Các Chuyên đề Toán sơ cấp40680

1 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP CHUYÊNĐỀ 1: SỬ DỤNG SỐ VƠ TỶ TRONG GIẢI TỐN Các bạn học sinh THCS làm quen với số vô tỷ từ lớp ,nhưng sử dụng số vô tỷ để giải tốn lại cơng việc cịn mẻ em làm quen với tốn dạng Với kién thức số vôtỷ THCS ta giải số tốn hay khó với lời giải ngắn gọn đẹp TRƯỚC HẾT CẦN CHÚ Ý : Nếu a số ngun dương khơng phương a số vơ tỷ MỘT SỐ BÀI TỐN ỨNG DỤNG : BÀI TOÁN 1: Cho a,b,c số hữu tỷ a ≠ chứng minh x = m - n nghiệm phương trình ax2+bx +c = (1) x = m – n nghiệm phương trình LỜI GIẢI :Do x = m+ n nghiệm (1) nên a(m + n )2 + b (m + n )+c=  ( am2 + 2an2 + bm + cn )+(2amn + bn) ) = (1’) am  2an  bm  c Nếu 2amn + bn  từ (1’)  = vế trái số 2amn  bn vô tỷ ,vế phải số hữu tỷ Điều vô lý 2amn + bn = từ (1’) am2 + 2an2+bm + c =  Do a( m – n )2 + b( m – n )2 + c = (am2 + 2an2 +bm + c) – (2amn + bn) =0 Vậy x = m – n nghiệm (1) BÀI TỐN : tìm số hữu tỷ x,y thỏa mãn LỜI GIẢI : Do 3 = x 3- y (2)  > nên x > y ≥ Ta có (2)  - = x + y - xy  (x+y-2) = xy - (2’)  (x+y-2)23 = 12xy - 12 xy +  ( x  y  2)  xy  Q xy  x+y-2 ≠ từ (2’) suy = vế trái số vơ tỷ vế phải số x y2 hữu tỷ , điều vô lý x+y-2 =0 từ (2’) suy xy - = x> y ≥ nên suy x = ,y= ( thỏa mãn x> y ≥ ) 2  xy = DeThiMau.vn BÀI TOÁN : Cho bát giác lồi có góc Độ dài cạnh số nguyên dương Chứng minh cạnh đối bát giác LỜI GIẢI : Gọi bát giác làABCDEFGH Đường thẳng AB cặt cắt đường thẳng HG CD M,N Đường thẳng EF cắt đường thẳng HG,CD P ,Q (8  2)180 (hình vẽ) góc bát giác nên góc =1350 Từ suy góc tứ giác 1800 – 1350 = 450 Do tam giác MAH , NBC , PDE , QGF tam giác vuông cân tứ giác MNPQ hình chữ nhật Gọi độ dài cạnh AB,BC,CD,DE, EF,FG,GH,HA theo thứ tự a,b,c,d,e,f,g,h (với a,b,c,d,e,f,g,h số nguyên dương ) h b d f Suy MA = MH = , NB = NC = , PD = PE = , QG = QF = 2 2 h b f d Ta có MN = PQ nên a  e  (e  a )  h  b  f  d 2 2 hb f d e – a ≠ 2  Q điều vôlý Vậy e-a=0  e = a ea chứng minh tương tự ta có c = g , b = f , d = h BÀI TOÁN :Cho thùng Avà B đựng nước với dung tùy ý gáo với dung tích lít 2- lít Hỏi dùng gáo để chuyển lít nước từ thùng sang thùng hay không? LỜI GIẢI : Gỉa sử dùng gáo 1(dung tích lít ) gáo 2( dung tích 2- ) lít để chuyển lít nước từ thùng A sang thùng B cách đong m lít gáo n lít gáo (m,n  N ) Với qui ước m>0 đong từ Asang B m