Các chuyên đề toán đại số THCS

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” MỤC LỤC Chuyên đề 1: Biến đổi đồng .Trang 2 Chuyên đề 2: Các toán đa thức .Trang 22 Chuyên đề 3: Các toán thức Trang 27 Chuyên đề 4: Phƣơng trình, hệ phƣơng trình đại số Trang 54 Chun đề 5: Phƣơng trình, hệ phƣơng trình vơ tỷ Trang 91 Chuyên đề 6: Phƣơng trình chứa tham số hệ thức vi-et .Trang 135 Chuyên đề 7: Hàm số đồ thị bậc – bậc .Trang 169 Chuyên đề 8: Giải toán lập phƣơng trình Trang 195 Chuyên đề 9: Chứng minh Bất Đẳng thức, Tìm GTNH GTLN Trang 121 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài Cho a + b + c = 2009 Chøng minh r»ng: a + b3 + c3 - 3abc = 2009 a + b2 + c2 - ab - ac - bc Lời giải Ta có đẳng thức: a + b3 + c3 - 3abc=  a  b  c   a  b2  c2  ab  bc  ca   a  b  c   a  b2  c  ab  bc  ca  a + b3 + c3 - 3abc = = a + b + c =2009 Do đó: 2 a + b + c - ab - ac - bc a  b2  c  ab  bc  ca Bài Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn: x y z    Chứng a b c minh rằng: a b c    x y z x2 y z   1 a b2 c Lời giải a x b y c z Ta có:     ayz  bxz  cxy Suy ra: ayz  byz  cxy  xyz  ayz  bxz  cxy  x y z x2 y z xy yz xz x2 y z Do đó:                    a b c b c xyz a b c  ab bc ca  a   =   x2 y z      a b c  xyz  Vậy x2 y z    (đpcm) a b2 c Bài Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x  y  z  xyz Chứng minh rằng: xyz  x  y  3z  x 2y 3z     x  y  z  x  y  y  z  z  x  Lời giải Ta có: x xyz xyz xyz xyz     1 x yz  x.xyz yz  x  x  y  z  x  xy  yz  zx  x  y  z  x  Tương tự ta có: 2y xyz 3z 3xyz  ;  2 1 y  x  y  y  z   z  y  z  z  x  Do đó: CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” x 2y 3z xyz xyz 3xyz      2 1 x 1 y 1 z  x  y  z  x   x  y  y  z   y  z  z  x   xyz  y  z  x  z  3x  y   x  y  y  z  z  x  Vậy:  xyz  x  y  3z   x  y  y  z  z  x  xyz  x  y  z  x 2y 3z    2 1 x 1 y 1 z  x  y  y  z  z  x  Bài Giả sử x, y số thực dương phân biệt thỏa mãn: y y2 y4 y8    4 x  y x  y x  y x8  y Chứng minh rằng: y  x Lời giải Ta có   y x  y  y8 y y2 y4 y8 y y2 4       x  y x  y x  y x8  y x  y x  y x  y x4  y      y x2  y  y y y2 y4 y      x  y x2  y x4  y x  y x  y x2  y     y  x  y   y2 y y2 y    x y x  y  x  y  x  y  x  y Do đó: y   y  4x  y  y  4x x y Vậy y  x  đpcm  Bài Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + z = xyz ≠ x2 y2 z2 Tính giá trị biểu thức: P  2  2  2 y z x z x y x  y z Lời giải Ta có: x  y  z   y  z   x   y  z     x  Suy ra: y  z – x2  2 yz Do đó: Tương tự ta có: x2 x2  y  z  x 2 yz y2 y2 z2 z2  ;  z  x  y 2 xz x  y  z 2 xy CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Do đó: x2 y2 z2 x2 y2 z2 x3  y  z P       y  z  x z  x  y x  y  z 2 yz 2 xz 2 xy 2 xyz  x  y  z    x  y  y  z  z  x  2 xyz     z    x    y  2 xyz  3xyz  2 xyz Vậy P   Lƣu ý cần nhớ: Khi a + b + c =0 a3 + b3 + c3 = 3abc ngược lại a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = x y z Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn:   =1 x + y + z = Chứng minh rằng: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = Lời giải x y z Ta có:     xy  yz  zx Suy ra: xy  yz  zx  xyz xyz Do đó: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 (*) Thay xy + yz + zx = xyz x + y + z =1 vào (*) ta