Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 20 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS A TV N Trong ch ng trình ph thơng, i s (ph ng trình , h ph ng trình, b t đ ng th c, l ng giác, ) m t nh ng n i dung tr ng tâm, xuyên su t trình , có m t h u h t kì thi i h c, Cao đ ng Trung h c chuyên nghi p c ng nh k thi h c sinh gi i nh ng n m g n Vi c gi i tốn v i s có nhi u ph ng pháp nh : bi n đ i t ng đ ng , đ t n ph , l ng giác hố , hình h c…, m c dù có nhi u cách gi i nh th , nh ng đ ng tr c toán d ng v n nhi u h c sinh lúng túng, ch a đ a đ c l i gi i , ho c đ a l i gi i ch a xác Nhi u h c sinh bây gi h c theo ki u “làm nhi u r i quen d ng , làm nhi u r i nh ”, n u h c nh th s không phát tri n đ c t sáng t o, s không linh ho t đ ng tr c m t tình hu ng m i l hay m t toán t ng h p Vì lí đó, đ giúp h c sinh tháo g nh ng v ng m c , nh m nâng cao ch t l ng d y h c, đáp ng nhu c u đ i m i giáo d c giúp h c sinh có thêm ph ng pháp gi i tốn ,tôi quy t đ nh l y đ tài : “S d ng s ph c vào gi i m t s toán i s ” V i đ tài hy v ng s giúp cho h c sinh d dàng n m b t v n d ng thành th o s ph c vào gi i tốn nói chung , gi i tốn v is nói riêng B GI I QUY T V N I C s lý lu n c a v n đ Trong ch ng trình THPT s ph c đ c đ a vào gi ng d y l p 12 S đ i c a s ph c nhu c u m r ng c a t p h p s , s ph c c u n i hoàn h o gi a phân môn i s , L ng giác, Hình h c gi i tích (th hi n rõ qua công th c ei ) Khi làm toán s ph c h c sinh s d dàng th c hi n đ c đ nh ngh a phép tốn ch ng trình c b n V i nh ng tính ch t c b n c a s ph c, gi ng d y n i dung giáo viên có nhi u h ng khai thác, phát tri n toán t o nên s lôi cu n, h p d n ng i h c B ng vi c k t h p tính ch t c a s ph c v i m t s ki n th c đ n gi n v l ng giác, gi i tích, đ i s hình h c giáo viên có th xây d ng đ c nhi u d ng toán v i n i dung h p d n hoàn toàn m im giúp h c sinh có s nhìn sâu r ng h n v s ph c th y đ c m i liên h m t thi t gi a s ph c v i i s , L ng giác, Hình h c gi i tích, q trình gi ng d y tơi ln tìm tịi khai thác k t h p ki n th c khác v toán h c đ xây d ng t p cho h c sinh II Th c tr ng c a v n đ Khái ni m v s ph c phép toán m t nh ng khái ni m c b n , đ n gi n H c sinh d dàng bi t đ c vi c th c hi n phép toán v s ph c d ng đ i s c ng nh d ng l ng giác vi c gi i ph ng trình b c hai Nguy n V n M nh DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS Khi s d ng đ nh ngh a hai s ph c b ng b ng cách tách ph n th c, ph n o s cho ta m t h ph ng trình, s d ng công th c Moa-vr ta s th y đ c m i liên h gi a s ph c v i bi u th c v l ng giác c ng nh bi u th c v Cnk khai tri n nh th c Niu-T n s d ng tính ch t v môđun c a s ph c d ng b t đ ng th c s cho ta b t đ ng th c đ i s t ng ng i u ch ng t r ng s ph c liên h r t g n g i v i toán v đ i s , nên ta có th khai thác s ph