Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 Đề 641141

ĐỀ Câu 1: (6 điểm) 1.(4đ) Cho biểu thức: M  a  a a 1 a2  a a  a 1   a a a a a a với a  0; a  a) Rút gọn M b) Với giá trị a biểu thức N  2.( 2đ) Tính giá trị biểu thức E  x       ;  xy  xy  x y x y y nhận giá trị nguyên M với  12  20 18  27  45 Câu 2: (4 điểm)  x   2  x  2 x 1.(2đ) Giải phương trình: 2.(2đ) Với a; b số thực dương thỏa mãn a 2b   1 a 1 b Tìm giá trị lớn P = ab2 Câu : (4 điểm) 1.(2đ) Tìm số nguyên (x,y) thỏa mãn: 5x2 + 13y2 + 6xy = 4(3x – y) 2.(2đ) Cho a, b, c số lớn Chứng minh bất đẳng thức sau: �2 �‒1 Câu : (5 điểm) + 2�2 �‒1 + 3�2 �‒1 ≥ 24 Cho điểm M nằm nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R (M khơng trùng với A B) Trong nửa mặt phẳng chứa nửa đường trịn có bờ đường thẳng ฀ AB, kẻ tiếp tuyến Ax Đường thẳng BM cắt Ax I; tia phân giác IAM cắt nửa đường tròn O E, cắt IB F; đường thẳng BE cắt AI H, cắt AM K a) Chứng minh điểm F, E, K, M nằm đường tròn b) Chứng minh HF  BI c) Xác định vị trí M nửa đường trịn O để chu vi AMB đạt giá trị lớn tìm giá trị theo R? Câu (1.0 điểm) Tìm số tự nhiên x, y biết rằng: 2 x  12 x  2 x  32 x   y  11879 -Hết - ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG MƠN : TỐN Đáp án hướng dẫn chấm Điểm 6đ 0,25 Câu1 ĐKXĐ a  0; a  (*) a M a 1  a Vậy M   a  1a  a  1 a  1a  a  1 a a  1 a  a  1 a  a 1 với a  0; a  (*) a Ta có M  (4đ) a  a 1 a 1  2 a a Do a  0; a  nên b 0 N   2,25  a  1   a   2 aM   N nguyên N = M a 1 a 1 a  a 2   2 a 24 a 0,5đ     a    a  2  3   (TM *)  a    a   Vậy N nguyên a  2   ; 2   2 0.25đ  0,5đ 0,25đ Ta có: x        (2đ) x   2    2  2   2.2   0,75     0,75 y  2 3  12  20   3 18  27  45 2 3 4 1 3 9 E 8 3 1 0,5 4đ Câu ThuVienDeThi.com ĐK: 4  x  PT cho tương đương với: x x4 2   x  2 x 0.5đ * x = nghiệm * Giải  x    x    (2đ) 0.25đ Đặt u  x  ; v   x ta thu 0.5đ 14  v  2u  2 96 u  ; v   u  2u      5  x    x   (TM)  2 25 u  v   u  2(loai) 96 Vậy pt cho có nghiệm: x1  , x2   0.25đ 25 Theo BĐT Cô – si cho hai số dương ta có: b a b  1   2 1 b 1 b 1 a 1 b 0.5đ ab 1  a 1  b  0.5đ 2 (2đ)  4ab 4ab Suy :       b  1  a 1  b   a  b Mà a 2b 2b 4ab    1    ab    1 a 1 a 1 b  1 b  1 b 1 b Dấu xảy  a  b  Vậy Pmax = ab 0.5đ Câu PT tương đương x  y   2 x  3  2 y  1  10 Mà 10 biểu diễn dạng tổng bình phương : 10 = 02 + 12 + 32 2x – 3; 2y + số lẻ nên: (2đ) x  3y   2 x  3   2 y  1  (*) 0.5đ 4đ x  3y   2 x  3  (**)  2 y  1  0,5 0,25 0,25 0,25 Xét hệ (*) từ Phương trình đầu  x  3 y  2 3 y   3  