần I (Danh cho thí sinh học chơng trình chuẩn) Câu V.a.1) Véc tơ phơng hai đờng thẳng lần lợt l : u1 (4; 6; 8) u2 ( 6; 9; 12) +) u1 v u2 cïng ph−¬ng +) M( 2; 0; 1) ∈ d1; M( 2; 0; 1) ∉ d2 A VËy d1 // d2 *) Véc tơ pháp tuyến mp (P) l n = ( 5; 22; 19) (P): 5x – 22y + 19z + = H d 2) AB = ( 2; 3; 4); AB // d1 I Gäi A1 l ®iĨm ®èi xøng cđa A qua d1 Ta cã: IA + IB = IA1 + IB A1B A1 IA + IB đạt giá trị nhỏ nhÊt b»ng A1B Khi A1, I, B th¼ng h ng ⇒ I l giao ®iĨm cđa A1B v d Do AB // d1 nên I l trung điểm A1B B 36 33 15 *) Gäi H l h×nh chiÕu A lên d1 Tìm đợc H ; ;   29 29 29  A’ ®èi xøng víi A qua H nªn A’  43 95 28  ; ;−   29 29 29  65 −21 −43  I l trung ®iĨm cđa A’B suy I  ; ;   29 58 29  C©u VI a) log9(x + 1)2 + log = log − x + log 27 ( x + 4)3 (1)  −4 < x <  x ≠ −1 § K:  (1) ⇔ log3(x + 1) + log34 = log3(4 – x) + log3(x + 4) ⇔ log34 x + = log3(16 – x2) ⇔ x + = 16 – x2 24 Giải phơng trình tìm đợc x = x = Phần II Câu V b 1) Các véc tơ phơng D1 v D2 lần lợt l u1 ( 1; 1; 2) v u2 ( 2; 0; 1) *) Cã M( 2; 1; 0) ∈ D1; N( 2; 3; 0) ∈ D2 XÐt u1 ; u2  MN = 10 ≠ DeThiMau.vn VËy D1 chÐo D2 *) Gäi A(2 + t; – t; 2t) ∈ D1 B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ D2 D1 u1   AB.u1 = t = − ⇒    AB.u2 = t ' = 5 2 ⇒ A  ; ; −  ; B (2; 3; 0) 3 3 A B u2 D2 Đờng thẳng qua hai điểm A, B l đờng vuông góc chung D1 v D2 Ta cã ∆ x = + t :  y = + 5t  z = 2t *) Phơng trình mặt cầu nhận đoạn AB l ®−êng kÝnh cã d¹ng: 2 11   13     x −  +y −  +z+ 3 =  b.2) Đặt t = log52 x + ta thÊy nÕu x ∈ 1;5 t [1;2] Phơng trình có dạng: t2 + 2t – m – = 0; t ∈ [1;2] ⇔ t2 + 2t – = m ; t [1;2 ] Lập bất phơng rình h m f(t) = t2 + 2t – trªn [1;2] ta đợc f(t) Đ K m l : ≤ m ≤ DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... [1;2 ] Lập bất phơng rình h m f(t) = t2 + 2t [1;2] ta đợc ≤ f(t) ≤ § K cđa m l : ≤ m ≤ DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... ®ång biÕn cđa h m f ta dÔ d ng suy x= y = z Thay v o hệ phơng trình Ta đợc nghiệm x = y = z = DeThiMau.vn  5  NghiƯm cđa hƯ l ( 0;0; ) ,  ; ;   3   C©u III 1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ (... r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y 2x + 2y + 2z ≥ x y z §Ỉt = a , =b , = c Tõ gi¶ thi? ?t ta cã : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh cã d¹ng : ( *) ⇔ a2 b2 c2 a+b+c +