c nh m t công c đ gi i toán Tuy nhiên vi c v n d ng v n đ vào gi i toán đ i s h c sinh v n ch a thành th o, lúng túng H ng d n em v n d ng t t ph n s t o cho em có thêm ph ng pháp, có s linh ho t h n vi c gi i quy t d ng toán v đ i s Tr c áp d ng đ tài vào d y h c, kh o sát ch t l ng h c t p c a H c sinh (v v n đ s d ng s ph c vào gi i m t s toán đ i s ) ã thu đ c k t qu nh sau : S Gi i Khá TB Y u Kém L p s SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 50 18 36 28 56 0 12A6 54 16 30 34 63 0 12 B5 52 10 19 33 63 16 0 Nh v y s l ng H c sinh n m b t d ng không nhi u ch a có đ c ngu n ki n th c k n ng c n thi t Th c hi n đ tài khai thác vi c s d ng s ph c thông qua ng d ng c th t p t ng ng cho m i ng d ng Cu i t p t ng h p đ h c sinh v n d ng tính ch t đ c h c vào gi i quy t Do khn kh đ tài có h n nên ch đ a đ c b n ng d ng đ gi i quy t m t s tốn v đ i s là: ng d ng gi i h ph ng trình, ng d ng vi c ch ng minh b t đ ng th c, ng d ng vi c ch ng minh đ ng th c l ng giác ng d ng vi c tính t ng bi u th c ch a Cnk (s t h p ch p k c a n ) III Gi i pháp t ch c th c hi n Th c hi n đ tài v n i dung chia làm ba ph n : Ph n Nêu ki n th c c b n s d ng đ tài Ph n Nêu ng d ng Ph n Gi i m t s toán v đ i s thông qua t p t ng ng cho m i ng d ng Sau n i dung c th : Ph n Các ki n th c c b n Các ki n th c c b n s d ng tr ng đ tài bao g m đ nh ngh a tính ch t t sách giáo khoa mà h c sinh đ c h c nh ngh a * M t s ph c m t bi u th c d ng a + bi , a , b nh ng s th c i s th a mãn i 1 Kí hi u s ph c z vi t z a bi Nguy n V n M nh DeThiMau.vn D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN S IS i đ c g i đ n v o , a đ c g i ph n th c , b đ c g i ph n o c a s ph c z a bi * Hai s ph c z1 a bi ; z2 c di g i b ng n u a = c , b = d Khi ta vi t z1 z2 * Cho z a bi , ta có s ph c liên h p c a z z a bi , môđun c a z z a2 b2 * V i m i s ph c z1 ; z2 ; z3 ta có: z1 z2 z1 z2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Ph ng trình b c hai D ng : Az2 Bz C , A, B , C nh ng s ph c A Cách gi i Xét bi t th c B2 4AC * N u ph ng trình có hai nghi m phân bi t B B z1 , z2 (trong m t c n b c hai c a ) 2A 2A B * N u ph ng trình có nghi m kép z1 z2 2A D ng l ng giác c a s ph c * M i s ph c z đ u có th vi t đ c d i d ng z r (cos isin ) ( r mơđun c a z m t acgumen c a z ) đ c g i d ng l ng giác c a s ph c * N u z r (cos isin ) z có ba c n b c ba 2 2 4 4 r (cos i sin ) , r (cos i sin ) , r (cos i sin ) 3 3 3 * N u z r (cos isin) zn r n (cosn i sinn) (n N* ) (công th c Moa-vr ) Công th c nh th c Niu-t n n a b Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn H qu 1 x Cn0 Cn1 x Cnk xk Cnn x n T ng n s h ng đ u tiên c a c p s nhân Cho un m t c p s nhân v i công b i q 1, ta có n u1 (1 qn ) u1 u2 un 1 q Ph n Các ng d ng c a s ph c ng d ng gi i h ph ng trình Ki n