PT vô nghiệm 0,25 x  y  2 x   3  Xét hệ (**) 2 y   1    x  x  3y    y  1  Đáp số: x = y = 0; x = 3, y = -1 ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 �2 Đặt P = �‒1 P= (2đ) ( ( + 2�2 �‒1 3�2 + �‒1 0,25 � ‒ + 2� ‒ + 3� ‒ + + + �‒1 �‒1 �‒1 P= �+1+ P= �‒1+ 0,5 + 2(� + 1) + + 3(� + 1) + �‒1 �‒1 �‒1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 2(� ‒ 1) + + 3(� ‒ 1) + + 12 �‒1 �‒1 �‒1 0,5 ) Do �,�,� > áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho số dương ta có : P ≥ (� ‒ 1) + 2(� ‒ 1) + 3(� ‒ 1) + 12 = 24 �‒1 �‒1 �‒1 0,5 0,25 Vậy P ≥ 24 (đpcm) Dấu đẳng thức xảy a = b = c = 5đ Câu Hình vẽ x I F M H A a b E K O B ฀  900 Ta có M, E nằm nửa đường trịn đường kính AB nên FMK ฀ FEK  900 0.5 Vậy điểm F, E, K, M nằm đường trịn đường kính FK 0.25 Ta có HAK cân A nên AH = AK (1) 0.25 K trực tâm AFB nên ta có FK  AB suy FK // AH (2) 0.25 ฀ ฀ ฀ ฀ Do FAH  ฀AFK mà FAH  FAK (gt) ฀AFK  FAK 0.25 Suy AK = KF, kết hợp với (1) ta AH = KF (3) 0.25 ThuVienDeThi.com Từ (2) (3) ta có AKFH hình bình hành nên HF // AK Mà AK  IB suy HF  IB 0.25 Chu vi AMB  CAMB  MA  MB  AB lớn khi MA + 0.25 MB lớn (vì AB không đổi) Áp dụng bất đẳng thức a  b   a  b  dấu "=" xảy  a  b , ta có MA  MB   2( MA2  MB )  AB 2 c 0.25 Nên MA + MB đạt giá trị lớn AB MA = MB hay M nằm cung AB 0.25 Vậy M nằm cung AB CAMB đạt giá trị lớn Khi 0.25 CAMB  MA  MB  AB  AB  AB  (1  2) AB  R(1  2) 1đ Câu Đặt A  2 x  12 x  2 x  32 x  , ta có x A tích số tự 0.25 nhiên liên tiếp nên x A chia hết cho Nhưng x không chia hết cho 5, A chia hết cho Nếu y  1, ta có 2 x  12 x  2 x  32 x   y chia hết cho mà 11879 không chia hết y  không thỏa mãn, suy y = 0.25 Khi , ta có 2 x  12 x  2 x  32 x   y  11879  2 x  12 x  2 x  32 x    11879 0.25  2 x  12 x  2 x  32 x    11880  2 x  12 x  2 x  32 x    9.10.11.12  x  0.25 Vậy x  3; y  hai giá trị cần tìm Chú ý: HS giải theo cách khác, cho điểm tối đa Giáo viên đề Tổ ký duyệt Nguyễn Đình Tuấn ThuVienDeThi.com Ban giám hiệu duyệt ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016 PHÒNG GD& ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS ĐỖ ĐỘNG MƠN : TỐN Đáp án hướng... chia hết cho mà 118 79 không chia hết y  không thỏa mãn, suy y = 0.25 Khi , ta có 2 x  12 x  2 x  32 x   y  118 79  2 x  12 x  2 x  32 x    118 79 0.25  2 x  12... x  32 x    9. 10.11.12  x  0.25 Vậy x  3; y  hai giá trị cần tìm Chú ý: HS giải theo cách khác, cho điểm tối đa Giáo viên đề Tổ ký duyệt Nguyễn Đình Tuấn ThuVienDeThi.com Ban giám hiệu