PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỨNG HÒA KỲ THI OLYMPIC CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP 6, 7, - NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN: TỐN (Thời gian làm 120 phút không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức: 6y 4x y2 A : 1 2 2x y 4x y 2x y y 4x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị biểu thức A với x = 0,25 y = 2015 c) Với giá trị x biểu thức A rút gọn khơng xác định Câu (4,0 điểm) a) Cho n số nguyên không chia hết cho Chứng minh P = 32n + 3n + chia hết cho 13 b) Xác định a, b để đa thức x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho đa thức x2- x -2 Câu (4,0 điểm) 3a 2b 3b a a) Biết a – 2b = tính giá trị biểu thức B = 2a b5 b) Cho x, y, z số khác không Chứng minh rằng: 1 x6 y z Nếu x y z xyz x y z x y3 z3 Câu (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD Kéo dài cạnh BC (về phía C) CD (về phía D) đoạn BM = DN Dựng hình bình hành AMFN Chứng minh: a) Tứ giác AMFN hình vng b) F thuộc phân giác góc NCM c) AC vng góc với CF d) B, D, O thẳng hàng (O trung điểm FA) Câu (1,0 điểm) Trong tam giác ABC, lấy điểm X nằm cạnh BC cho BC = 3.XB, lấy điểm Y nằm cạnh AC cho AC = 3.CY, lấy điểm Z nằm cạnh AB cho AB = 3.AZ Giả sử tam giác ABC có diện tích đơn vị Tính diện tích tam giác XYZ Họ tên thí sinh:……………………………… ThuVienDeThi.com SBD:…………… PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỨNG HÒA KỲ THI OLYMPIC CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP 6, 7, - NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Câu Câu (4,0 đ) Nội dung a Rút gọn biểu thức A(2,5đ) Điều kiện xác định : x 0; y 2 x Điểm 0,5đ 6y 4x y2 A : 1 2x y 4x y 2x y y 4x 6y 4x y2 : 4x y 2x y (2x y)(2x y) 2x y 0,5 đ 2(2x y) 6y 4(2x y) 4x y 4x y : (2x y)(2x y) 4x y 0,5đ 4x 2y 6y 8x 4y 8x : (2x y)(2x y) (2x y)(2x y) 4x (2x y)(2x y) 1 (2x y)(2x y) 8x 2x 0,5đ 0,5đ Hd: Biến đổi sai từ bước không chấm bước đó; nhầm dấu bước mà kết trừ điểm bước đó; dùng dấu tương đương thay cho dấu bằng, ngang phân thức không kẻ trừ 0,5đ Làm gộp biến đổi kết chấm điểm thành phần Câu (4,0 đ) b Tìm giá trị biểu thức A với x = 0,25 y =2015 1 Thay x = 0,25 y =2015 vào biểu thức A= ta A = -2 2x c Với giá trị x biểu thức A rút gọn không xác định Để biểu thức A khơng xác định x a/ (2 đ) Theo giả thiết n khơng chia hết có dạng n=3k+1 n=3k +2 + Nếu n = 3k + P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + = (33k+1)2 + 33k+1 + = 9.272k + 3.27k +1 Vì 27 chia cho 13 dư nên 27k 272k chia cho 13 dư hay 9.272k 3.27k chia cho 13 dư Khi P chia cho 13 có số dư 13 Vậy P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + chia hết cho 13 + Nếu n = 3k + chứng minh tương tự P = 32(3k+1) + 3(3k+1) + chia hết cho 13 ThuVienDeThi.com 0,75đ 0,75đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ b Xác định a, b để đa thức x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho đa thức x2 – x – (2 đ) Phân tích đa thức: x2 – x – = (x+1)(x - 2) Lập luận theo đề đa thức P(x) = x4 – 9x3 + 21x2 + ax + b chia hết cho x2 – x – phải chia hết cho đa thức (x + 1) (x - 2) Từ P(x) có hai nghiệm -1 Thay vào giải ta a = 1; b = -30 a Biết a – 2b = tính giá trị biểu thức 3a 2b 3b a B= 2a b5 2a (a 2b) b (a 2b) 2a b5 2a b 11 2a b b Cho x, y, z số khác không Chứng minh rằng: 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ 1 x6 y z xyz Nếu x y z x y z x y3 z3 Câu (4,0 đ) 1 xy + yz + zx = Khi chứng minh được: x y z x3y3 + y3z3 + z3x3 = 3x2y2z2 mà x + y + z = suy x3 + y3 + z3 = 3xyz từ x y z ( x3 y z ) 2( x3 y y z z x3 ) x3 y z x3 y z Ta có (3 xyz ) 2.3 x y z x y z x y z xyz xyz xyz Câu (7,0 đ) A N H’ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ B C O D M H F a/ (2 đ) - Vẽ hình đến câu a - Chứng minh hai tam giác vuông ABM ADN Suy BAM DAN AM = AN Ta có: MAN MAD DAN MAD BAM 900 ThuVienDeThi.com 0,5đ 0,5đ 0,5đ Chứng minh tứ giác AMFN hình bình hành có hai cạnh kề có góc vng hình vng b/ (2đ) Kẻ FH BM FH’ CN Ta có HMF = MAB (góc có cạnh tương ứng ) FND = DAN (góc có cạnh tương ứng ), mà BAM = DAN (cmt) nên: HMF = FND (1) FHM FH ' N có (1) FM = FN (cmt) => FH = FH’, nghĩa F cách cạnh góc MCN, F thuộc phân giác góc c/ (1,5 đ) CF đường phân giác MCN nên FCN = 450 AC đường chéo hình vng ANCD nên CAN = 450 Từ ACF = 900 hay AC CF d/ (1,5đ) Tứ giác AMFN hình vng nên O trung điểm MN Chứng minh 1 được: CO MN FA OA => O cách A C 2 BD đường chéo hình vuông ABCD nên cách A C Vậy điểm B, D, O thẳng hàng thuộc trung trực AC Câu (1,0 đ) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ A Z Y 1,0đ B C X SBCZ ; SBCZ SBCA 3 2 2 SBCA Chứng minh tương tự: SCYX SAYZ 9 9 Nối CZ, dễ thấy: S BXZ Từ S BXZ Từ S XYZ Ghi chú: Bài giải cách khác vận dụng kiến thức học, hợp logic trình bày hợp lý cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ỨNG HÒA KỲ THI OLYMPIC CÁC MƠN VĂN HĨA LỚP 6, 7, - NĂM HỌC 2015- 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN Câu Câu (4,0 đ) Nội dung a Rút gọn biểu... : (2x y)(2x y) 4x y 0,5đ 4x 2y 6y 8x 4y 8x : (2x y)(2x y) (2x y)(2x y) 4x (2x y)(2x y) 1 (2x y)(2x y) 8x 2x 0,5đ 0,5đ Hd: Biến đổi sai từ bước khơng chấm... với x = 0,25 y =2015 1 Thay x = 0,25 y =2015 vào biểu thức A= ta A = -2 2x c Với giá trị x biểu thức A rút gọn không xác định Để biểu thức A khơng xác định x a/ (2 đ) Theo giả thi? ??t n khơng