Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán lớp 9 Đề 1340695

ĐỀ 13 Câu I: (6đ) Tính giá trị biểu thức:  1  A      y  x  y x  x Với x  3 1 x  y x  x y  y : y  x y  xy  15  15  ; y   13   13 2 Tìm tất số hữu tỉ x để B   x  11 x 2 số nguyên   Cho số thực x, y thỏa mãn x   x y   y  Tính giá trị biểu thức C  x 2015  y 2015 Câu II(4,5đ) Giải phương trình sau: a) x  x  x  x  x  8 c) x x  x   y y  1 b) x  x  x   Câu III(1,5đ)  Tìm GTNN biểu thức ( x, y  Z ) x D    y3  x2  y2 x, y số thực lớn x  1y  1 Câu IV (8đ) 1) Cho (O) (O/) Kẻ tiếp tuyến chung AB chung EF ( A, E  (O); B, D  (O / ) ) Gọi M giao AB EF; N giao AE BF Chứng minh a) AOM BMO / b) AE  BF c) O, N, O/ thẳng hàng Cho ABC nhọn Chứng minh Cos2A + Cos2B + Cos2C < ===Hết=== ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN TOÁN Câu 1: (6đ) (2,5) Đặt đk : x>0, y>0  x y   1  ( x  y ) x  xy  y  xy  :  x y xy x  y xy ( x  y )    x  y   ( x  y )( x  y )   : =   xy   xy ( x  y )  xy  Rút gọn A    x  y = xy  xy 0,25đ 0,25đ 0,25 x y x y =  x  y 0,25đ 0,25 xy Biến đổi x 16  15 16  15  4 15  15   2  0,25 =1    y   13   13   13 y   y  10  y   y  y  10   y  1 y  y  10  0  y 1  1  A= 2 1.1 3   2, ĐK x  B=  x  11 x 2 x 2    x2 số nguyên x 2  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 số nguyên Lập luận  0,25 0,25 ThuVienDeThi.com  x 2  x 3, Ta có 1  x  x2 1  x  Tương tự x 2  x   x  x = 0,25  0,25 0,25 1  x  y2 1  y y2 1  y  x2 1  x 0,25 0,25 0,25 0,25  x 1  y 1  x  y  x 1  y 1  x  y  2( x  y )   x  y   x  y  C  2 2 Câu 2:(4,5đ) (1,5đ)  x  x    x  x  ĐK 0,25 Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có x  x2  x  x2  x  x .1  x  x .1  x  x2 2 x  x  Dấu “ =” xảy    x  x  2, (1,5đ) x3  2x  4x  1  x  x2 1  x 1 0,5  x o 8  x  x  12 x    x  x  x  12 x    0,25 0,5 0,25 0,25   x  x   3  4x  x  2 x 1 (1,5đ)  0,25  x x  x   y y  1 0,25  x  x  x 1  4y2  4y 1  0,75   x  1 x   2 y  1 0,25 Đặt d = ƯCLN x  1, x  1  d=  x  x  số phương  x   k k  x  k  x   k  x k  x     x0 k  x  k  x  1 2  x, y   0,0 ; 0,1 x2 y2 Câu III Biến đổi D   y 1 x 1 Do x >1, y >1  x   0, y   ThuVienDeThi.com ( (k  Z ) 0,5 0,25 0,25 0,25 xy Áp dụng BĐT Cơ si ta có D  0,25 x  y  Theo BĐT Cơ si ta có x 1  y 1  x  1.1  x  1  x 2 y  1.1  y  1  y 0,25 0,25 2 xy D 8 x y 2  x, y   2  x  y x  D =   y 1 x 1   y  x     y   0,25 0,25 Vậy Min D =  x  2, y  Câu IV B 0,25 A M K I E N O O’ F a) AOM  BMO / Vì AOM = BMO/ (cùng phụ với OMA) b) MO  AE, MO/  BF, MO  MO/  AE  BF c)  OIN   OMO/ : AI BK hai đường cao tương ứng hai  đồng dạng AOM BMO/ (câu a) OI MK OI IN mà MK = IN    / OM MO OM MO /  OIN  OMO / (c.g.c)  IOˆ N  MOˆ O /  O, N , O / thẳng hàng  2) ThuVienDeThi.com 0,75 1đ 0,5 0,5đ A E 0,25 F B C D Kẻ đường cao AD, BE, CF AEB  AFC (g.g) AE AB AE AF     AF AC AB AC  AEF  ABC (c.g.c) 0,25 0,25 0,25 S AEF  AE     Cos A S ABC  AB  S S Tương tự BDF  Cos B ; CDE  Cos C S ABC S ABC S  S BDF  S CDE  Cos A  Cos B  Cos C  AEF 1 S ABC  ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,5đ ...ĐÁP ÁN TOÁN Câu 1: (6đ) (2,5) Đặt đk : x>0, y>0  x y   1  ( x  y ) x  xy  y  xy  :  x y xy...   x2 số nguyên x 2  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 số nguyên Lập luận  0,25 0,25 ThuVienDeThi.com  x 2  x 3, Ta có 1  x  x2 1  x  Tương tự x 2  x   x  x = 0,25  0,25 0,25...  0,0 ; 0,1 x2 y2 Câu III Biến đổi D   y 1 x 1 Do x >1, y >1  x   0, y   ThuVienDeThi.com ( (k  Z ) 0,5 0,25 0,25 0,25 xy Áp dụng BĐT Cơ si ta có D  0,25 x  y  Theo BĐT Cô si