th c s d ng A( x; y) B( x; y) A( x; y) iC( x; y) B( x; y) iD( x; y) * H pt C ( x ; y ) D ( x ; y ) Nguy n V n M nh DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS * N u z r (cos isin ) z có ba c n b c ba 2 2 4 4 r (cos i sin ) , r (cos i sin ) , r (cos i sin ) 3 3 3 ng d ng vi c ch ng minh b t đ ng th c Ki n th c s d ng * Cho z a bi , ta có mơđun c a z z a2 b2 * V i m i s ph c z1 ; z2 ; z3 ta có: z1 z2 z1 z2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 ng d ng vi c ch ng minh đ ng th c l ng giác Ki n th c s d ng * N u z r (cos isin) zn r n (cosn i sinn) (n N* ) (công th c Moa-vr ) * Cho un m t c p s nhân v i công b i q 1, ta có u1 (1 qn ) u1 u2 un 1 q ng d ng vi c tính t ng bi u th c ch a Cnk (s t h p ch p k c a n ) Ki n th c s d ng n * 1 x Cn0 Cn1 x Cnk x k Cnn xn * N u z r (cos isin) zn r n (cosn i sinn) (n N* ) (công th c Moa-vr ) A C * A + Bi = C + Di B D Ph n Gi i m t s toán v đ i s thông qua t p t ng ng cho m i ng d ng Ta s xét t ng ng d ng vào gi i toán đ i s thơng qua ví d Sau t p v n d ng NG D NG TRONG VI C GI I H PH NG TRÌNH Ki n th c s d ng A( x; y) B( x; y) * H pt A( x; y) iC( x; y) B( x; y) iD( x; y) C( x; y) D( x; y) * N u z r (cos isin ) z có ba c n b c ba 2 2 4 4 r (cos i sin ) , r (cos i sin ) , r (cos i sin ) 3 3 3 Ví d Gi i h ph ng trình sau: 2x3 6xy2 a 6x y 2y3 Gi i Nguy n V n M nh DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS 1 3 Hpt 2x3 6xy2 i 6x y 2y3 3i x yi 5 i 2 1 z x yi m t c n b c ba c a 5 i ,vì 2 1 1 i 5(cos sin ) 5 5 i có ba c n b c là: 2 3 2 7 7 13 13 z0 5(cos sin ) ; z1 5(cos sin ) ;z2 5(cos sin ) 9 9 9 xét z z0 ; z z1 ; z z2 , ta đ c : 7 13 3 x 5.cos x 5.cos x 5.cos nghi m c a hpt cho ; ; 13 y 5.sin y 5.sin y 5.sin 2 x 3xy 3x 3y 3x b y 3x y 6xy 3y Gi i ( x 1) 3y ( x 1) Hpt 3( x 1) y y ( x 1)3 3y2 ( x 1) i 3( x 1)2 y y3 i ( x iy)3 i z x yi m t c n b c c a i , i 2(cos sin ) 4 Nên i có c n b c ba là: 3 3 17 17 z0 2(cos i sin ) ; z1 2(cos i sin ) ; z2 2(cos i sin ) 12 12 4 12 12 xét z z0 ; z z1 ; z z2 , ta đ c: 3 17 6 x 1 2.cos12 x 1 2.cos x 1 2.cos 12 ; ; 6 y 2.sin y 2.sin y 2.sin 17 12 12 Ví d Gi i h ph ng trình: 5x 5y 7 x x y2 a y 5x 5y x2 y2 Gi i Nguy n V n M nh DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS K x2 y2 Hpt x 5x 5y 5x 5y i y 7 x y2 x y2 x iy y ix (*) 2 x y x y2 x iy y ix i t z x yi ; , : x y2 z x2 y2 z x yi (*) z z 5i i z2 7z 5i z z z 5i x x (tmđk) ; v i z 5i V i z 5i y y KL: h ph ng trình có hai nghi m là: (7 ; ) (0 ; ) x4 y4 3x3 3xy 2x 4y b 3 2 2x y 3x y 2xy 3y (2x 1) 2y 4y Gi i 2 2 ( x y )( x y ) 3x( x y2 ) 2( x 2y) Hpt 2 2 2 2 xy( x y ) 3y( x y ) 4( x y ) 2(2 x y) N u x = y = ; th a mãn h pt nên x = y = nghi m c a h N u x2 y2 x 2y 2 x y x 0 x2 y2 Hpt 2xy 3y 2x y x2 y2 x 2y 2x y +i.