được: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 = (xy + yz + zx) – (xy + yz + zx) + -1 = (đpcm) Bài Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức: P  1   0 x y z yz zx xy   x  yz y  zx z  xy Lời giải x y z Ta có:     xy  yz  zx  xy  yz  zx  xyz Do đó: x2 + 2xy = x2 + 2xy – (xy + yz + xz) = (x2 – xz) + (xy – yz) Suy ra: x2 + 2xy = (x-y)(x-z) Do đó: yz yz  y  zx  x  y  x  z  Tương tự ta có: zx zx xy xy  ;  y  zx  y  x  y  z  z  xy  z  x  z  y  Do đó: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” P  yz zx xy yz zx xy      x  yz y  zx z  xy  x  y  x  z   y  x  y  z   z  x  z  y   yz  y  z   zx  z  x   xy  x  y   x  y  y  z  z  x    x  y  y  z  z  x    x  y  y  z  z  x  Vậy P = Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn xyz =1 Chứng minh: P  1   1  x  xy  y  yz  z  zx Lời giải Ta có: x x xy xy ;      y  yz x  xy  xyz  x  xy  z  zx xy  xyz  x yz  x  xy Do đó: P 1 1 x xy  x  xy        1(đpcm)  x  xy  y  yz  z  zx  x  xy  x  xy  x  xy  x  xy Bài Cho a  b  c  Chứng minh: P  bc ca a b a b  c   b c  a   c a  b 0 Lời giải Ta có: ⇔ a b c a b c b  ab  ac  c   0    b c c a a b bc a c ba  a  b  c  a  a b  c  b2  ab  ac  c   a  b  c  a b  c  Tương tự ta có: b c  a  (1) c  bc  ba  a c b  ac  cb  b (2);  (3)  a  b  b  c  c  a   a  b   a  b  b  c  c  a  Cộng (1), (2), (3) Vế theo vế ta điều phải chứng minh Bài 10 Cho a nghiệm phương trình: x2  3x   Khơng cần tính a tính a2 giá trị biểu thức: Q  a  a 1 Lời giải Do a nghiệm phương trình: x2  3x   nên a2  3a    a2   3a a2 a2 a2 a2    Suy ra: Q   a  a  a   a  3a 2  a 8a   CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Bài 11 Cho số thực a, b, c khác đôi thỏa mãn: a3  b3  c3  3abc ab2 bc ca abc  Tính: P  2  2  a  b  c b  c  a c  a  b2 Lời giải Do a3  b3  c3  3abc   a  b  c   a2  b2  c2  ab  bc  ca   Do a2  b2  c2  ab  bc  ca  với a, b, đôi khác nên: a + b + c = Suy ra: a + b + c = Khi đó: ab2 ab2 ab2 b2 b2 b      2 2 a b c a   b  c  b  c  a   b  c  a  a  c  b b  b 2 Tương tự: bc c ca a   ; 2 2 2 b c a 2 c  a  b 2 Cộng theo vế đẳng thức ta được: ab2 bc ca b c a P 2  2       a  b  c  2 a b c b c a c  a b 2 2 2 Vậy P = Bài 12 Cho a, b,c số thực thỏa mãn: a  b  c  6;    ab bc ca Tính giá trị biểu thức: P  c  a  b ab bc ca Lời giải Ta có: 1  abc a bc a bc  6.8   a  b  c        a b bc ca  ab bc ca  c a b c a b  1 1 1  3   ab bc ac ab bc a c Vậy: P  c  a  b  6.8   39 ab Bài 13 Cho bc ca a b4 a2  b2  Chứng minh rằng:   x y x y a) bx  ay b) Lời giải x 2000 y 2000  1000  1000 1000 a b a  b CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”  a  b2 a b4 a b4 2 a) Từ   a  b  suy ra:   x y x y x y x y      x  y  a y  b4 x   x  y  a  b2    ay  bx     bx  ay b) Từ câu a) bx  ay 1000  x2  x2 y x2  y       a b ab a b  a  2000 2000 Do đó: x1000  y1000  a b 1000      a b  1000  y2  ;   b  1000      a b  a  b 1000 ax  by  c  Bài 14 Cho x, y hai số thực thỏa mãn: bx  cy  a cx  ay  b  Chứng minh rằng: a3  b3  c3  3abc Lời giải ax  by  c  Ta có: bx  cy  a Cơng theo vế phương trình hệ ta được: cx  ay  b   a  b  c  x   a  b  c  y  a  b  c   a  b  c  x  y  1  a  b  c    x  y 1 Với a  b  c  thì:  a  b  c   a2  b2  c2  ab  bc  ca    a3  b3  c3  3abc (1) Với x + y = thay vào giả thiết ta được: a = b = c  a3  b3  c3  3abc (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài 15 Chứng minh nếu: x  a  b ; y  b  c ; z  c  a ab bc ca Thì: 1  x 1  y 1  z   1  x 1  y 1  z  Lời giải Ta có: a b 2a bc 2b ca 2c  ;1  y    ; 1 z  1  ab a b bc bc ca ca 8abc  1  x 1  y 1  z   (1)  a  b  b  c  c  a  1 x  1 Mặt khác: CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” a b 2b bc 2c ca 2a  ; 1 y  1  ; 1 z  1  ab ab bc bc ca ca 8abc  1  x 1  y 1  z   (2)  a  b  b  c  c  a  1 x  1 Từ (1) (2) suy ra: 1  x 1  y 1  z   1  x 1  y 1  z  Bài 16 Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn: ay  bx  cx  az  bz  cy c b a Chứng minh rằng:  ax  by  cz 2   x  y  z  a  b2  c  Lời giải Đặt ay  bx  cx  az  bz  cy  k  k  cay 2 cby  bcx 2 baz  abz 2 acy c k b a c b a cay  cbx  bcx  abz  abz  acy   ay  bx  cx  az  bz  cy  a  b2  c2   ay  bx    cx  az    bz  cy   2   a  b  c  x  y  z    ax  by  cz   Suy ra:  ax  by  cz 2   x  y  z  a  b2  c  Bài 17 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: b  c; a  b  c c2   ac  bc  ab  Chứng minh rằng: a2   a  c  b  b  c  2  ac bc Lời giải Ta có: a   a  c   a  c  c   a  c   a  c   ac  bc  ab    a  c    a  c  a  c  b  2 Tương tự: b2   b  c  =  b  c  b  c  a  Do đó: a2   a  c  b  b  c  2   a  c  a  c  b   b  c  b  c  a   ac (đpcm) bc Bài 18 Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a  b4  c   a  b2  c  2 Lời giải Từ: a + b + c =  b  c  a   b  c   a  b2  2bc  c  a 2   a  b  c  2bc  a  b  c     a  b4  c  a  b2  c    4b 2c  a  b  c  2a 2b2  2b2 c  2c a 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Vậy: a  b4  c   a  b2  c  2 Bài 19 Cho m  a  b ; n  c  d ; p  ac  bd Chứng minh rằng: m  n  p  m.n p a b cd ad  bc Lời giải Ta có: mn p   a  b c  d ac  bd  a  b  c  d    c  d  a  b  ac  bd     a  b c  d ad  bc ad  bc  a  b  c  d   ac  bd   ac  bd  ac  bd    ad  bc    a  b  c  d    ad  bc  a  b  c  d  ad  bc   a  b  c  d   ac  bd  a  b  a  c   m.n p   a  b  c  d  ad  bc  Vậy đẳng thức chứng minh Bài 20 Cho số dương x, y thỏa mãn: x2 13xy  y  Tính giá trị biểu thức: A  (1) 2x  y 7x  y Lời giải Từ (1) ta có: (7 x  y)( x  y)   x  y (do x, y > 0) Thay x = 2y vào A ta được: A x  y y  y 2 y 1    x  y 14 y  y 18 y 2010  2010 1   y Bài 21 Cho số thực x, y thỏa mãn:  x  x  y  2335  x y Tính giá trị biểu thức: B  Lời giải Đặt a  2010 2010 , b với a, b > x y  a 1  b  a 1  b    1     2010 2.2010 a a 1   2345    Từ (2) suy ra:  b a b  a  7a  11a    a  (do a  0) suy : b  Vậy: B x b   y a (2) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”  5x  y  z  Bài 22 Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn:  t  t  t    x y z 10 Tính giá trị biểu thức: C  (1) (2) t2 t2 t2   xy yz zx Lời giải Từ (1) ta có: y  x, z  x Thay y  x, z  x vào (2) ta được: t  t  t   t  x Vì thế: C  x x 2x 10 t t t x2 x2 x2 x x x x 3 1             xy yz zx xy yz zx y y y z 5 2 ( x  y )( x  y )  z Bài 23 Cho số thực x, y, z thỏa mãn:   y2   7z2 (4) Tính giá trị biểu thức D  x2  10 y  23z Lời giải  z  x2  y  Ta có: (4)   2  y  z  (4) Ta tìm số thực a, b thỏa mãn: a( z  x2  y )  b(4 y  z )  x2  10 y  23z  ax  (4b  a) y  (7b  a) z  x  10 y  23z  a2 a     4b  a  10   7b  a  23 b   Vậy D = 2.0 + 3.5 = 15 Bài 24 Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn: t  1  t  x  y  2z (5) Tính giá trị biểu thức: E   x  y  9z t    z  3x  Lời giải 10 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Bài 67 Cho a, b, c độ dài cạnh p chu vu tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1        p a p b p c a b c Lời giải Nhận xét: Với x , y số dương 1   Từ nhận xét ta có: x y x y 1 4    ; p  a p  b ( p  a )  ( p  b) c Tương tự ta có: 1   ; p b p c a 1   pc pa b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1 1 1        p a p b p c a b c Bài 68 Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức:    Xét biểu thức: x y z P  x  y2  z3 1) Chứng minh rằng: P  x  y  3z  2) Tìm giá trị nhỏ P Lời giải Theo bất đẳng thức Cơ – si, ta có: P   x  ( y  1)  ( x3   1)  x  y  3z Suy P  x  y  3z  (đpcm) Áp dụng kết kết hợp bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: 1 3  3 6( P  3)  ( x  y  3z )       x  y  3z   36 y z x x y z  Hay P  Vậy MinP = đạt x = y = z = Bài 69 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điểu kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q  x3 y3 z3   yz zx x y Lời giải Sử dụng BĐT Cô – si cho ba số dương ta có: x3 yz x3 y  z    33  3x yz yz 248 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Tương tự ta có: y3 zx    y; zx z3 x y    3z x y Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: Q  x  y  z   3( x  y  z )  Q  2( x  y  z )   Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy Qmin= x = y = z = Bài 70 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y  x2  x   x  x  2) Cho ba số thực x, y, z đề lớn thỏa mãn điều kiện: 1    Chứng minh rằng: (x – 2)(y – 2)(z – 2)  x y z Đẳng thức xảy nào? Lời giải 1) Tập xác định hàm số y R Nhận thấy y > với giá trị x nên để tìm giá trị nhỏ y ta tìm giá trị nhỏ y2 Mà: y  x2   ( x2  x  1)( x2  x  1) = x2   x4  x2   Dấu “=” xảy x = Vậy ymin= x = 2) Đặt a = x – 2, b = y – 2, c = z – Ta phải chứng minh: abc ≤ Thật vật từ: 1 1 1   1    1 x y z a2 b2 c2 Theo bất đẳng thức Cô – si: 1  1  1 b c  bc 1         a2  b2  c2 2b2 c2 (b  2)(c  2) (1) Tương tự ta có: ca  b2 (c  2)(a  2) (2); ab  c2 (a  2)(b  2) (3) Nhân (1), (2) (3) theo vế ta điều cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c hay x = y = z = Bài 71 Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x  y  z) xyz  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T  ( x  y)( x  z) Lời giải 249 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Ta có; T  ( x  y)( x  z )  x( x  y  z )  yz  x( x  y  z ) yz   x( x  y  z )   T 2 yz   x, y, z    x( x  2)   x    x0 Chọn y = z = Thì điều kiện trở thành:  Vậy giá trị nhỏ T chẳng hạn ( x; y; z)  ( 1;1;1) Bài 72 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: ab  bc  ca (a  b  c)2 P 2  a b c abc Lời giải Nhận thấy với x, y, z số thực dương ta có: i ) ( x  y )   x  y  xy  x y   (1) y x  x y x z  y z 1 1 1 ii )     ( x  y  z )                   (2) Dấu x y z x yz a b c  y x  z x  z y iii ) ( x  y )  ( y  z )  ( z  x)   x  y  z  xy  yz  zx (3) “=” xảy (1), (2) (3) x = y = z Áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) vào toán ta có: P ab  bc  ca  1  ab  bc  