[ xy 3y 2 ]=0 x2 y2 3x 2 x y x y2 x iy y xi ( x2 2xyi y2 ) 3( x yi ) 2 4i x y x y2 x iy y xi ( x yi )2 3( x yi ) 2 4i x y x y2 x iy y ix i t z x yi ; ; ta có ph ng x y2 z x2 y2 z 4i trình: z2 3z 4i z z Nguy n V n M nh DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS z3 3z2 4iz 4i ( z 1)( z2 2z 4i 2) z z z i z 2z 4i z 1 i x x x 1 ; v i z 3 i ; v i z 1 i V i z 1 y y 1 y KL: h pt cho có nghi m : (0 ; 0) ; (1; 0) ; (3 ; -1) (-1; 1) Ví d Gi i h ph ng trình: 12 x2 y 3x a 12 y y 3x Gi i K : x, y ; y 3x u 3x ( u , v ) Ta có h ph ng trình: t v y 12u u u2 v2 12u 12v u 2 i v 2 6i u v u v v 12v 2 u v u iv u iv u vi 12 2 6i ; đ t z u iv 2 ; ta có pt u v u v z z 12 6i z2 2( 3i ).z 12 z z ( 3) (3 3)i ; u , v nên z ( 3) (3 3)i z ( 3) (3 3)i u x (3 3) x v y (3 3)2 y 12 x LK: h pt cho có nghi m nh t : y 12 Nguy n V n M nh DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS 2 3x. x y b 7y. x y Gi i K : x, y ; y x ; đ t x u ; y v ( u , v ) u u u2 v2 Ta có h ph ng trình: v v u2 v2 u v i u 2 i v 2 u v u v u iv u vi i ; đ t z u iv 2 , ta có pt 2 u v z u v 2 z i z2 2 i z ; có z 7 u vi 2 z i 21 38 2 ' i ( 2.i )2 21 21 21 z 2 i 21 11 u 21 x u 21 Do u , v , nên v 2 y v2 22 7 22 11 KL: h pt cho có nghi m nh t ( x; y) ; 7 21 7 Nguy n V n M nh DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS NG D NG TRONG VI C CH NG MINH B T NG TH C Ki n th c s d ng * Cho z a bi , ta có mơđun c a z z a2 b2 * V i m i s ph c z1 ; z2 ; z3 ta có: z1 z2 z1 z2 z1 z2 z3 z1 z2 z3 Ví d Ch ng minh r ng v i x R , ta ln có: x2 x x2 x Gi i 22 1 x 22 Xét s ph c z1 x 2i ; z2 x 2i z1 z2 4i Bđt x 1 2 Vì z1 z2 z1 z2 x 1 22 1 x 22 22 42 Nên đpcm Ví d Ch ng minh r ng v i x, y, z R , ta ln có: 2 x2 xy y2 x2 xz z2 y2 yz z2 Gi i 2 2 y y 3 z z 2 Bđt x x y yz z 2 2 y y z z i ; z2 x i z1 z2 y z y z i Xét z1 x 2 2 2 2 y y 3 z z Vì z1 z2 z1 z2 x x 2 2 2 1 y z y z y2 yz z2 nên 2 Ví d Ch ng minh r ng v i x R , ta ln có: 2 16 32 x 2 x x x 4x 10 2 5 Gi i 32 64 Bđt x2 x2 x x2 8x 20 5 Nguy n V n M nh đpcm x x 4 2 5 16 x2 x 5 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS 162 82 2 82 2 2 x x x x 5 5 16 8 Xét z1 x 2i ; z2 x 2i ; z3 x i ; z4 x i 5 5 12 16 z1 z2 4i ; z3 z4 i , 5 z1 z2 z3 z4 z1 z2 z3 z4 2 12 16 VT nên đpcm 5 5 Ví d Cho a , b, c, d b n s th c th a mãn u ki n a2 b2 2 a b ; c2 d2 36 12 c d Ch ng minh r ng : 2 a c b d 2 1 Gi i 2 T gi thi t ta có a 1 b 1 ; c 6 d 6 36 Xét z1 a 1 b i , z2 c d 6 i , z3 5i 2 z1 z2 z3 (c a) (d b)i , z1 z2 z3 z1 z2 z3 1 c a d b 2 a c b d 2 1 Ví d Cho a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 1.Ch ng minh r ng : b2 2a2 c2 2b2 a2 2c2 ba cb ac Gi i 2 2 2 2 Bđt a b b c c a 2 i ; z2 i ; z3 i Xét z1 a b b c c a 1 1 1 1 z1 z2 z3 i , a b c a b c z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 1 1 1 1 1 1 VT 2 ,vì a b c a b c a b c 1 ab + bc + ca = 1, nên VT đpcm a b c Nguy n V n M nh 10 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TỐN IS Ví d Ch ng minh r ng v i x, y, z , ta có : x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 x y z Gi i Bđt 2 2 2 y y 3 z z x x 3 x y z 3 x y z 2 2 2 y y z z x x i ; z2 y i ; z3 z i xét z1 x 2 2 2 3 z1 z2 z3 x y z x y z i ,vì z1 z2 z3 z1 z2 z3 2 VT x y z x y z x y z đpcm 4 NG D NG TRONG VI C CH NG MINH CÁC NG TH C L NG GIÁC Ki n th c s d ng * N u z r (cos isin) zn r n (cosn i sinn) (n N* ) (công th c Moa-vr ) * Cho un m t c p s nhân v i cơng b i q 1, ta có u1 (1 qn ) u1 u2 un 1 q Ví d Ch ng minh r ng: 3 5 a cos cos cos 7 3 5 sin cot b sin sin 7 14 Gi i Xét z cos i sin ; ta có: 7 3 5 3 5 z z3 z5 cos cos cos i sin sin sin 7 7 z z 1 z M t khác : z z3 z5 = z z 1 z cos i sin 7 i cot 2 14 cos i sin (1 cos )2 sin2 7 7 Nguy n V n M nh (1) (2) 11 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS 3 5 cos cos cos T (1) (2) (đpcm) sin sin sin cot 7 14 Ví d Ch ng minh r ng v i x k2 , ta có : (n 1) x nx sin cos 2 a cos x cos2x cosnx 1 x sin ( n 1) x nx sin sin 2 b sin x sin2x sin nx x sin Gi i t A cos x cos2x cosnx ; B sin x sin2x sin nx Xét z cosx i sin x , ta có: zn1 n n A Bi z z z A Bi z z z 1 z cos( n 1) x i sin( n 1) x A Bi cos x i sinx ( n 1) x (n 1) x ( n 1) x 2sin2 2i sin cos 2 x x x 2sin2 2i sin cos 2 ( n 1) x nx (n 1) x nx sin cos sin sin 2 i 2 A Bi x x sin sin 2 ( n 1) x nx (n 1) x nx sin cos sin sin 2 ; B= 2 A 1 (đpcm) x x sin sin 2 Ví d Tính t ng sau: n n k k Sn qk sin( k ) ; Tn qk cos( k ) ( ; ; q s th c cho tr Gi i c) Ta có : Tn iSn cos isin qcos( ) i.sin( ) qn cos( n) i.sin( n) Nguy n V n M nh 12 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS (cos i.sin).1 q(cos i.sin) q2(cos2 i.sin2) qn(cosn i.sinn ) đ t z cos i sin ; ta đ c Tn i Sn (cos i sin ) 1 qz q2 z2 qn zn ( qz)n1 1 (cos +i.sin ) qz ( cos i si n ) q n ( cos(n+1) +i.si n(n+1) )-1 q( cos i si n ) os(n - )-qn1cos(n 1) qn2cos(n ) cos qc 1 2qcos q2 sin qsin(n ) qn1 sin(n 1) qn2 sin(n ) i 1 2qcos q2 sin qsin(n ) qn1 sin(n 1) qn2 sin(n ) V y Sn 2qcos q2 cos q.cos(n - )-qn1cos( n 1) qn2cos( n ) 2q cos q2 Ví d Ch ng minh r ng : 2 4 8 3 cos cos cos 33 7 7 Gi i k2 k2 Ta có xk cos i sin ; ( k = ,1, ,6) nghi m c a pt 7 x7 , t xk (k = ,1, , 6) nghi m c a pt Tn 1 1 1 x x x x x 2 x x x x 1 2k t y x , yk xk xk xk 2.cos ( k = ,2 ,3 ) x xk nghi m c a pt : y3 y2 2y Theo đ nh lý viet ta có: y1 y2 y3 1 y1 y2 y2 y3 y3 y1 2 ; y y y 2 đ t A y1 y2 y3 ; B y1y2 y2 y3 y3 y1 , ta có A3 y1 y2 y3 3 y1 y2 y3 3AB A3 4 3AB (1) , t B3 5 3AB (2) , L y (1) nhân v i (2) ta đ c Nguy n V n M nh ng t 13 DeThiMau.vn D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN S AB 3AB 43AB 5 AB 3 3 IS AB , thay vào (1) ta đ c A3 3 A 3 2 4 6 cos cos cos 33 7 7 ,mà cos 6 8 cos 7 2 4 8 cos cos 3 (đpcm) 7 NG D NG TRONG VI C TÍNH T NG CÁC BI U TH C CH A Cnk (S T H P CH P k C A n ) Ki n th c s d ng n * 1 x Cn0 Cn1 x Cnk x k Cnn xn * N u z r (cos isin) zn r n (cosn i sinn ) (n N* ) (công th c Moa-vr ) A C * A + Bi = C + Di B D Ví d Tính t ng: 16 A = 310 C200 - 39 C202 38 C204 - 37 C206 32 C20 - 3C2018 C2020 Nên cos Gi i Xét khai tri n: 3i 20 ( 3)20C20 i( 3)19C120 ( 3)18C220 ( 3)2C1820 i 3C1920 C20 = 20 39C20 38C20 37C620 32C1620 3C18 C20 = ( 310C20 )+ 20 20 + ( 3)19C120 ( 3)17C320 ( 3)3C1720 3C1920 i M t khác: 20 20 1 20 20 20 i cos i sin 220 cos i sin 3i 2 2 6 6 4 4 i 219 219 3i 220 cos isin 220 3 2 20 20 So sánh ph n th c c a 3i 20 hai cách tính ta có: 310 C200 - 39 C202 38 C204 - 37 C206 32 C2016 - 3C2018 C2020 = - 219 Ví d Tính t ng sau: Nguy n V n M nh 14 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS 12 14 -3C15 +5C15 -7C15 + +13C15 -15C15 A = C15 13 15 B = 2C115 -4C15 +6C15 -8C15 + +14C15 -16C15 Gi i Xét khai tri n: x2C152 x3C153 x13C13 x14C14 x15C15 (1 + x)15 = C150 xC15 15 15 15 x(1 + x)15 = xC150 x2C115 x3C152 x4C153 x14C1315 x15C1415 x16C1515 o hàm hai v ta có: (1 + x)15 + 15x(1 + x)14 = C150 2xC151 3x2C152 4x3C153 14x13C1513 15x14C1514 16x15C1515 V i x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 12 14 = C150 3C152 5C154 7C156 13C15 15C15 + 13 15 + 2C115 4C15 6C15 8C157 14C15 16C15 i M t khác: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 = 2 15 cos i sin 15i 4 15 2 14 cos isin 4 15 14 14 15 isin isin cos 15.2 i cos 4 4 27 27i 15.27 14.27 27i 7.28 27i 2 15 14 2 15 2 i 15.2 2 So sánh ph n th c o c a (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 hai cách tính ta có: 12 14 C15 -3C15 +5C15 -7C15 + +13C15 -15C15 = 7.28 13 15 = -2 2C115 -4C15 +6C15 -8C15 + +14C15 -16C15 15 C2018 Ví d Tính t ng: S = C200 C203 C206 C203k C20 Gi i: Xét khai tri n: (1 + x)20 = C020 xC120 x2C220 x3C320 x18C1820 x19C19 x 20C20 19 20 Cho x = ta có: Nguy n V n M nh 15 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN 20 220 = C020 C120 C20 C20 C1820 C1920 C20 IS (1) Cho x = i ( 1 1), ta có: 2 (1 + )20 = C020 C120 2C20 C20 C1820 C1920 2C20 20 (2) Cho x = ta có: 20 (1 + )20 = C020 2C120 C20 C20 C1820 2C1920 C20 C ng v theo v (1), (2) (3) ta đ (3) c: 220 + (1 + )20 +(1 + )20 = 3S M t khác: (1 )20 ( )20 40 ; (1 )20 ( )20 20 220 Do v y: 3S = – Hay S = 20 Ví d Ch ng minh r ng : a C20n C22n C24n ( 1)n C22nn 2n cos n b C21n C23n C25n ( 1)n1 C22nn1 2n sin n Gi i Ta có 1 x C20n C21n x C22n x2 C22nn1 x2 n1 C22nn x 2n Cho x = i ta đ c n 1 i [C20n C22n C24n (1)n C22nn]+[C21n C23n C25n (1)n1C22nn1].i (1) 2n 2n n n M t khác i cos i sin 1 i 2n cos i sin 4 2 2n n n 1 i 2n cos i 2n sin (2) 2 n T (1) (2) ta đ c C20n C22n C24n ( 1) n C22nn 2n cos n C21n C23n C25n ( 1)n1 C22nn1 2n sin đpcm Ví d Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ta có: a cosn cosn Cn2cosn2 sin2 Cn4cosn4 