ca  (a  b  c)      2  (a  b  c )  18 2 a b c ab  bc  ca  ab bc ca  a  b  c  ab  bc  ca a  b  c  8(a  b  c )  2   18    18  28  ab  bc  ca  ab  bc  ca  a b c a  b  c  ab  bc  ca P  28    a  b  c ab  bc  ca  Vậy giá trị nhỏ P 28 a = b = c Bài 73 Cho x, y, z số thực thỏa mãn:  x4  y4  z4    (1) 16  x 16  y 16  z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  xyz Lời giải Ta có: 250 CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”   x4    y4    z4  1 1 (1)    1    1    1      (2) 4 4 4 16  x 16  y 16  z  16  x   16  y   16  z  Từ (2) suy ra:  1 1  1   y4 z4              16  x  16 16  y   16 16  z  16  16  y 16  z   y4 z4  y2 z2 (BĐT Cauchy)     16  16  y 16  z  (16  y )(16  z ) Tương tự ta có: 1 x2 z  16  y (16  x )(16  z ) 1 x2 y  16  z (16  x )(16  y ) (4); (5) Nhân theo vế bất đẳng thức (3), (4), (5) rút gọn lại ta được: x4 y z  83  xyz  4  4  xyz  4 Giá trị lớn P 4 đạt x, y, z có hai số  số lại Giá trị nhỏ P 4 đạt x, y, z có hai số số lại  , số  Bài 74 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng:  a  b3  c  Lời giải Đặt: T  a3  b3  c3  3abc Do a  b  c  nên: T  (a  b)3  c3  3abc  3ab(a  b)  (a  b  c)3  3c(a  b)(a  b  c)  3abc  3ab(a  b)   3c(a  b)  3abc  3ab(1  c) Vậy T   3(ab  bc  ca)  6abc (1) Lại có: a  a  (b  c)2  (a  b  c)(a  b  c); b2  b  (a  c)2  (a  b  c)(a  b  c); c  c  (a  b)2  (a  b  c)(a  b  c) Hơn a, b, c độ dài cạnh tam giác nên: a  b  c  0, a  b  c  0,  a  b  c  0; abc  (a  b  c)(a  b  c)(a  b  c)  (1  2c)(1  2b)(1  2a)   4(ab  bc  ca)  2(a  b  c)  8abc  1  4(ab  bc  ca)  7abc  0; Do đó: 6abc    (ab  bc  ca) 3 (2) va ab  bc  ca  2abc  Từ (1) (2) áp dụng BĐT (a  b  c)2  3(ab  bc  ca) ta có: 251 (3) CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” 1 1 1 T   (ab  bc  ca)   (a  b  c)2    ; 3 9 T a  b  c  1 abc   abc Từ (1) (3) dẫn đến: T   3(ab  bc  ca)  2abc    Bài 75 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 1 1 1          ab bc ca a b c Đẳng thức xảy nào? Lời giải Bất đẳng thức tương đương với: ab  bc  ca ab  bc  ca ab  bc  ca a2  b2  c2  1 1 1    ab bc ca a2 b2 c2  c(a  b) a(b  c) b(c  a) (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b)      2 ab bc ca a b c2 Do (ab  bc  ca  1) Đặt (1) c ( a  b) a(b  c) b(c  a )  x,  y va  z, Khi (1) trở thành bất đẳng thức quen ab bc ca thuộc: x  y  z  xy  yz  zx (luôn với số dương x, y, z) Đẳng thức xảy x  y  z  a  b  c  (1  a 2b)(1  b2 ) Bài 76 Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng:  (a  a  1)(1  b3 ) Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với: (a  1)(1  b2 )(1  a 2b)   a  b2  b2 a  a 2b  b3a  ba3   2a3  2b3  a3b3 (a  1)(a  a  1)(1  b3 ) Từ áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho ba số dương: 2b3   3b2 ; 3(a3  b3 )  3(a 2b  ab2 ); a3b3  a3  a3  3a3b; a3b3  a3b3  b3  3a 2b3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta thu bất đẳng thức (*) Bài 77 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: Lời giải Ta có: x4   x2 ; y   y 252 x y x  y4  (1) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Do đó: x4  y   x2  y   ( x  y)2  ( x  y)2   ( x  y)2   ( x  y)2  x  y Suy ra:   x y x y  Với x = 1, y = -1 thì:  4 x  y 6 x  y 6 4 Với x = -1, y = Vậy biểu thức (1) có giá trị lớn x y  x  y 6 4 1 giá trị nhỏ  4 y Bài 78 Cho x, y số dương thỏa mãn x   Tìm GTNN biểu thức: A x y  y x Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương ta có: 1 x  x y  , suy  y y x (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương ta có: A x y x y 15 y x y 15.4 17     2   y x y 16 x 16 x y 16 x 16 Vậy giá trị nhỏ A 17 đạt x  y = 2 Bài 79 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a  b4 b4  c c4  a4    ab(a3  b3 ) bc(b3  c3 ) ca(c3  a3 ) Lời giải a b c Từ giả thiết ab + bc + ca = abc     Từ a4  b4  a3b  ab3 suy ra: 2(a4  b4 )  a4  a3b  b4  ab3  (a  b)(a3  b3 ) Vậy a  b4 ab 1 1      3 ab(a  b ) 2ab  a b  Làm tương tự sau cơng theo vế kết hợp với giả thiết ta suy điều phải chứng minh Bài 80 Cho x, y thỏa mãn 16 x2  y  144 Chứng minh rằng: x  y    Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: (ax  by)2  (a2  b2 )( x2  y ) 253 (1) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Thật vây: (1)  2axby  a2 x2  b2 y  (ax  by)2  (đúng) Đẳng thức xảy ax = by Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1  (2 x  y )   x  y   (16 x  y )  20 (do 16 x2  y  144 ) Suy ra: 2  36 2 x  y    x  y   2  Từ suy ra: x  y     8x  y   x    Đẳng thức xảy khi:  x  y  2   16 x  y  144 y     Bài 81 Cho số thực a thỏa mãn  a  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: T  a 1 a   a 1 a Lời giải Ta có: T   a 1 a 2 3  1 1     2  1    1  1(do  a  1) 2a 1 a  a 1 a 2   (2  a)(1  a)  Vậy max T  1, đạt a   a  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a(1  a)  (a   a)  4      Vậy T  đạt a   a  a  Suy ra: T          Bài 82 Cho a, b số dương thỏa mãn a  b  Chứng minh rằng:   14 ab a  b Lời giải Với hai số thực dương x, y ta có: ( x  y)2  xy x, y  , suy ra: 1   Từ ta có: x y x y 1  2 ab (a  b)2 3  2   12 2ab a  b 2ab  a  b2 (1); Cộng (1) (2) theo vế ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  254 (2)  xy ( x  y )2 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Bài 83 Các số thực x, y, z khác thỏa mãn ( z  x)( z  y)  Chứng minh bất đẳng thức: 1    2 ( x  y ) ( z  x) ( z  y ) Lời giải Đặt a  z  x, b  z  y từ giả thiết suy ra: a  , b  ab  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 a2 a2 (a  1) 2   4  a 4   a b ( a  b) (a  1)2 a (a  1)2 a2 (*) Áp dụng BĐT Cô-si Cho hai số dương ta thấy (*) Vậy BĐT chứng minh Bài 84 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh bất đẳng thức: 1 1    2  a (b  c)  b (a  c)  c (b  a) abc Lời giải Chứng minh: abc  Từ suy ra:  a2 (b  c)  a(bc  ca  ab)  3a Do đó: 1 1 1   ;  Tương tự ta có: 2  a (b  c) 3a  b (a  c) 3b  c (b  a) 3c Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: 1 1  1  ab  bc  ca          2  a (b  c)  b (a  c)  c (b  a)  a b c  3abc 3abc abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 85 1) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: (a  b  c)      a b c  1  2) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 2009   670 2 a b c ab  bc  ca Lời giải 1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: (a  b  c)      3 abc 3 9 a b c abc 1  1  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c 2) Do ab  bc  ca  (a  b  c) 2007  nên  669 ab  bc  ca 255 