sin4 Cn6cosn6 sin6 b sin n Cn1cosn1 sin Cn3cosn3 sin3 Cn5cosn5 sin5 Gi i Nguy n V n M nh 16 DeThiMau.vn D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN S IS n Ta có : cos i sin Cnkcosn k (i sin ) k n k (cos C cos sin Cn4cosn 4 sin4 Cn6cosn 6 sin6 ) n n n2 i (Cn1cosn1 sin Cn3cosn3 sin3 Cn5cosn5 sin5 ) (1) (2) M t khác : cos i sin cosn i sin n T (1) (2) đ ng nh t ph n th c , ph n o đpcm Ví d Ch ng minh r ng n (n 2) a Cn0cos Cn1cos2 Cn2cos3 Cnncos(n 1) 2n.cosn cos 2 (n 2) b Cn0 sin Cn1sin2 Cn2sin3 Cnnsin(n 1) 2n.cosn sin 2 Gi i n Ta có 1 x Cn0 Cn1x Cn2 x2 Cnn xn x1 x Cn0 x Cn1x2 Cn2 x3 Cnnxn1 ; cho x cos i sin , ta đ c VT (cos i sin )(1 cos i sin )n (cos i sin )(2cos2 2i sin cos )n 2 n n 2n cosn (cos i sin )(cos i sin ) = 2 (n 2) (n 2) 2n cosn [ cos i sin ] 2 ( n 2) ( n 2) 2n cosn cos i [2n cosn sin ] (1) 2 2 M t khác n1 VF Cn0 cos i sin Cn1 cos i sin Cnn cos i sin Cn0 cos i sin Cn1 cos2 i sin2 Cnn [cos(n+1) i sin(n 1) ] n n n k k Cnkcos( k 1) i Cnksin( k 1) (2) T (1) (2) , đ ng nh t ph n th c , ph n o đpcm Nguy n V n M nh 17 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN M t s t p áp d ng Bài Gi i h ph ng trình sau x 3xy a 3x y y IS 3x y 3 x x2 y2 b y x 3y x2 y2 x 12x 11y 1 x y 4 x y x y2 d c y x 11x 12y y 1 2 x y x y Bài a Cho x2 y2 , ch ng minh r ng : 4( x y) 2( x y) b Cho x, y, z > th a mãn x y z Ch ng minh r ng: 1 y2 z2 82 x y z 2 c Cho a, b hai s th c th a mãn a b 16 8a 6b Ch ng minh r ng: 4a + 3b 40 d Ch ng minh r ng v i x, y, z , ta ln có: x2 x2 xy y2 y2 yz z2 x xz z2 1 1 Bài Ch ng minh r ng : 0 cos6 sin24 sin48 sin120 2 4 8 3 Bài Ch ng minh r ng : cos cos cos 96 9 Bài Cho a, b, c s th c th a mãn: cosa + cosb + cosc = sina + sinb + sinc = Ch ng minh r ng a cos2a + cos2b + cos2c = sin2a + sin2b + sin2c = b 3cos(a+b+c) = cos3a + cos3b + cos3c 3sin(a+b+c) = sin3a + sin3b + sin3c Bài Ch ng minh đ ng th c : 1 C n Cn4 Cn1 Cn3 Cn5 2n 2 Bài Tính t ng: A= Bài Tính t ng : 48 C0 -3C50 +32C50 - -323C5046 +324C50 -325C50 50 50 50 k1 T = C120 +C20 +C20 + +C20 + +C1620 +C19 20 Nguy n V n M nh 18 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS IV K t qu ki n ngh đ xu t K t qu nghiên c u Th c ti n gi ng d y tr ng THPT H u L c IV đ c nhà tr ng giao cho gi ng d y l p : 12A3 , 12A6 , 12B5 Sau th nghi m d y n i dung qua vi c l ng ghép vào gi d y l p, gi d y t ch n, b i d ng th y h c sinh r t h ng thú h c t p, ti p thu ki n th c có hi u qu , ch t l ng h c toán đ c nâng lên rõ r t V vi c s d ng s ph c vào gi i m t s toán đ i s , giúp cho H c sinh có m t s nhìn nh n t ng đ i m i m toàn di n v ph ng pháp gi i h ph ng trình, ch ng minh đ ng th c l ng giác, tính t ng bi u th c ch a Cnk c ng nh ch ng minh b t đ ng th c Giúp em n m đ c m i liên h m t thi t gi a s ph c v i h ph ng trình , gi a s ph c v i l ng giác, gi a s ph