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Mặt khác áp dụng bất đẳng thức phần ta có: 1     2 2 a b c ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca ab  bc  ca 9     2 a  b  c  2(ab  bc  ca) (a  b  c) Vậy 2009   670 2 a b c ab  bc  ca Đẳng thức xảy a = b = c Bài 86 Cho số thực x, y thỏa mãn: x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  y( x  y) Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P  ( x  y)  y   y( x  y)  x  8y  8y  x  16 y  x4    Đẳng thức xảy    1 y 8 y  y ( x  y )  y  64     Vậy minP = x = y = Bài 87 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    2(ab  bc  ca) abc Lời giải Theo giả thiết: P 2(a  b  c) 1         2 (a  b  c)  2(ab  bc  ca) abc a b c  ab bc ca  Áp dụng BĐT quen thuộc với số dương: Đẳng thức xảy a c (a  c)   (*) b d bd a c  , suy ra: b d 1      ab bc ca ab  bc ca ab  bc  ca 256 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Lại sử dụng BĐT (*) cho số dương ta có: 36 92 P 2    81 a  b  c 2(ab  bc  ca) (a  b  c)2 Đẳng thức xảy a  b  c  Vậy Pmin  81 a  b  c  3 Bài 88 Cho ba số thực a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: a2 b2 c2    (b  c)2 (c  a)2 (a  b) Lời giải Dễ thấy: bc ca ab    (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) a2 b2 c2 b c   a Từ suy ra:         2 2 (b  c) (c  a) (a  b)  b  c c  a a  b  Đẳng thức xảy khi: a b c =0   bc c a a b Bài 89 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x   x  x2 Lời giải (1  x  x )  x2    2 Điều kiện:  x  x2  Ta có: P  x  Đẳng thức xảy x = Vậy giá trị lớn P đạt x = Bài 90 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy  x  y   x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  x  y Lời giải Từ giả thiết suy ra: x > y > 0, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  x  y  xy  x  y  2 1  xy   x  y   xy   xy  x  y   xy      x  y  16 4     Do x  y  Vậy A  x   2; y   Bài 91 Cho số thực dương thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x2 y   x3  xy  y xy 257 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Lời giải Ta có: A x2 y  2    xy    xy  3 2 x  xy  y xy xy x  y xy  x  y   x  xy  y   xy  1    5     xy      11    xy   2 xy   xy  xy x  xy  y xy  x  y 2 x y Vậy A  11 x  y  Bài 92 Cho x,y,z thỏa mãn x + y + z = 0; x + > 0; y + > z + > xy  z  Tìm GTLN A  ( x  1)( y  1) z  Lời giải  x 1  a   y 1  b  a  b  c  Đặt  z   c A  a  1 b  1   c   ab  a  b    c        ab c ab c  a b  c 4 16 16   2    2  2  2   a b c 3  ab c  MaxA   Đẳng thức xảy    abc  a  b  x  y   2  a  b, a  b  c    c3  z  1 Bài 93 Cho dương a, b, c thỏa mãn 2a + 3b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Q= 2002 2017   2996a  5501b a b Lời giải Q= ( 2002 2017   2996a  5501b a b 2002 2017  8008a)  (  2017b)  2506(2a  3b) a b Áp dụng BĐT Cô- si sử dụng giả thiết 2a + 3b ≤ ta có : 258 CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Q ≥ 2002 2017 8008a  .2017b  2506.4 ≥ 8008 + 4034 – 10024 = 2018 a b  2002  a  8008a    2017 a  Dấu « = » xảy :   2017b    b  b   2a  3b    Vậy Qmin  2018 a  ; b  Bài 94 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 35   xy x y xy Lời giải Ta có: P  35   xy x y xy 2 x  y 35 35 xy x  y 35 xy = 2    xy   x y 32 xy 16 32 16 = x  y 35 35 xy ( x  y)2 xy      x2  y 32 xy 16 32 x2  y 2 35 35 xy Sử dụng Cô – si cho cặp ( ; 2 ) ( ; ) ta có: 32 x y 16 xy 352 2 x2  y 35 35xy 35 ≥2 = ;  ≥ =  2 16 32 16 xy x y 32 Mặt khác: x + y ≤ ⇒ x.y ≤ nên xy ( x  y ) ≤ , ≤ 32 2 35 1 + - - = 17 Dấu “=” xảy x = y = 2 2 Vậy minP = Bài 95 Cho a, b số số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: M  (a  b)( 1  ) a b ab ab Lời giải Ta có : 259 CÁC CHUN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” 1 (a3  b)(  b)  (a  b)2 ;(b3  a)(  a)  (a  b) a b Khi : 1   a  b a  b3 1 1  ab  a b a b      ⇔ VT ≤ (a  b) ab ab ab ab ab Đẳng thức xảy a = b = Vậy giá trị lớn M a = b = Bài 96 Xét số thực a, b, c không âm, khác thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ cảu biểu thức P  1   (a  b)(4  5c) a  bc b  ac Lời giải Áp dụng BĐT : 1   (x, y  0) x y x y Tacó : P  1   (a  b)(5c  4)   (a  b)(5c  4) a  bc b  ac (a  b)(c  1) 5c  c  (1  c)(5c  4)  4 4 8 (1  c)(1  c) c 1 c 1 Vậy minP = Dấu « = » xảy c  0, a  b  Bài 97 Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P xy 1  (  ) 2( x  y ) x y x y Lời giải Ta có : x2 + y2 ≥ 2xy nên : 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 Do : xy 1 xy 1 xy x2  y 2 P  (  ) 2( x  y )   (  )( x  y )   2 x  y2 x y x  y2 x y x  y2 xy xy x2  y 3xy 3( x  y )   2  2 x  y2 xy x  y2 2( x  y )  6  2 260 CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”  x  y  xy  Dấu « = » xảy  xy x  y  x  y   x2  y xy  Vậy minP = x = y a+b Bài 98 Chứng minh rằng: a  3a + b   b  3b + a   với a, b số dương Lời giải a+b Ta có: a  3a + b   b  3b + a  2(a + b)  4a  3a + b   4b  3b + a  (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: 4a + (3a + b) 7a + b   2 2 4b + (3b + a) 7b + a 4b  3b + a     3 2 4a  3a + b   Từ (2) (3) suy ra: 4a  3a + b   4b  3b + a   4a + 4b   Từ (1) (4) suy ra: a+b a  3a + b   b  3b + a   2(a + b)  Dấu xảy a = b 4a + 4b Bài 99 Cho x, y số thực dương thỏa mãn: x  xy  y  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x y x  xy  y Lời giải x y y Ta có: x  xy  y    x   (do y  0) x y y Do đó:  x    3 Mặt khác: P  x2 x    y y x y x  xy  y 2  x  y x 1 y  x x  2 y y x y Đặt t  (0  t  1) tốn trở thành: 261 x y  x y CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” Cho  t  Tìm giá trị lớn P  t 1 t2  t  t  t 1 0 t 1 Dễ thấy do:  t  nên:  t  t   t  1  P t t 2  t 1  Vậy Pmax  x  y 1  1 t 1   x  y  x x    y y  Bài 100   xy  Cho số thực x, y( x  y  0) Chứng minh x  y    2  x y  2 Lời giải : Đặt z    xy ta có : xy  yz  zx  1 BĐT trở thành: x y x2  y  z   x2  y  z  2( xy  yz  zx)  ( x  y  z )2  ( đúng) Vậy BĐT chứng minh 262 ... kiện với số nguyên x P(x) số phương Chứng minh a, b, c số nguyên b số chẵn Lời giải Do P    c số phương nên c  m2 với m số nguyên (hiên nhiên c số nguyên) 25 CÁC CHUYÊN ĐỀ TỐN ĐẠI SỐ THCS “PAGE...CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC” CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT Bài Cho a + b + c = 2009 Chøng minh r»ng:...   a  (do a  0) suy : b  Vậy: B x b   y a (2) CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN ĐẠI SỐ THCS “PAGE TÀI LIỆU TOÁN HỌC”  5x  y  z  Bài 22 Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn:  t  t  t    x y z