c v i nh th c Niu-T n v i b t đ ng th c, th y rõ đ c vai trò c a vi c v n d ng s ph c vào gi i tốn nói chung vào vi c gi i tốn đ i s nói riêng T H c sinh bi t đ c s d ng s ph c vào gi i toán s d ng nh th Sau áp d ng đ tài kh o sát l i h c sinh thu đ c k t qu nh sau : S Gi i Khá TB Y u Kém L p s SL % SL % SL % SL % SL % 12A3 50 10 20 25 50 15 30 0 0 12A6 54 17 27 50 18 33 0 0 12 B5 52 20 38 26 50 0 Nh v y qua k t qu , so sánh v i s li u kh o sát l n đ u , nh n th y ch t l ng h c t p mơn tốn c a H c sinh đ c nâng lên rõ r t , s l ng h c sinh gi i t ng lên nhi u Ki n ngh đ xu t Do th i gian d y h c l p h n ch , nên đ áp d ng t t n i dung ph i c n : * i v i giáo viên : - Nêu đ y đ , ng n g n, ki n th c c b n - N m v ng vi c h c kh n ng c a t ng h c sinh đ giúp em v n d ng t t kh n ng c a - Các ki n th c đ a cho h c sinh ph i l a ch n tình hu ng t ng ti t h c đ h c sinh ch đ ng ti p thu ki n th c - Ph i l a ch n ph ng pháp d y h c, ph ng ti n phù h p v i n i dung - Kh c sâu ki n th c k t h p v i luy n t p đ a t p t gi i cho h c sinh t giác làm - Tham kh o ý ki n đ ng nghi p, h c sinh đ có bi n pháp truy n đ t ki n th c h p lí * i v i H c sinh : - Nghiên c u k sách giáo khoa sách tài li u khác Nguy n V n M nh 19 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS - Luôn t giác h c t p làm t p - Trao đ i th c m c v i giáo viên b n bè C K T LU N Nh v y qua đ tài, ta th y đ c vi c khai thác đ nh ngh a tính ch t c b n c a s ph c, giúp h c sinh s d ng s ph c nh m t công c đ c l c nh m gi i quy t hi u qu nhi u tốn c a đ i s , t giúp em có thêm ph ng pháp gi i tốn, có s linh ho t h n t nâng cao ch t l ng d y h c, đáp ng đ c yêu c u đ i m i d y h c Ngoài tính ch t c b n c a s ph c đ c s d ng nhi u tốn hình h c, gi i tích ,s h c tốn t h p nh ng khuôn kh c a đ tài nên không th khai thác nhi u h n n a v ng d ng c a s ph c, mong có d p đ c trao đ i v i đ ng nghi p Cu i cùng, dù c g ng t nghiên c u, t b i d ng h c h i đ ng nghi p, song v n không th tránh kh i nh ng thi u sót R t mong đ c s góp ý , b sung c a đ ng nghi p đ đ tài đ c hoàn thi n h n Tôi xin chân thành c m n ! H u L c , ngày 09 tháng 05 n m 2012 Ng i th c hi n Nguy n V n M nh Nguy n V n M nh 20 DeThiMau.vn ... linh ho t h n vi c gi i quy t d ng toán v đ i s Tr c áp d ng đ tài vào d y h c, kh o sát ch t l ng h c t p c a H c sinh (v v n đ s d ng s ph c vào gi i m t s toán đ i s ) ã thu đ c k t qu nh sau... trò c a vi c v n d ng s ph c vào gi i tốn nói chung vào vi c gi i tốn đ i s nói riêng T H c sinh bi t đ c s d ng s ph c vào gi i toán s d ng nh th Sau áp d ng đ tài kh o sát l i h c sinh thu... sách tài li u khác Nguy n V n M nh 19 DeThiMau.vn S D NG S PH C VÀO GI I M T S BÀI TOÁN IS - Luôn t giác h c t p làm t p - Trao đ i th c m c v i giáo viên b n bè C K T LU N Nh v y qua đ tài,